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人教版高中数学课件 第二册:平面向量复习


平面向量复习
知识结构 要点复习

例题解析 巩固练习

平面向量 复习
表示 向量的三种表示
三 角 形 法 则

平 面 向 量
运算

向量加法与减法
平行四边形法则
向量平行的充要条件

实数与向量的积
平面向量的基本定理

向量的数量积

平面向量 复习
向量定义: 既有大小又有方向的量叫向量。 重要概念:
(1)零向量: 长度为0的向量,记作0.

(2)单位向量:长度为1个单位长度的向量.
(3)平行向量:也叫共线向量,方向相同或相反 的非零向量. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

平面向量 复习

向 量 几何表示 : 有向线段 ? ??? ? 的 字母表示 : a 、 等 AB 表 坐标表示 : (x,y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =

B(x2,y2)

(x2 - x1 , y2 - y1)

平面向量复习

向量的模(长度) 1. 设 a = ( x , y ), 则 a ?

x ? y
2

2

2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ,则

a ? AB ?

? x1 ? x 2 ?

2

? ? y1 ? y 2 ?

2

平面向量小 复习

已知向量a=(5,m)的长度是13,求m.

答案: m = ± 12

平面向量复习
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A
B O A

C

平行四边形法则
B
C

重要结论:AB+BC+CA= 0

坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

平面向量复习 2.向量的减法运算
B

1)减法法则: OA-OB = BA
2)坐标运算:
O A

若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a - b= (x1 - x2 , y1 - y2)
3.加法减法运算率
1)交换律: 2)结合律:

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

平面向量 复习 例1 化简(1)(AB + MB)+ BO + OM 分析

(2) AB + DA + BD -BC-CA 利用加法减法运算法则,借助结论 AB=AP+PB;AB=OB-OA;AB+BC+CA=0
进行变形.

解: 原式= AB +(BO + OM + MB) (1) = AB + 0 = AB
(2)原式= AB + BD + DA -(BC + CA)
例1

= 0-BA = AB

平面向量复习
练习2 如图,正六边形ABCDEF中,AB=a、BC=b、

AF=c,用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.
答案: AD=2 b BE=2 c BF= c-a FC=2 a B b C D a 0 E A c F

思考: a、b、c 有何关系?

b =a + c

平面向量小 复习
练习3 (课本P149 复习参考题五 A组 7)

已知点A(2,-1)、B(-1,3)、C(-2,-5)求
(1)AB、AC的坐标;(2)AB+AC的坐标; (3) AB-AC的坐标.

答案: (1) AB=(-3,4), AC =(-4, -4 )
(2)AB+AC=( -7,0 ) (3) AB-AC= (1,8)

平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
定义: λa是一个

向量.
与a方向相同;

它的长度 |λa| = |λ| |a|; 它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 (2) 当λ<0时,λa 的方向 与a方向相反.

其实质就是向量的伸长或缩短!
坐标运算: 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)

= (λ x , λ y)

平面向量 复习 非零向量平行(共线)的充要条件 向量表示: a∥b

a=λb (λ∈R且b≠0)

坐标表示: 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 ),则

a∥b

x1y2-x2y1=0

平面向量复习 平面向量的基本定理
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该 平面内的任何一个向量 a ,有且只有一对实数λ 1、λ 2 使

a =λ 1 e1 +λ

2

e2

不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有 向量 的一组基底

向量相等的充要条件 λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2 λ1= λ2 μ 1=μ2

数量积 ? ? ? ? 1、平面向量数量积的定义: ? b ? | a | ? | b | cos ? a
? ? 2、数量积的坐标运算 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2

3、运算律: (1)

? ? ?? ? ? ? ( 2) ( ? a) b ? ? a ? b) a( ? b) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (3) ( a ? b ) c ? a ? c ? b ? c ?

? ? ? ? a ?b ? b ? a

4、向量垂直的判定

? ? ? ? 向量表示 (1) a ? b ? a ? b ? 0 ? ? 坐标表示 ( 2) a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

5、向量的模

? ? ? ? ?2 2 (1) a ? a ? | a | , a |? a | ? ? ( 2) 设 a ? x, y) , 则 | a |? (

x ? y
2

2
2 2

( (3) 若 A x1, y1) , B x 2, y 2) , 则 | AB |? ( x1 ? x 2) ? y1 ? y 2) ( ( ? ? a ?b 6、向量的夹角 ? ? cos ? ? θ∈[0°, 180°] | a || b |

cosθ=

x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

x2 ? y2
2

2

7、线段的定比分点

点P(x,y)分有向线段P P2所成定比为?,其中P x1,y1),P2 x2,y2) ( ( 1 1 即P P ? ?PP2 1 中点坐标 定比分点P的坐标

x1 ? ? x 2 ? x? ? ? 1? ? ? y1 ? ? y 2 ?y ? ? 1? ? ?

x1 ? x 2 ? x? ? ? 2 当 ? ? 1时 , ? y1 ? y 2 ?y ? ? ? 2

平面向量 复习

例2 已知 a=(1, 2), b=(-3, 2), 当k为何值时, ka+b与a-3b平行? 平行时它们是同向还是反向?
分析 先求出向量ka+b 和a-3b的坐标,再根据向量 平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.

解: ka+b=k(1, 2)+(-3, 2)= (k-3,2k+2) a-3b=(1, 2)-3(-3, 2)= (10, -4) -4(k-3)-10(2k+2)=0 (ka+b)∥(a-3b) 1 ? 10 4 ? 1 K=- ∵ ka+b= ? ? 3 , 3 ? =- 3 (a-3b)
3
? ?

∴它们反向
例2

思考: 此题还有没有其它解法?

平面向量小 复习

n为何值时, 向量a=(n,1)与b=(4,n) 共线且方向相同?

答案:

n= 2 ?

思考: 何时 n=±2

平面向量复习
例3 分析 设AB=2(a+5b),BC= ?2a + 8b,CD=3(a ?b), 求证:A、B、D 三点共线。
要证A、B、D三点共线,可证 AB=λBD关键是找到λ

解: ∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b
∴AB=2 BD AB∥ BD

且AB与BD有公共点B

∴ A、B、D 三点共线
例3

平面向量小 复习

已知a=(1,0),b=(1,1),c =(-10)
求λ和μ,使 c =λa +μb. 答案: λ=-1, μ= 0


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