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《等差数列》课件1


2.2 等差数列

复习巩固

1.数列有哪几种表示方法?

通项公式法、列表法、图象法、递推法.
2.根据数列的项数多少和项的大小变化规

律,数列可分为哪些类型?
有穷数列,无穷数列;

递增数列,递减数列,摆动数列,常数列.

知识

探究

观察下面的4个数列有什么共同特点? (1)从0开始,将5的倍数按从小到大的顺 序排列,组成的数列为: 0,5,10,15,20,25,……. (2)在2000年悉尼奥运会上,女子举重被 正式列为比赛项目,该项目共设置了7个级 别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg), 组成数列 :48,53,58,63.

知识探究

(3)水库管理人员为了保证优质鱼类有良 好的生活环境,用定期放水清库的办法清 理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为 18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低 降至5m.那么从开始放水算起,到可以进 行清理工作的那天,水库每天的水位(单 位m)组成的数列为:

18,15.5,13,10.5,8,5.5.

知识探究

(4)我国现行储蓄制度规定银行支付存款 利息的方式为单利,即不把利息加入本息 计算下一期的利息.按照单利计算本利和的 公式是:本利和=本金×(1+利率×存 期).按活期存入10 000元钱,年利率是 0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本 利和(单位:元)组成的数列为: 10072,10144,10216,10288,10360.

知识探究

共同特点: 从第2项起,每一项与其前一项的 差都等于同一个常数.

形成概念

如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数,这个 数列就叫做等差数列,这个常数就叫做 等差数列的公差(常用字母d表示). 一般地,若a,A,b成等差数列,则A 叫做a与b的等差中项.

形成概念

等差数列{an}的递推公式:

an - an- 1 = d (n ? 2)
等差数列{an}中,an-1,an,an+1三者之间 的关系:

an-1+an+1=2an(n≥2)

知识探究

设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 请你写出a2,a3,a4,a5 . a2=a1+d a3=a2+d= a1+2d a4=a3+d= a1+3d

a5=a4+d= a1+4d

若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其

通项公式为:

an = a1 + (n - 1)d

形成概念

设等差数列{an}的公差为d,当d>0,

d<0,d=0时,数列{an}的特点:
d>0时,{an}是递增数列; d<0时,{an}是递减数列;

d=0时,

{an}是常数列.

典例讲评

例 1.
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项. (2)判断-401是不是等差数列-5,- 9,-13,…的项?如果是,是第几项?

解:(1)由题意可知:a1=8,d=5-8=2-5=-3, ∴该数列通项公式为:an=8+(n-1)×(-3),即: an=11-3n(n≥1).当n=20时, 则a20=11-3×20=-49. ∴这个数列的第20项为-49.

a1 = - 5, d = - 9 - (- 5) = - 4, (2)由题意可知:
∴该数列通项公式为:an = - 5 - (n - 1) = - 4n - 1.

令-401=-4n-1,解之得n=100.
∴-401是这个数列的第100项

典例讲评

例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km, 起步价为10元,即最初的4km(不含4千米) 计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去 往14km处的目的地,且一路畅通,等候时 间为0,需要支付多少车费?

a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2.

例3. 已知数列?an ?的通项公式为an ? pn ? q 其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等差 数列吗?
an ? an?1 ? ( pn ? q ) ? ? p( n ? 1) ? q ? 解: ? pn ? q ? ( pn ? p ? q ) ? p.
它是一个与n无关的常数.所以是等差数列.

课堂小结

1.等差数列是一类特殊的数列,其基 本特征可理解为:从第2项起,每一项 与它的前一项的差都相等,并且可以 用两种递推公式来描述.
2.等差数列的公差可以为任意实数, 常数列是公差为零的等差数列.

3.等差数列的通项公式是由其定义推 导出来的,确定一个等差数列需要两 个独立条件.根据等差数列的定义和通 项公式还可发掘出许多性质,具体内 容有待探究.


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