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张家港市高三学生寒假自主学习数学能力测试及解答


张家港市高三学生寒假自主学习数学能力测试
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

2013.2

1.复数 1 ?

5 ( i 是虚数单位)的模等于 2?i

. .

2. 已知向量 a=(2,1), b=(x,2),且 a+b 与 a-2

b 平行,则 x 等于

?π ? 1 3. 设 sin 4+θ =3,则 sin 2θ= ? ?

. .

4. 函数 y ? x 2 ? 2 x , x ? [a, b] 的值域为 [?1,3] ,则 b ? a 的取值范围是 5. 已知函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为_________. 6. 数列 {an } 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? 4n ,则 an ? .

7. 右图是 2009 年举行的某次民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数 的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

8. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随 机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 .

9. 设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3, 且满足 f (1) >-2, f (2) = m ? m ,则 m 的取值范围是
2



10. △ ABC 外接圆半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等 于 .

??? ??? ???? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

11. 函数 f (x) 的定义域为 R ,f (?1) ? 2 , 对任意 x ? R ,f ?( x) ? 2 , f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为_______. 则 12. 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 3 若圆锥底面面积是这个球面面积的16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与 体积较大者的高的比值为________. 13. 已 知 函 数 f ( x) = ?

?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 在 R 上不是单调函数,则实数 a 的取值范围 ...... log a x ( x ? 1) ?



.

14. 已知圆 M 的方程为 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上, 过 P 点作圆

M 的切线 PA ,切点为 A ,则经过 A, P, M 三点的圆必过的定点 为
二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) cos A-2cos C 2c-a 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b sin C 1 (1)求sin A的值;(2)若 cos B=4,b=2,求△ABC 的面积 S.



16. (本题满分 14 分) 如图,等边△ABC 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB,M 为 AB 的中点. (1) 证明:CM⊥DE;(2) 在边 AC 上找一点 N,使 CD∥平面 BEN.

17. (本题满分 14 分) 工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为:

? 1 ?6 ? x ? p?? ?2 ?3 ?

0 ? x ? c,

(c 为常数, 且 0<c<6).已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,
x?c

每出现 1 件次品亏损 1.5 元. (1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; 次品数 (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= ×100%) 产品总数

18. (本题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2

? 3? F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,已知点(1,e)和 ? e, ? 2 ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P, 若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率. 2
A

y B x

P F1 F2

19. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a(a ? 0, a ? N ) , a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan ?1 ? 0
*

( p ? 0, p ? ?1, n ? N * ) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若对每一个正整数 k ,若将 ak ?1 , ak ? 2 , ak ? 3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数 列, 且公差为 d k . ①求 p 的值及对应的数列 ?d k ? . ②记 S k 为数列 ?d k ? 的前 k 项和,问是否存在 a ,使得 S k ? 30 对任意正整数 k 恒成立?若存在, 求出 a 的最大值;若不存在,请说明理由.

20. (本题满分 16 分) 设 a 为实常数,已知函数. f ( x) ? x ? 2a ln x( x ? 0) .
2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 a ? 0 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值; (3)当 a ? 0 时,证明:对一切 x ? ? 0 , ? ? ? , 都有 底数,e=2.71828…)

x 2 ? f ( x) 1 2 ? x ? .(其中 e 为自然对数的 2a ex e

张家港市高三学生寒假自主学习能力测试 数学试题参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.

2013.2

10
8.

2. 4

3. ?

7 9

4. ? 2, 4 ? 10.3

5. ? ?1,1?

6. 2n2 ? 2n ? 2

7.1.6

3 5
1? 7?

9. ? ?1, 2 ?

11. ? ?1, ?? ? 14.

12.

1 3

13. ? 0, ? ? ? ,1? ? ?1, ?? ?

? ?

?1 ? ?3 ?

? 0, 2 ? , ? ?

4 2? , ? ?5 5?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 解:解: (1)由正弦定理,设 则 a b c = = =k, sin A sin B sin C …………2 分

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = .即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, cos B sin B 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). sin C 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此 =2. sin A (2)由 …………5 分 …………7 分

sin C 1 1 =2 得 c=2a.由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= ,b=2,得 4=a2+4a2-4a2× . sin A 4 4 …………10 分 …………12 分 …………14 分

解得 a=1.从而 c=2. 1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

16. (本题满分 14 分) 解: (1) 证明:因为 BC=AC,M 为 AB 中点,所以 CM⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 ABDE, 平面 ABC∩平面 ABDE=AB,CM ? 平面 ABC,所以 CM⊥平面 ABDE. …………5 分 …………2 分

又 DE ? 平面 ABDE,所以 CM⊥DE. AN 1 (2) 解:当 = 时,CD∥平面 BEN. AC 3 证明:连结 AD 交 BE 于点 K,连结 KN, AK AE 1 因梯形 ABDE 中 BD∥AE,BD=2AE,所以 = = , KD BD 2 则 AK 1 AN 1 = .又 = ,所以 KN∥CD. AD 3 AC 3

…………7 分 …………8 分

…………10 分 …………12 分 ……………14 分

又 KN ? 平面 BEN,CD ? 平面 BEN,所以 CD∥平面 BEN.
[

17. (本题满分 14 分)

解: (1)若 0 ? x ? c ,则 y ? 3( x ? 若 x ? c ,则 y ? 3( x ?

x 3 x 9x )? ? ? 3x ? 6? x 2 6? x 2(6 ? x)



…………3 分

2 3 2 x) ? ? x ? 0 3 2 3

………6 分

? 3(9 x ? 2 x 2 ) ? ? y ? ? 2(6 ? x) ?0 ?
'

0? x?c
…………7 分

x?c
…………9 分

3 (9 ? 4 x)(6 ? x) ? (9 x ? 2 x 2 )( ?1) 3( x ? 3)( x ? 9) )? (2)当 0 ? x ? c ,则 y ? ? 2 2 (6 ? x ) (6 ? x ) 2

若 0 ? c ? 3 ,则 y ? 0 ,函数在 ?0, c ? 上为增函数
'

? x ? c, y max ?

3(9c ? 2c 2 ) 2(6 ? c)

…………11 分

若 3 ? c ? 6 ,在 (0,3) 上为增函数,在 (3, c) 上为减函数, ∴当 x ? 3 时, y max ? f (3) ?
9 2

.

…………13 分

综上,若 0 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大;若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时, 日盈利额最大. 另解: (1)同上 (2)当 0 ? x ? c 时, y ? 3x ? ……………14 分

9x 9 45 ? ?3(6 ? x ? )? , 2(6 ? x) 6? x 2

令 t ? 6 ? x ,∴ 6 ? c ? t ? 6 ,∴ y ? ?3(t ? ) ? 若 3 ? c ? 6 , y ? ?3 ? 6 ?

9 t

45 . 2

…………9 分 …………11 分

45 9 ? (当且仅当 t ? 3 ,即 x ? 3 时取等号). 2 2

若 0 ? c ? 3 ,函数在 ?6 ? c,6? 上单调递减函数, 所以, t ? 6 ? c 即 x ? c 时,取得最大值. …………13 分

综上,若 0 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大;若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时, 日盈利额最大. 18. (本题满分 16 分) 解: (1)由题设知, a 2 =b 2 ? c 2,e= ,由点 (1, ) 在椭圆上,得 e A ……………14 分

c a

12 a2

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b

=1 ? b ? c =a b ? a =a b 2
2 2 2 2 2

2 2

B P

? b ?1
2

F1 …………3 分

F2

? 3? ∴ c 2 =a 2 ? 1 。由点 ? e , ? 在椭圆上, ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 e ? 2 ? ? 1 ? c ? ? 2 ? ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4 ? 0 得 2? 1 4 a b2 a4 a4

2

2

? a2 ? 2
∴椭圆的方程为

…………7 分

x2 ? y2 ? 1 . 2

…………8 分

(2)由(1)得 F1 (?1 , , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) 0) ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .…………9 分

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m 2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 . m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m 2 ? 2 ? y = m ?1 ? ? ① …………12 分 m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2



…………13 分

由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m2 =2. = 2 2 m ?2 m ?2 2

…………15 分

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 . ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 . = m 2

…………16 分

19. (本题满分 16 分) 解:(1)因为 a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan ?1 ? 0 ,所以 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ??? ? an ?1 ? pan ? 0 ,两式相减,得

p ?1 an ?1 p ? 1 的等比数列。 ? (n ? 2) ,故数列 ?an ? 从第二项起是公比为 an p p
a ? (n ? 1) a ? 又当 n=1 时, a1 ? pa2 ? 0 ,解得 a2 ? ,从而 an ? ? a p ? 1 n ? 2 p ? p ( p ) (n ? 2) ?
(2)①由(1)得 ak ?1 ?

…………2 分

…………4 分

a p ? 1 k ?1 a p ?1 k a p ? 1 k ?1 ( ) , ak ? 2 ? ( ) , ak ?3 ? ( ) , p p p p p p
p ?1 p ?1 1 ?1或 ? ?2 ,解得 p ? ? p p 3
…………6 分

1? 若 ak ?1 为等差中项,则 2ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?3 ,即

此时 ak ?1 ? ?3a(?2) k ?1 , ak ? 2 ? ?3a(?2) k ,所以 d k ?| ak ?1 ? ak ? 2 |? 9a ? 2k ?1

2? 若 ak ? 2 为等差中项,则 2ak ? 2 ? ak ?1 ? ak ?3 ,即

p ?1 ? 1 ,此时无解 p

…………7 分

3? 若 ak ?3 为 等 差 中 项 , 则 2ak ?3 ? ak ?1 ? ak ? 2 , 即

p ?1 p ?1 1 2 ?1 或 ? ? ,解得 p ? ? ,此时 p p 2 3
…………9 分 …………10 分

ak ?1 ? ?

3a 1 k ?1 3a 1 9a 1 k ?1 (? ) , ak ?3 ? ? (? ) k ?1 ,所以 d k ?| ak ?1 ? ak ?3 |? ?( ) 2 2 2 2 8 2 1 2 9a 1 k ?1 k ?1 综上所述, p ? ? , d k ? 9a ? 2 或 p ? ? , d k ? ?( ) 3 3 8 2

② 1? 当 p ? ? 时, Sk ? 9a(2k ? 1) ,则由 S k ? 30 ,得 a ?

1 3

10 , 3(2k ? 1)
…………12 分

当 k ? 3 时,

10 ? 1 ,所以必定有 a ? 1 ,所以不存在这样的最大正整数 3(2k ? 1)

2 9a 1 40 , 2? 当 p ? ? 时, Sk ? (1 ? ( ) k ) ,则由 S k ? 30 ,得 a ? 1 k 3 4 2 3(1 ? ( ) ) 2 40 40 因为 ,所以 a ? 13 满足 S k ? 30 恒成立; ? 1 k 3 3(1 ? ( ) ) 2 40 但当 a ? 14 时,存在 k ? 5 ,使得 a ? 即 S k ? 30 , 1 k 3(1 ? ( ) ) 2
所以此时满足题意的最大正整数 a ? 13 .

…………14 分

…………15 分

…………16 分

20. (本题满分 16 分) 解: (1) f ?( x) ? 2 x ?

2a 2( x 2 ? a) ? ( x ? 0) , x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (0,?? ) 上单调递增; ………………………… 2 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? ?

? x 2 ? a ? 0, ?x ? 0

?x? a;

? x 2 ? a ? 0, f ?( x) ? 0 ? ? ? 0 ? x ? a .………………………… 4 分 ?x ? 0
所以,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,?? ) 上是单调递增函数;当 a ? 0 时, f (x) 在 ( a ,??) 上是单调递 增函数,在 (0, a ) 上是单调递减函数. …………………… 5 分
2

(2)方法一:方程 f ( x) ? 2ax 即为 x 2 ? 2a ln x ? 2ax 即 x ? 2a( x ? ln x)

? x ? 0, a ? 0 ?

1 x ? ln x ? 2a x2

记 g ( x) ?

x ? ln x x2

则方程 f ( x) ? 2ax 在 ? 0, ?? ? 上有唯一解等价于 y ? 上只有一个交点.

1 x ? ln x 的图像与 g ( x) ? 的图像在 ? 0, ?? ? 2a x2
…………7 分

g '( x) ?

1 ? x ? 2 ln x 2 ,令 h( x) ? 1 ? x ? 2 ln x ( x ? 0 ) ,由于 h?( x) ? ?1 ? ? 0 ,所以 h(x ) 在 3 x x

(0,??) 单 调 递 减 , 且 h(1) ? 0 , 即 h( x) ? 1 ? x ? 2 ln x 在 (0,??) 有 唯 一 零 点

? g '( x) ? 0 ? x ? 1 ? x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0, g ( x ) 递增; x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0, g ( x ) 递减
? g ( x) 在 x ? 1 处 有 极 大 值 即 最 大 值 g (1) ? 1 且 x ? (0,1) 时 , g ( x ) ? 1; x ? (1, ??) 时 , 0 ? g (x )? 1
…………11 分 …………12 分

?

1 1 ? 1? a ? 2a 2

方法二:方程 f ( x) ? 2ax 在 (0,?? ) 上有唯一解等价于函数 F ( x) ? f ( x) ? 2ax 在的图象在 x

2( x 2 ? ax ? a) ? 0( x ? 0 ) 轴的正半轴上只有一个交点.令 F ?( x) ? f ?( x) ? 2a ? 0 ,即 ,解之得 x

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a x0 ? (另一解 x ? 为负数,舍去). 2 2

………………… 7 分

0 ? x ? x0 ,有 F ?( x) ? 0 , F (x) 单调递减; x ? x0 ,有 F ?( x) ? 0 , F (x) 单调递增.
所以,当 x ? x0 时, F (x) 有极小值,也是最小值, 即 F ( x) min ? F ( x0 ) ? x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 .
2

……………………… 9 分

因为方程 f ( x) ? 2ax 在 (0,?? ) 上有唯一解, 所以 F ( x) min ? 0 ,即 x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 =0.
2



又因为 x 0 ? ax0 ? a ? 0 ,
2



①与②联立得 a ? 2a ln x0 ? ax0 ? 0 ,即 1 ? 2 ln x0 ? x0 ? 0 , ③ 令 h( x) ? 1 ? x ? 2 ln x ( x ? 0 ) ,由于 h?( x) ? ?1 ?

2 ? 0 ,所以 h(x) 在 (0,??) 单调递减,且 x

h(1) ? 0 ,即 h( x) ? 1 ? x ? 2 ln x 在 (0,??) 有唯一零点, x ? 1,
……………… 11 分 故③的解就是 x0 ? 1 ,在代入②得 a ?

1 . 2

……………… 12 分

(3)

x 2 ? f ( x) 1 2 x 2 ? x ? ? x ln x ? x ? ( x ? 0 ). 2a ex e e e

1 时, G?( x) ? 0 , G (x) 单调递减; e 1 1 当 x ? 时, G?( x) ? 0 , G (x) 单调递增,所以,当 x ? 时, G (x) 有极小值,也是最小值, e e 1 即 G ( x) min ? ? . ………………… 14 分 e x 2 1? x 令 g ( x) ? x ? , 因为 g ?( x) ? x , 0 ? x ? 1 时,g ?( x) ? 0 ,g (x) 单调递增; x ? 1 当 当 e e e 1 时,g ?( x) ? 0 ,g (x) 单调递减, 所以, x ? 1时,g (x) 有极大值, 当 也是最大值, G ( x) max ? ? . 即 e
令 G( x) ? x ln x ,因为 G?( x) ? 1 ? ln x ,当 0 ? x ? 又由于两个函数的最小值与最大值时 x 的取值不同,

x 2 ? f ( x) 1 2 ? x ? 对一切 x ? (0,??) 恒成立. 所以有 G( x) ? g ( x) ,即 2a ex e
………16 分

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