当前位置:首页 >> 高三数学 >>

第六章 6.1不等关系与不等式


第六章 不等式

§6.1 不等关系与不等式

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.两个实数比较大小的方法
? ?a-b>0?a > b ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ? ?a-b<0?a < b
?a ? >1?a ?b ?a (2)作商法?b=1?a ? ?a ? <1?a ?b

(a,b∈R);

> b
= b < b
(a∈R,b>0).

答案

2.不等式的基本性质
性质
对称性 传递性 可加性

性质内容
a>b? b<a a>b,b>c? a>c a>b? a+c>b+c

特别提醒
? ? ? 注意c 的符号

可乘性

a>b? ? ? ? ac>bc c>0 ? ?
a>b? ? ? ? ac<bc c<0 ? ?

答案

同向可

加性
同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性

a>b? ? ? ? a+c>b+d c>d ? ?

? ?

a>b>0? ? ? ? ac>bd c>d>0 ? ?
n>bn a a>b>0? (n∈N,n≥1)

a,b同

a>b>0?

n

a> b (n∈N,n≥2)

n

为正数

答案

知识拓展
不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b,ab>0?a < b. 1 1 ②a<0<b?a < b. a b ③a>b>0,0<c<d? c > d. 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0?b < x < a.
答案

(2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 b b+m b b-m ①a< ;a > (b-m>0). a +m a-m a a+m a a-m ②b> ;b < (b-m>0). b +m b-m

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b?ac2>bc2.( × ) 1 1 (2)a>b?a<b(ab≠0).( × ) (3)a>b,c>d?ac>bd.( × ) 1 1 (4)若a<b<0,则|a|>|b|.( × ) 1 1 (5)若 a >b 且 ab<0,则a>b.( √ )
3 3

答案

2
1 1 A.a>b

考点自测
1.设a<b<0,则下列不等式中不成立的是( B )
1 1 B. >a a-b D. -a> -b

C.|a|>-b
解析

1 1 由题设得 a<a-b<0,所以有 <a成立, a-b

1 1 即 >a不成立. a-b
1 2 3 4 5
解析答案

2.设0<b<a<1,则下列不等式成立的是( C )
A.ab<b2<1 B. log 1 b ? log 1 a ? 0
2 2

C.2b<2a<2
解析 1 1 取 a=2,b=3验证可得.

D.a2<ab<1

1

2

3

4

5

解析答案

3.下列选项一定正确的是( B ) A.若 a>b,则 ac>bc C.若 a >b ,则 a>b
2 2

B.若 a> b,则 a>b 1 1 D.若a<b,则 a>b

解析

A选项中,若c=0,显然不成立;

B 选项中,若 a> b,平方即可知 a>b,故正确;

C选项中,若a<0,b<0,则a<b,故错误;

D项中,若a<0,b>0,则a<b,故错误.故选B.

1

2

3

4

5

解析答案

1 1 1 a b 4.已知 0<a<b,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关 1+a 1+b 1+a 1+b 系是( A ) A.M>N C.M=N
解析

B.M<N D.不能确定

1 ∵0<a<b,∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,

1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b?

1

2

3

4

5

解析答案

1

2

3

4

5

解析答案

返回

题型分类 深度剖析

题型一

比较两个数(式)的大小
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,

例1

则a,b,c的大小关系是( A )
A.c≥b>a B.a>c≥b

C.c>b>a
解析

D.a>c>b

∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.

又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
12 3 ∴b-a=a -a+1=(a-2) +4>0,
2

∴b>a,∴c≥b>a.
解析答案

ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a= 3 ,b= 4 ,c= 5 ,则(

)

A.a<b<c
C.c<a<b

B.c<b<a
D.b<a<c

思维升华

解析答案

跟踪训练1
1 2 x (1)已知 x∈R,m=(x+1)(x +2+1),n=(x+2)· (x +x+1),则 m,n 的
2

大小关系为( A.m≥n C.m≤n

) B.m>n D.m<n

解析答案

a<b (2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为______.

解析

18 16 1 a 18 = ) 18=( b 16 16 162

16

9 16 1 16 9 16 =(8) ( ) =( ) , 2 8 2
∵ ∈(0,1),∴( )16<1, 8 2 8 2 9 9

∵1816>0,1618>0,

∴1816<1618.即a<b.

解析答案

题型二

不等式的性质
已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中一定成立的是 B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0

例2

( A ) A.ab>ac C.cb2<ab2 解析 由b>c得ab>ac一定成立.

由c<b<a且ac<0知c<0且a>0.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
a b 若 a>0>b>-a, c<d<0, 则下列结论: ①ad>bc; ②d+c <0; ③a-c>b-d; ④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

解析答案

题型三

不等式性质的应用
已知 a>b>0,给出下列四个不等式:
2 a b-1

例3
2

①a >b ;②2 >2

;③ a-b> a- b;④a +b >2a b.
3 3 2

其中一定成立的不等式为( A.①②③ C.①③④

) B.①②④ D.②③④

思维升华

解析答案

(1)若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是( C ) 1 1 A. >b a-b |b| |b|+1 C.|a|< |a|+1 B.a2<ab D.an>bn

跟踪训练3

解析 正确;

(特值法 ) 取 a =- 2, b =- 1,逐个检验,可知 A, B, D 项均不

|b| |b|+1 C 项,|a|< ?|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1) |a|+1

?|a||b|+|b|<|a||b|+|a|?|b|<|a|, ∵a<b<0,∴|b|<|a|成立,故选C.
解析答案

(2)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c c c ①a>b;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ ) B.①② D.①②③

解析答案

返回

易错警示系列

易错警示系列

6.不等式变形中扩大变量范围致误

典例

设f(x)=ax2 +bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出a,b的范

范围是________.

易错分析

围,再求f(-2)=4a-2b的范围,导致变量范围扩大.

温馨提醒

易错分析

解析答案

返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.用同向不等式求差的范围.
? ?a<x<b, ?a<x<b, ? ?? ?a-d<x-y<b-c. ? ?c<y<d ?-d<-y<-c

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.倒数关系在不等式中的作用.
?ab>0, 1 1 ?ab>0, 1 1 ? ? ?a < b ; ?a>b. ?a>b ?a<b

3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法 之一.比差法的主要步骤:作差—变形—判断正负.在所给不等式完全 是积、商、幂的形式时,可考虑比商. 4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.

失误与防范
1.a>b?ac>bc或a<b?ac<bc,当c≤0时不成立.
1 1 1 1 2.a>b?a<b或 a<b?a>b,当 ab≤0 时不成立.

3.a>b?an>bn对于正数a、b才成立. a 4.b>1?a>b,对于正数 a、b 才成立.
5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如:
?a>b, a>b,b>c?a>c,其中 a>c 不能推出? ?b>c.

6.比商法比较大小时,要注意两式的符号.
返回

练出高分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

1.已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是( D )
A.ad>bc B.ac>bd

C.a-c>b-d
解析

D.a+c>b+d

由不等式的同向可加性得a+c>b+d.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

2.已知a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由ac2>bc2可得a>b,因为c2>0, 而由a>b不一定能得到ac2>bc2. 因为c2可能为0.
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

3.设 a>2,A= a+1+ a,B= a+2+ a-2,则 A,B 的大小关系是 ( A ) A.A>B C.A≥B B.A<B D.A≤B

解析

A2=2a+1+2 a2+a,B2=2a+ a2-4,显然 A2>B2,故选 A.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

4.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C.ab2<a2b B.ab2<a2b b a D.a<b

)

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

π π β 5.设 α∈(0,2),β∈[0,2],那么 2α-3的取值范围是( D ) 5π A.(0, 6 ) C.(0,π) π 5π B.(-6, 6 ) π D.(-6,π)

解析

β π 由题设得 0<2α<π,0≤3≤6,

π π β β ∴-6≤-3≤0,∴-6<2α-3<π.
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

6.已知a1,a2∈(0,1),记M =a1a2,N=a1+a2-1 ,则M与N的大小关系
是( )

A.M<N
C.M=N

B.M>N
D.不确定

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

7.设 a>b>c>0,x= a2+?b+c?2,y= b2+?c+a?2,z= c2+?a+b?2,

z>y>x 则 x,y,z 的大小关系是__________.( 用“>”连接) 解析 方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.

同理,z>y,∴z>y>x.

方法二

令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20,

z= 26,故 z>y>x.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

8.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题 c d ①若 ab>0,bc-ad>0,则a-b>0; c d ②若 ab>0,a-b>0,则 bc-ad>0; c d ③若 bc-ad>0,a-b>0,则 ab>0. 其中正确的命题是________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

9.设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.



(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).
∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

10.甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙 一半时间步行,一半时间跑步;如果两人步行、跑步速度均相同,则 谁先到教室?

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

11.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 a b B.若 c > c,则 a>b 1 1 C.若 a >b 且 ab<0,则a>b
3 3

)

1 1 D.若 a >b 且 ab>0,则a<b
2 2

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

12.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( A )

A.a>b+1
C.a2>b2

B.a>b-1
D.a3>b3

解析

由a>b+1,得a>b+1>b,即a>b,而由a>b不能得出a>b+1,

因此,使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b+1.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

13.已知 0<a<b<1,则( 1 1 A.b>a C.(lg a) <(lg b)
2 2

) 1a 1b B.(2) <(2) 1 1 D.lg a>lg b

解析答案

1

2

3
n

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

14.若不等式(-2) a-3
n

n-1

-(-2) <0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a

的取值范围是(
? 4? ? A.?1,3? ? ? ? ? 7? ? C.?1,4? ? ? ?

)
?1 4? ? B.?2,3? ? ? ? ?1 7? ? D.?2,4? ? ? ?

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队

买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,
按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位

去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.

解析答案

返回


赞助商链接
相关文章:
6.1不等关系与不等式
2013 高考数学一轮强化训练 6.1 不等关系与不等式 文 新人教 A 版 1.若 ...1 (k ? N ? ) .已知一个铁钉受击 3 次后全部 k 进入木板,且一次受...
6-1 不等关系与不等式
6-1 不等关系与不等式_高考_高中教育_教育专区。[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1. 若 ab<0,则有( b a A. +≤-2 a b b a? C.? ?a...
6.1不等关系与不等式
6.1不等关系与不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。简要介绍资料的主要内容...青岛版八年级上册第六章... 14页 免费 6.1不等关系和不等式(2) 27页 免...
§6.1不等关系与不等式的性质
§6.1不等关系与不等式的性质_高二数学_数学_高中教育_教育专区。§4.1 不等关系与不等式的性质(教案)知识点:不等式的概念;不等式的分类;两个实数的大小;不等...
...一轮复习课时训练:6.1 不等关系与不等式(含答案解析...
2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.1 不等关系与不等式(含答案解析)_高中教育_教育专区。2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.1 不等关系与不等式...
6.1不等关系与不等式
6.1不等关系与不等式_初二数学_数学_初中教育_教育专区。不等关系与不等式第...青岛版八年级上册第六章... 14页 免费 §6.1不等关系和不等式(... 27页...
...第06章不等式与推理证明6.1不等关系与不等式Word版...
【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06章不等式与推理证明6.1不等关系与不等式Word版含解析]_高中教育_教育专区。【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06...
6.1不等关系和不等式(1)
5.9实数 第2课时 6.1不等关系和不等式(2) 6.2一元一次不等式(1) 6.2一元一次不等式(2) 6.2一元一次不等式(3) 6.3一元一次不等式组(1) 6.3一元一...
6.1不等关系和不等式(2)
6.1不等关系与不等式(2) 4页 免费 第六章第1节 不等关系和不... 2页...§6.1 不等关系和不等式(第 65 课时) 6.1 不等关系和不等式( 课时)一、...
...数学(文)全程复习构想练习:6.1 不等关系与不等式 Wo...
【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想练习:6.1 不等关系与不等式 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1.“a+c>b+d”是“...
更多相关标签: