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12.高中数学数列知识点测试题附答案与解析


数列 知识梳理
一、基本概念 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.

?数列的项、数列的项数 ? ?表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 ? ? ? ?通项公式:不是所有的数列都有通项公式 ? ? ? n n +1 、(? 1) ?符号控制器:如(? 1) ? ? ?递推公式:表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式.

?有穷数列:项数有限的数列. ? ?无穷数列:项数无限的数列. ? ?递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 数列分类 ? ?递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列. ?常数列:各项相等的数列. ? ? ?摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
二、等差数列:从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个常数称为等差数列的公差.

an ? an?1 ? d , n ? 2且n ? Z ,或 an?1 ? an ? d , n ? 1且n ? Z
? ?an ? a1 ? ? n ? 1? d ? am ? ? n ? m ? d ? kn ? b ? a ? a1 an ? am ? 1、若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则有 ?d ? n ? n ?1 n?m ? a ?a ? n ? n 1 ?1 ? d ?
?等差中项:三个数a,G,b组成的等差数列,则称G为a与b的等差中项 ? 2G=a ? b ? ? ?2n ? p ? q ? 2an ? a p ? aq ? 若{an }是等差数列,则 ? ? 性质: ? ? ? m ? n ? p ? q ? am ? a n ? a p ? a q ? ?构成公差公差kd的等差数列 ?若{an }是等差数列,则am、am ? k、am ? 2 k、am ?3k、 ?若{a }、{b }是等差数列, 则{? a +?}、 {? an +?bn }是等差数列 n n n ?
2、等差数列的前 n 项和的公式: Sn ? 等差数列的前 n 项和的性质:

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d ? pn2 ? qn 2 2

? ? S偶 ? S奇 ? nd ? ? * a ? S奇 ?若项数为2n ? n ? ? ?,则S2 n ? n ? an ? an ?1 ?, ? n ? ? ? S偶 an ?1 (1) ? ? ? S奇 ? S偶 ? an ? ? * ?若项数为2n ? 1? n ? ? ?,则S n ? S奇 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? an,S奇 ? nan S 偶 ? ? n ? 1? an, ? ? ? ? ? S偶 n ? 1 ?

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?Sm,S2 m ? Sm ,S3m ? S2 m成等差数列 ? (2) ? S n ?{ }是等差数列 ? n
若等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和为 S n , Tn ,,则

an S 2 n?1 ? bn T2 n?1

(3)等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?d ? 0 ?ak ?1 ? 0
? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?d ? 0 ?ak ?1 ? 0

②若 ?

三、等比数列:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个常数称为等比数列的公比. 1、通项公式及其性质

?an ? a1q n ?1 ? am q n ? m ? 若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 ? n ?1 an n ? m an . ?q ? a , q ? a 1 m ?

?a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项 ? G 2 ? ab ? 2 ? ? ?2n ? p ? q ? an ? a p ? aq 性质:若 ? {an }是等比数列,则 ? ? ? ?m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ? ? 成公比q k的等比数列 ?am、am ? k、am ? 2 k、am ?3k、
2、前 n 项和及其性质

?na1 ? q ? 1? , (q ? 1) ? . Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q a ? a q n a a ? 1 n ? 1 1 ? ? 1 q n ? 1 ? ? Aq n ? A, ? q ? 1? ? 1? q 1? q 1? q 1? q ? 1? q

? Sn ? m ? Sn ? q n ? Sm ? ? Sn、S2 n ? Sn、S3n ? S2 n成等比数列 ? . 性质 ? S偶 若项数为 2 n ,则 ? q ? S奇 ? ? ?Sm,S2 m ? Sm ,S3m ? S2 m成等比数列
四、(1) an 与 Sn 的关系: an ? ?

? ? n ? 1? ?S1 ; (检验 a1 是否满足 an ? Sn ? Sn?1 ) ? ?Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ?

n(n ? 1) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) ?2 2 2 2 (2) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 6 ? 2 ?3 3 3 n (n ? 1) 2 3 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 4
五、一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项;前 n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 (1)观察法;待定系数法(已知是等差数列或等比数列) ;
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(2) an ? an?1 ? f (n), 累加消元;

an ? f (n), 累乘消元。 an ?1

(3)

an 1 1 ? an?1 , (倒数构造等差: ? ? ?k ) ; an ? k an an?1 an ? an ?1 ? an an ?1 , (两边同除构造等差: 1 1 ? ? 1) ; an an?1

(4) an ? kan?1 ? b, 化为 (an ? x) ? k (an?1 ? x) 构造等比

an ? qan?1 ? pn ? r(构造等比数列: , an ? xn ? y ? q ? an?1 ? x ? n ?1? ? y ?)
an ? qan?1 ? pn ,化为
an q an ?1 q ? ? 1 ,分 是否等 1 讨论。 n n ?1 p p p p

3、求前 n 项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和

巩固提高
1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670 ). ).

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33 B.72 C.84 D.189 ).

3.如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 |m-n|等于( A.1 ). B.

1 的等差数列,则 4

3 4

C.

1 2
).

D.

3 8

5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

D.192 ).

6.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 B.-6 C.-8
a5 S 5 = ,则 9 =( a3 S5 9

D. -10 ). D.

7.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

C.2

1 2
a2 ? a1 的值是( b2

8.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 A.

).

1 2

B.-

1 2

C.-

1 1 或 2 2

D.

1 4
).

2 9.在等差数列{an}中,an≠0,an-1- an +an+1=0(n≥2),若 S2n-1=38,则 n=(

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A.38 二、填空题 10. 设 f(x)= +f(6)的值为
1 2 ? 2
x

B.20

C.10

D.9

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, 可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5) .

11.已知等比数列{an}中, (1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6= (3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20= . . . . .

8 27 12.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2 3
13.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为 14.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 三、解答题 15.(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知 .

1 1 1 b?c c?a a?b , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c a b c

16.设{an}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

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17.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{

n?2 Sn(n=1,2,3…). n

Sn }是等比数列. n

18.已知数列{an}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,a1,2a7,3a4 成等差数列,求证:12S3, S6,S12-S6 成等比数列.

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参考答案
一、选择题 1.C 解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699. 2.C 解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21, 即 a1(1+q+q2)=21,又 a1=3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 3.B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. 4.C 解析: 设 a1= 也为 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴

1 1 1 1 ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x2-2x+n=0 中两根之和 4 4 4 4

1 1 7 3 5 ,a1= ,a4= 是一个方程的两个根,a1= ,a3= 是另一个方程的两个根. 2 4 4 4 4

7 15 , 分别为 m 或 n, 16 16 1 ,故选 C. 2

∴|m-n|= 5.B

解析:∵a2=9,a5=243,

a5 243 =q3= =27, a2 9

∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4= 6.B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 7.A
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3-3 5 240 = =120. 1-3 2

9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5(a1 ? a5 ) 5 ? a3 S5 5 9 2
8.A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = = . 2 b2 ?q 2

9.C
2 2 解析:∵{an}为等差数列,∴ an =an-1+an+1,∴ an =2an,

又 an≠0,∴an=2,{an}为常数数列, 而 an=

38 S2n ?1 ,即 2n-1= =19, 2 2n ? 1

∴n=10. 二、填空题 10. 3 2 . 解析:∵f(x)=
1 , 2 ? 2
x

1 x 2 1 2 2 ∴f(1-x)= 1? x = = , 2 ? 2 2 ? 2 ? 2x 2 ? 2x
x

1 1 1 ? 2x 1? ? 2x ( 2 ? 2x ) 2 2 ∴f(x)+f(1-x)= + 2 x = = 2 = . x x x 2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 2 ?2
1

设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6 2 , ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2 . 11. (1)32; (2)4; (3)32.
2 解析: (1)由 a3·a5= a4 ,得 a4=2,

5 ∴a2·a3·a4·a5·a6= a4 =32.

?a1 ? a2 ? 324 1 (2) ? ? q2 ? , 2 9 ?(a1 ? a2 )q ? 36
∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.

? ?S 4=a1+a2+a3+a4=2 (3) ? ? q 4=2 , 4 ? ?S8=a1+a2+? ? ? +a8=S 4+S 4 q

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∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32. 12.216.

8 27 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与 , 同号,由等比中项的 2 3
中间数为
8 27 27 8 ? =6,? 插入的三个数之积为 × ×6=216. 3 2 2 3

13.26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=

13 (a1+a13 ) 13 (a4+a10 ) 13? 4 = = =26. 2 2 2

14.-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10

7(a4+a10 ) 2 7 (a5-d+a5+5d ) = 2
= =7(a5+2d) =-49. 三、解答题 15.分析:判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数. 证明: (1)n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ ∴

1 1 1 , , 成等差数列, a b c

2 1 1 = + 化简得 2ac=b(a+c). b a c

bc+c 2+a 2+ab b(a+c ) +a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 b+c a+b a+c + = = = = =2· , b(a+c) ac ac ac a c b 2



b+c c+a a+b , , 也成等差数列. a b c

16.解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或-

1 . 2
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n(n-1) n 2+3n = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2
(2)若 q=1,则 Sn=2n+
- n 2+9 n n(n-1) 1 1 ,则 Sn=2n+ (- )= . 4 2 2 2 (n- 1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4

若 q=-

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 17.证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{

S n+1 2S = n . n+1 n

Sn }是以 2 为公比的等比数列. n

18.证明:由 a1,2a7,3a4 成等差数列,得 4a7=a1+3a4,即 4 a1q6=a1+3a1q3, 变形得(4q3+1)(q3-1)=0, ∴q3=-

1 或 q3=1(舍). 4

a1 (1 ? q 6 ) S 1 1 ? q3 1? q 由 6 = = = ; 3 12a1 (1 ? q ) 12S 3 16 12 1? q a1 (1 ? q12 ) S12 ? S 6 S 1 1? q = 12 -1= -1=1+q6-1= ; 6 S6 S6 a1 (1 ? q ) 16 1? q S ? S6 S 得 6 = 12 . S6 12S 3

∴12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

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