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【优化方案】2014届高考数学2.5 二次函数 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 1. 已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4), 且过点(1,5), 则这个二次函数的解析式为( ) 1 2 1 2 A.y= x +1 B.y= x +4 4 4 C.y=4x2+1 D.y=x2+4 解析:选 D.设 f(x)=ax2+4(a≠0), ∵过点(1,5),∴5=a+4,∴a=1, ∴f(x)=x2+4. 2.(2011· 高考安徽卷)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1) =( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选 A.∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 3. 如果函数 f(x)=x2-ax-3 在区间(-∞, 4]上是单调递减, 则实数 a 满足的条件是( ) A.a≥8 B.a≤8 C.a≥4 D.a≥-4 a 解析:选 A.由题知,二次函数 f(x)=x2-ax-3 的对称轴 x= ≥4,即 a≥8,故选 A. 2 2 4.设 f(x)=x -bx+c 对 x∈R 恒有 f(2+x)=f(2-x),且 f(1)=-2,那么( ) A.f(2)<f(c)<f(b) B.f(c)<f(2)<f(b) C.f(2)<f(b)<f(c) D.f(b)<f(2)<f(c) 解析:选 A.由 f(2+x)=f(2-x)知,函数的对称轴为 x=2,则 b=4,又 f(1)=-2,则 c =1. 故 f(2)<f(c)<f(b). 5.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

解析:选 D.由 A,C,D 知,f(0)=c<0. b ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=- >0, 2a 知 A,C 错误,D 符合要求. 由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0, b ∴x=- <0,B 错误. 2a 二、填空题 6.关于 x 的不等式 x2-4x≥m 对 x∈(0,1)恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析:当 x∈(0,1)时,y=x2-4x 是减函数, ∴x∈[0,1]时,y=x2-4x 的最小值为-3,故 m≤-3. 答案:(-∞,-3] 7.要使 y=x2+4x(x≥a)有反函数,则 a 的最小值为________. 解析:∵y=x2+4x=(x+2)2-4,

∴它的单调区间为(-∞,-2]和[-2,+∞). ∵函数在它的单调区间上有反函数, ∴[a,+∞)?[-2,+∞),从而 a≥-2. 答案:-2 8.(2012· 高考江苏卷)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a a2 解析:由题意知 f(x)=x2+ax+b=?x+2?2+b- . ? ? 4 ∵f(x)的值域为[0,+∞), a2 a2 ∴b- =0,即 b= . 4 4 a?2 ∴f(x)=?x+2? . ? a 又∵f(x)<c,∴?x+2?2<c, ? ? a a 即- - c<x<- + c. 2 2 a ① - - c=m, 2 ∴ a - + c=m+6. ② 2

? ? ?

②-①,得 2 c=6,∴c=9. 答案:9 三、解答题 9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足条件 f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为 A,图象 与 x 轴的交点为 B、C,其中 B 点的坐标为(-1,0),且△ABC 的面积为 18,试确定这个二次 函数的解析式. 解:由 f(2-x)=f(2+x),得二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=2,又 B(-1,0),故 C 点坐标为(5,0). 设顶点 A 的纵坐标为 y, 1 则由△ABC 面积为 18,有 (5+1)|y|=18, 2 故可解得 y=± 6,A 点坐标为(2,± 6). ∴可设 f(x)=a(x-2)2+6(a≠0)或 f(x)=a(x-2)2-6(a≠0), ∵B(-1,0)是 f(x)图象上一点. 故 a(-1-2)2+6=0 或 a(-1-2)2-6=0. 2 2 可以解得 a=- 或 a= , 3 3 2 2 ∴f(x)=- (x-2)2+6 或 f(x)= (x-2)2-6. 3 3 10.函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数关系式; (2)作出 g(t)的大致图象,并写出 g(t)的最小值. 解:(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8. 当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数. ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4; 当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-8; 当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在区间[t,t+1]上是减函数. ∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7. 综上可知:

?t -2t-7,t<1 ? g(t)=?-8,1≤t≤2, ?t2-4t-4,t>2. ?
(2)g(t)的大致图象如图所示. 由图象易知 g(t)的最小值为-8. 11.(探究选做)设函数 f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1)若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即 b=a+1. 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立, ∴Δ=b2-4a≤0 恒成立,即(a-1)2≤0 恒成立. ∴a=1,b=2. (2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在 x∈[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴[-2,2]?(-∞, ]或[-2,2]?[ ,+∞). 2 2 k-2 k-2 ∴2≤ 或 <-2. 2 2 ∴实数 k 的取值范围为 k≤-2 或 k≥6.

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