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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 班级 姓名 2.2.3 学习 目标 向量数乘运算及其几何意义 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处 理有关共线向量问题. 重点 难点 1.实数 λ 与向量 a 可作数乘,但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减运算, 如 λ+a,λ-a 都是无意义的.还必须明确 λa 是一个向量,λ 的符号与 λa 的方 向相关,|λ|的大小与 λa 的模长有关. 2.利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理, 一定要注意,向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别;常用向量共线解 决平面几何中的“平行”或“点共线”问题. 【向量数乘运算的物理背景】 (1)一物体作匀速直线运动,一秒钟的位移对应向量 v,那么在同方向上 3 秒钟的位移对 应的向量用 3v 表示,试在直线 l 上画出 3v 向量,看看向量 3v 与 v 的关系如何? (2)已知非零向量 a,作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),你能说明它们与向量 a 之间的 关系吗? (3)已知非零向量 a,你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何意义吗? 答 λa 仍然是一个向量.当 λ>0 时,λa 与 a 的方向 ; 当 λ<0 时,λa 与 a 的方向 ; 当 λ=0 时,λa=0,方向 .|λa|=|λ|· |a|. 【向量数乘的运算律】 根据实数与向量积的定义,可以验证下面的运算律:设 λ,μ∈R,则有 ①λ(μa)=(λμ)a; ②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb. 向量等式的证明依据是相等向量的定义,既要证明等式两边的模相等,又要证明方向相 同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗? 1 鸡西市第十九中学高一数学组 【向量的线性运算】 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a、b,以及任意实 数 λ、μ1、μ2,恒有 λ(μ1a± μ2b)= . 例 1 计算: (-3)×4a; 3(a+b)-2(a-b)-a; (2a+3b-c)-(3a-2b+c). 小结 向量的线性运算类似于代数多项式的运算, 主要是 “合并同类项” 、 “提取公因式” , 但这里的“同类项” 、 “公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 7 2 1? 7 1 3 ?3a+2b?- a-b?- ? a+ ?b+6a?? 训练 1 计算:6(3a-2b)+9(-2a+b); ?? 3 ? 6?2 7? 2? 6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 【共线向量定理及应用】由向量数乘的含义,我们容易得到向量共线的等价条件: 如果 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当存在一个实数 λ,使 b=λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是 假设存在 ,再根据 已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在,反之不存在. 例如,已知 e1,e2 是不共线的向量,a=3e1+4e2,b=6e1-8e2,则 a 与 b 是否共线? 解 若 a 与 b 共线,则存在 λ∈R,使 a=λb, 即 =λ( ), 所以( )e1+( )e2=0, ? ?3-6λ=0, 因为 e1 与 e2 不共线,所以? 所以 λ 不存在, ?4+8λ=0, ?

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