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山东省临沂市2013届高三二模理科数学试题


2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数
i
3

1 ? 2i

(i 是虚数单位)的实部是 (B) ?
2 5

(A)

2 5

(C)

1 5

(D) ?

1 5

2.集合 M ? ? 2, lo g 3 a ? , N ? ? a , b ? , 若 M ? N ? ?1? ,则 M∪N= (A) ? 0 ,1, 2 ? (B) ? 0 ,1, 3? (C) ? 0 , 2 , 3? (D) ?1, 2 , 3?
开始

3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关 关系,根据一组样本数据 ( x i , y i )( i ? 1, 2, … , n ) ,用最小二乘
? 法建立的回归方程为 y ? ? 1 0 x ? 2 0 0, 则下列结论正确的是 (A)y 与 x 具有正的线性相关关系 (B)若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r ? ? 1 0 (C)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 (D)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右

x ? 0, y ? 1, z ? 2

z ? x? y

y ? z
x ? y

4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a ? ( 2 , 0 ), b ? 1, 则 a ? 2 b ? (A) 3 (B) 2 3 (C)4 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 (A)11 (B)12 (C)13 6.函数 y ? e
sin x

(D)12 (D)14

z≤10 否 输出 z



( ?π ≤ x ≤ π ) 的大致图象为

第 5 题图 结束

(A)

(B)

(C)

(D)

-1-

7.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆) , 则该几何体的表面积为 (A) 9 2 ? 1 4π (B) 8 2 ? 1 4π (C) 9 2 ? 2 4π (D) 8 2 ? 2 4π 8.已知函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? )( ? > 0 ) 的最小正周期为 4π ,则
6 π

2 6 4 正视图 4 第 7 题图 5 俯视图 侧视图

(A)函数 f ( x ) 的图象关于点( , 0 )对称
3

π

(B)函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? (C)函数 f ( x ) 的图象向右平移
π 3

π 3

对称

个单位后,图象关于原点对称

(D)函数 f ( x ) 在区间 ( 0 ,π ) 内单调递增 9.双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a> 0 , b> 0 ) 与抛物线 y ? 2 p x ( p> 0 ) 相交于 A,B 两点,
2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为 (A) 2 (B) 1 ?
2

2

(C) 2 2

(D) 2 ?

2

10.若集合 A ? ? x x ? 5 x ? 4< 0 ? ; B ? ? x x ? a < 1? , 则“ a ? ( 2, 3) ”是“ B ? A ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 11. 若函数 f ( x ) ? ? 的最大值是 (A)4
3

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2 2

1 b

e

ax

( a> 0 , b> 0 ) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x ? y ? 1 相切, a ? b 则

(B) 2 2

(C)2

(D) 2

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,当 ? 1≤ x<1 时,
f ( x ) ? x ,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? lo g a x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是
( ( (A) 0 , ] ? 5, ? ? ) 5 1 1 ( , ] ? 5, 7) ( (C) 7 5 1 ( (B) 0 , )? [5, ? ? ) 5 1 1 ( , ) [5, 7) ? (D) 7 5 1

-2-

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 13.若 tan ( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2 ? ? . π 14.某地政府调查了工薪阶层 1000 人的 频率/组距 月工资收入, 并把调查结果画成如图所示的频 率分布直方图, 为了了解工薪阶层对月工资收 0.05 入的满意程度,要用分层抽样方法从调查的 0.04 1000 人中抽出 100 人作电话询访, ( 3 0 , 3 5 ] 则 (百元)月工资收入段应抽出 人. 0.02
? 3 ? a ( x≥ 0 ), 15.已知奇函数 f ( x ) ? ? ? g ( x )( x< 0 ),
x

0.01 10 15 20 25 30 35 40 月工资(百元) 第 14 题图
2 2

则 g ( ? 2 ) 的值为

.

16.在区间 [ ? 1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x ? m x ? n ? 0 有两不相等实根 的概率为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A ? (Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.
π 4

, b s in ( ? C ) ? c s in ( ? B ) ? a .
4 4

π

π

18. (本小题满分 12 分) 某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计结 果见下表: 答对题目 个数 人数 0 5 1 10 2 20 3 15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随 机变量 X 的分布列及数学期望 EX.

-3-

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 3, a n ? 1 ? a n ? p ? 3 n ( n ? N , p 为常数) a 1 , a 2 ? 6 , a 3 成等差数列. ,
*

(Ⅰ)求 p 的值及数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ? b n ? 满足 b n ?
n
2

an

,证明: b n ≤

4 9

.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知矩形 ABCD 中, AB=2AD=2, 为 CD 的中点, AO 将三角形 AOD 折起, D B = 3 . O 沿 使 D (Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
D O C O C

A

B

A 第 20 题图

B

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a> b≥ 1)

的离心率 e

?

3 2

,且椭圆

C 上一点 N 到点 Q(0,3)的距离最大值为 4,过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A、B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 O A ? O B 数 t 的取值范围.
??? ? ??? ? ??? ? ? tOP

(O 为坐标原点) ,当 A B < 3 时,求实

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? e ln x , g ( x ) ? ln x ? x ? 1, h ( x ) ? (Ⅰ)求函数 g ( x ) 的极大值. (Ⅱ)求证:存在 x 0 ? (1, ? ? ) ,使 g ( x 0 ) ? g ( ) ;
2 1 1 2 x .
2

(Ⅲ)对于函数 f ( x ) 与 h ( x ) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x )≤ kx ? b 和
h ( x )≥ kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x ) 与 h ( x ) 的分界线.试探究函数 f ( x ) 与

h ( x ) 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.

-4-

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准

2013.5

说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. ?
4 5

14. 15

15.-8

16.

1 4

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由 b sin (
π π ? C ) ? c sin ( ? B ) ? a, 用正弦定理得 4 4

π π sin B sin ( ? C ) ? sin C sin ( ? B ) ? sin A . ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) 4 4

∴ s in B s in (

2 2

cos C ?

2 2

s in C ) ? s in

C(

2 2

cos B ?

2 2

s in B ) ?

2 2



?????????????(2 分) 即 sin B co s C ? co s B sin C ? 1, ∴ sin ( B ? C ) ? 1 . ?????????????????????(3 分) ∵ 0< B , C < π ,
4 3

∴ ? π < B ? C< π , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 )
4 4 π 2

3

3

∴B?C ? 又A ?
π 4

.??????????????????????(5 分)
C ?

,∴ B ?
5

3 4

π ,

解得 B ? π , C ?
8

π 8

. ???????????????????(6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ?
8

5

π 8

,由正弦定理,

-5-

得b?

a s in B s in A

2 ?

5 2 ? s in π 8 ? 4 s in 5 π . ????????????(8 分) π 8 s in 4

∴△ABC 的面积 S ?
? 4 ? 2

1 2

a b s in C ?

1 2

?2

5 π 2 ? 4 s in π s in ?????(9 分) 8 8

5 2 s in π 8 2 s in π 4

π s i? n 8

4

π π 2 c o s s in 8 8

? 2. ??????????????( 12 分)

18.解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则
P ( A) ? C 20 ? C 10 C15 ? C 20 C15
2 1 1 1 1

C 50

2

???????????????(3 分)

?

190 ? 150 ? 300 25 ? 49

?

128 245

,?????????????(5 分)
128 245

即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 (Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P ( X ? 0) ?
C 5 ? C 10 ? C 20 ? C 15
2 2 2 2

????????(6 分)

C 50 C 5C
1 1

2

?

350 1225

?

2 7

, ?????????(7 分)

P ( X ? 1) ?

1 0

? C C 0 ?2 C C 1 0
1 1

1 2 0

1

C 50 C 5C
1 1

2

?

550 1 5 1225

?

22 49

, ????????(8 分)

P ( X ? 2) ?

2 0

? C C0 1
1 2

1 1 ? 5

250

?

10 49

, ????????????(9 分)

C 50 C 5C 15 C 50
2 1 1

1225 75 3 49

P ( X ? 3) ?

?

?

. ????????????????(10 分)

1225

从而 X 的分布列为: X P
2 7

0
2 7 ? 1? 22 49
n

1
22 49 10 49

2
10 49 3 49 51 49

3
3 49

????(11 分)

X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ?

? 2?

? 3?

?

. ?????(12 分)

19.解: (Ⅰ)由 a 1 ? 3, a n ? 1 ? a n ? p ? 3 , 得 a2 ? 3 ? 3 p , a3 ? a ? 9 p ? 3 ? 12 p.
2

∵ a 1 , a 2 ? 6 , a 3 成等差数列, ∴ a1 ? a 3 ? 2 ( a 2 ? 6 ), 即 3 ? 3 ? 1 2 p ? 2 (3 ? 3 p ? 6 ), 得 p ? 2 . ???????????????(2 分)
-6-

依题意知, a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ,
n

当 n≥ 2 时, a 2 ? a 1 ? 2 ? 3 ,
1

a3 ? a2 ? 2 ? 3 ,
2

?
a n ? a n ?1 ? 2 ? 3
1 2 n ?1

.
n ?1

相加得 a n ? a1 ? 2 (3 ? 3 ? … ? 3 ∴ a n ? a1 ? 2 ?
n

),

3 ? (1 ? 3 1? 3

n ?1

)

? 3 ? 3,
n

∴ a n ? 3 ( n≥ 2 ). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 又 a1 ? 3 适 合 上 式 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) 故 an ? 3 . ??????????????????????????( 6 分)
n

(Ⅱ)证明:∵ a n ? 3 , ∴ b n ?
n

n 3

2 n

.

∵ bn ?1 ? bn ?

( n ? 1) 3
n ?1

2

?

n 3

2 n

?

?2n ? 2n ? 1
2

3
1? 2 3

n ?1

( n ? N ).
*

???????(8 分)

若 ? 2 n ? 2 n ? 1< 0, 则 n>
2

,

即 当 n≥ 2 时 , 有 b n ? 1< b n . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 0 分 ) 又 因 为 b1 ? 故 bn ≤
4 9 1 3 , b2 ? 4 9 , ?????????????????????(11 分)

. ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ( 12 分)

(Ⅱ)法二:要证 b n ?
n

n 3
2

2 n



4 9

,

只要证 4 ? 3 ≥9n .??????????????????????( 7 分) 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n ? 2 时,左边 =36,右边=36 ,不等式成 立.? ??? ????? ?( 8 分)
k ≥ ② 假 设 当 n ? k ( k? N 且 k 2 ) 时 , 4 ? 3 ≥ 9 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 )
*
k 2

则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2, 2 要证 3×9k2≥9(k+1), 2 只要正 3k2≥(k+1),
-7-

即证 2k 2 -2k-1≥0.??????????????????????(10 分) 而当 k﹥
1? 2
*

3

, 即 k ? N 且 k≥ 2 时,上述不等式成立 .??????(11 分)
*

由①②可知,对任意 n ? N ,所证不等式成立.??????????(12 分) 20. (Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点, ∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴ ∠ AOB=90?,即 OB⊥OA.??????????????????(1 分) 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH= 在 Rt△BOH 中,BH2=BO2+OH2=
2 2 2 2



5 2

,
5 2

在△BHD 中,DH2+BH2= (

) ?
2

? 3, 又 DB =3,

2

∴DH 2 +BH 2 =D B 2 ,∴DH⊥BH .????????????????(2 分) 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ?????????????????(3 分) ∴DH⊥面 ABCO,????????????????????(4 分) 而 D H ∈ 平 面 AO D , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) ∴ 平 面 AO D ⊥ 平 面 A B C O . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) (Ⅱ)解:分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,则 B (0, 2 , 0 ) , A ( 2 , 0, 0 ) , D (
2 2 ??? ? ???? 2 2 2 2 , 0, 2 2 ???? ), B C ? ( ? 2 2 ) ,C (? 2 2 2 2
z D

,

2 2

, 0) .

∴ A B ? ( ? 2 , 2 , 0 ), A D ? ( ?

, 0,

,?

, 0 ). ? ? ( 7 分 )

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ),
??? ? ? ? 2 x ? 2 y ? 0, ? n ? A B ? 0, ? ? 由 ? ???? 得? 2 2 x? z ? 0, ? n ? A D ? 0, ?? ? ? 2 2

O H

C

即 x ? y , x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x

A

B

y

取 n ? (1,1,1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,
???? BC ? n ? 则 s in ? ? ???? BC ? n 2 3 ? 6 3 .

???????????????(11 分)

-8-

即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 3

. ?????????(12 分)

21.解: (Ⅰ)∵ e ?
2

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a y b
2 2

2

?

3 4

,

∴ a ? 4 b , ??????????(1 分)
2 2

则椭圆方程为

x

2 2

?

? 1, 即 x ? 4 y ? 4 b .
2 2 2

4b

设 N ( x , y ), 则
N Q?
?

( x? 0 ) ? ( y ? 3 ) ?
2 2

4 b

2

? 4 y
2
2

? y ?????????(2 分) ( 3)
2
2

? 3 y ? 6 y ? 4b ? 9 ?
2 2

? 3( y ? 1) ? 4 b ? 1 2

当 y ? ?1 时, N Q 有最大值为

4b ? 12 ? 4, ? ?? ?? ?? ??? ( 3 分)
2

解得 b ? 1, ∴ a ? 4 ,椭圆方程是
2
2

x

2

? y ? 1 ????????(4 分)
2

4

(Ⅱ)设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x , y ), A B 方程为 y ? k ( x ? 3),
? y ? k ( x ? 3 ), ? 由? x2 2 ? y ? 1, ? ? 4

整 理 得 (1 ? 4 k ) x ? 2 4 k x ? 3 6 k ? 4 ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 )
2 2 2 2

由 ? ? 2 4 k k ? 1 6 (9 k ? 1)(1 ? 4 k )> 0 ,得 k <
2 4 2 2

2

1 5

.

x1 ? x 2 ?

24k

2 2

1 ? 4k

, x1 ? x 2 ?

36k ? 4
2

1 ? 4k

2

. ???????????????(6 分)

∴ O A ? O B ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? t ( x , y ), 则x ?
1 t
1 t

??? ?

??? ?

( x1 ? x 2 ) ?

24k

2 2

t (1 ? 4 k )

,
?6k t (1 ? 4 k )
2

y ?

( y1 ? y 2 ) ?

1 t

? k ( x1 ?

x2 ) ? 6 k ? ?

. ?????????(7 分)

由点 P 在椭圆上,得

(24k )
2

2

2 2 2

t (1 ? 4 k )

?

144k
2

2 2 2

t (1 ? 4 k )

? 4,

-9-

化 简 得 3 6k ? t (1? 4k
2 2

2

) ??????????????????(8 分) ①

又由 A B ?
2

1? k

2

x1 ? x 2 < 3 ,
2

即 (1 ? k ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? < 3, 将 x1 ? x 2 , x1 x 2 代入得 ? ?
24 k 4 (3 6 k ? 4 ) ? 2 ? (1 ? k ) ? ? ? < 3, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 2 2 2 1 ? 4k ? (1 ? 4 k ) ?
2 4 2

化简,得 (8 k ? 1)(1 6 k ? 1 3)> 0,
2 2

则 8 k ? 1> 0 , k >
2 2

1 8

,? ????????????????????( 10 分)

∴ <k <
8
2

1

2

1 5


36k
2 2

由①,得 t ?

1 ? 4k

?9?

9 1 ? 4k
2

,

2 联 立 ② , 解 得 3< t < 4 , ∴ ? 2< t< ?

3 或

3< t< 2 . ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 )

2 2 . 解 : Ⅰ ) g ?( x ) ? (

1 x

?1 ?

1? x x

( x> 0 ). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 )

令 g ? ( x )> 0 , 解得 0< x<1; 令 g ? ( x )< 0 , 解 得 x>1 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) ∴函数 g ( x ) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减. ?????(3 分) 所以 g ( x ) 的极大值为 g (1 ) ? ? 2 . ????????????????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x ) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减, 令? ( x ) ? g ( x ) ? g ( )
2 1

∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )> 0 ,
2

1

??????????????????(5 分)

取 x ? ? e >1, 则
? (e ) ? g (e ) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln
2 ? ? e ? ln 2 ? 3 2 <0. 1 1 2 ?( 1 2 ? 1)

????????????(6 分)
1

故存在 x 0 ? (1, e ), 使 ? ( x 0 ) ? 0 , 即存在 x 0 ? (1, ? ? ), 使 g ( x 0 ) ? g ( ).
2

- 10 -

??????????????????(7 分) (说明: x ? 的取法不唯一,只要满足 x ?>1, 且 ? ( x ? )< 0 即可) (Ⅱ)设 F ( x ) ? h ( x ) ? f ( x ) ?
e x x ?e
2

1 2

x ? e ln x ( x> 0 )
2

则 F ?( x ) ? x ?

?

?

(x ?

e )( x ? x

e)

x

则当 0< x< e 时, F ? ( x )< 0 ,函数 F ( x ) 单调递减; 当 x> e 时, F ? ( x )> 0 ,函数 F ( x ) 单调递增. ∴x ?
e 是函数 F ( x ) 的极小值点,也是最小值点,

∴ F ( x ) m in ? F ( e ) ? 0 . ∴函数 f ( x) 与 h( x) 的图象在 x ?
e 处有公共点(
1 2 e ? k(x ? e, 1 2 e ).???(9 分)

设 f ( x ) 与 h ( x ) 存在“分界线”且方程为 y ? 令函数 u ( x ) ? k x ?
1 2 e?k 1 2
2

e) ,

e
2

①由 h ( x ) ≥ u ( x ) ,得

x ≥ kx ?

1 2

e?k

e 在 x ? R 上恒成立,

即 x ? 2 kx ? e ? 2 k e ≥ 0 在 x ? R 上恒成立, ∴ ? = 4 k ? 4 ( ? e ? 2 k e )≤ 0 ,
2

即 4(k ? ∴k ?

e ) ≤0 ,
e ,故 u( x) ?
e x? 1 2 e???????????????(11 分) .

2

②下面说明: f ( x )≤ u ( x ) , 即 e ln x ≤ e x ?
1 2 e ( x> 0 ) 恒成立. ex ?
e? x

设 V ( x ) ? e ln x ?
e x

1 2

e

则 V ?( x ) ?

?

e ?

ex

∵当 0< x< e 时, V ? ( x )> 0 ,函数 V ( x ) 单调递增, 当 x> e 时, V ? ( x )< 0 ,函数 V ( x ) 单调递减, ∴当 x ?
e 时, V ( x ) 取得最大值 0, V ( x )≤ V ( x ) m ax ? 0 .
1 2 e ( x> 0 ) 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 3 分 )

∴ e ln x ≤ e x ?

- 11 -

综合①②知 h ( x )≥ e x ?

1 2

e , 且 f ( x )≤

ex ?

1 2

e, 1 2 e,

故函数 f ( x ) 与 h ( x ) 存在“分界线” y ? 此时 k ?
e ,b ? ? 1 2

ex ?

e .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 分 )

- 12 -


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