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3-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


高考复习顶层设计 数学·理

配餐作业(二十一)
一、选择题

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

及三角函数模型的简单应用
1.(2016· 石家庄调研)设函数 f(x)=sinωx(ω>0),将 f(x)的图象向 π 左平移3个单位长度后,所得的图象与原函数的图象重合,则 ω 的最 小值为( 1 A.3 C.6
? ? ??

) B.3 D.9

π?? ? ? 解析:由题意,得 sin?ω?x+3??=sinωx, ωx? ? ωπ 即 sin?ωx+ 3 ?=sinωx(ω>0),则 3 =2kπ(k∈Z),所以 ω 的最 ? ? 小值为 6,故选 C。 答案:C 2.(2016· 安徽模拟)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( π A.8 3π C. 8
? ?

)

π B.4 3π D. 4

π? ? 解析:f(x)= 2sin?2x+4?,将函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位 π ? ? 后所得图象对应的函数解析式为 y= 2sin?2x+4-2φ?,由该函数为
? ?

π π kπ 3π 偶函数可知 2φ-4=kπ+2,k∈Z,即 φ= 2 + 8 ,k∈Z,所以 φ 的 3π 最小正值为 8 。 答案:C 3.(2016· 浙江模拟)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以
1

高考复习顶层设计 数学·理 将函数 y= 2cos3x 的图象( π A.向右平移12个单位 π C.向左平移12个单位 ) π B.向右平移4个单位 π D.向左平移4个单位
? ?

π? ? 解析:因为 y=sin3x+cos3x= 2cos?3x-4?,所以将 y= 2cos3x π? ? π 的图象向右平移12个单位后可得到 y= 2cos?3x-4?的图象。 ? ? 答案:A π? ? π 4.(2016· 辽宁模拟)将函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移2个单
? ?

位长度,所得图象对应的函数(
? ?

)

? π 7π? A.在区间?12,12?上单调递减 ? π 7π? B.在区间?12,12?上单调递增 ? ? ? ? π π? C.在区间?-6,3?上单调递减 ? ? π π? D.在区间?-6,3?上单调递增 ? ?

π? π? ? ? 解 析 : 由 题 可 得 平 移 后 的 函 数 为 y = 3sin ?2?x-2?+3? =
? ? ? ?

2π? ? π 2π π π 7π 3sin?2x- 3 ?, 令 2kπ-2≤2x- 3 ≤2kπ+2, 解得 kπ+12≤x≤kπ+12,
? ?

π 7π? ? 故该函数在?kπ+12,kπ+12?(k∈Z)上单调递增,当 k=0 时,选项 B
? ?

满足条件,故选 B。 答案:B 5. (2016· 临沂模拟)已知函数 f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示,
?π? ? π? 2 f?2?=-3,则 f?-6?=( ? ? ? ?

)

2

高考复习顶层设计 数学·理

2 A.-3 2 C.3
?11π 7π? 2π T=2? 12 -12?= 3 , ? ?

1 B.-2 1 D.2

解析:由题图知,函数 f(x)的周期

? π? ? π 2π? ?π? 2 所以 f?-6?=f?-6+ 3 ?=f?2?=-3。 ? ? ? ? ? ?

答案:A π? ? 6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图
? ? ? π π? 所示,若 x1,x2∈?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ? ?

)

A.1 2 C. 2 ∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ)。

1 B.2 3 D. 2

解析:观察图象可知,A=1,T=π,
? π ? ? π ? 将?-6,0?代入上式得 sin?-3+φ?=0。 ? ? ? ?
3

高考复习顶层设计 数学·理 π? ? π π 由|φ|<2,得 φ=3,则 f(x)=sin?2x+3?。
? ?

π π -6+3 π 函数图象的对称轴为 x= 2 =12。
? π π? 又 x1,x2∈?-6,3?, ? ?

x1+x2 π 且 f(x1)=f(x2),∴ 2 =12, π ∴x1+x2=6, π π? ? 3 ∴f(x1+x2)=sin?2×6+3?= 2 ,故选 D。 ? ? 答案:D 二、填空题 1 7.把函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x-2图象上各点向右平移 φ(φ >0)个单位, 得到函数 g(x)=sin2x 的图象, 则 φ 的最小值为________。 1 3 1 解析:把函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x-2= 2 sin2x+2cos2x= π? ? sin ?2x+6? 图象上各点向右平移 φ(φ > 0) 个单位,得到函数 g(x) =
? ?

π? π? ? ? π sin?2?x-φ?+6?=sin?2x-2φ+6?=sin2x 的图象,则 φ 的最小值为12。
? ? ? ?

π 答案:12 π 8. 设 P 为函数 f(x)=sin2x 的图象上的一个最高点, Q 为函数 g(x) π =cos2x 的图象上的一个最低点,则|PQ|的最小值是________。 2π 解析:两个函数的周期都为 T= π =4,由正、余弦函数的图象 2 1 知,函数 f(x)与 g(x)的图象相差4周期,设 P,Q 分别为函数 f(x),g(x)
4

高考复习顶层设计 数学·理 图象上的相邻的最高点和最低点,设 P(x0,1),则 Q(x0+1,-1),则 |PQ|min= 12+?-1-1?2= 5。 答案: 5 π? ? π 9.(2016· 兰州模拟)将函数 f(x)=sin(2x+θ)?-2<θ<2?的图象向
? ?

右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x) 的图象都经过点 P?0,
? ?

3? ?,则 φ 的值为________。 2?

解析:因为函数 f(x)的图象过点 P, 3 所以 sinθ= 2 ,
? π π? π 又 θ∈?-2,2?,所以 θ=3, ? ?

π? ? 所以 f(x)=sin?2x+3?。
? ?

又函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位长度后, π? ? 得到函数 g(x)=sin?2?x-φ?+3?,
? ? ?π ? 3 所以 sin?3-2φ?= 2 ,因为 0<φ<π, ? ?

5π 所以 φ 的值为 6 。 5π 答案: 6 三、解答题

10 . (2016·锦 州 模 拟 ) 如 图 是 函 数 f(x) = Asin(ωx +
5

高考复习顶层设计 数学·理 π? ? φ)?A>0,ω>0,0<φ<2?的部分图象, M, N 是它与 x 轴的两个交点,
? ?

D,C 分别为它的最高点和最低点,点 F(0,1)是线段 MD 的中点, →· → =π 。 MD MN 18 (1)求函数 f(x)的解析式。 (2)求函数 f(x)的单调递增区间。 解析:(1)由已知 F(0,1)是线段 MD 的中点,可知 A=2, T T π2 → → 因为MD· MN=4· 2=18(T 为 f(x)的最小正周期), 2π 所以 T= 3 ,ω=3,所以 f(x)=2sin(3x+φ), 设 D 点的坐标为(xD,2),则由已知得点 M 的坐标为(-xD,0), 1 1 2π 所以 xD-(-xD)=4T=4× 3 ,
? π ? π 则 xD=12,则点 M 的坐标为?-12,0?, ? ? ?π ? 所以 sin?4-φ?=0。 ? ?
2

π π 因为 0<φ<2,所以 φ=4, π? ? 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?3x+4?。
? ?

π π π (2)由 2kπ-2≤3x+4≤2kπ+2(k∈Z), 3π π 得 2kπ- 4 ≤3x≤2kπ+4(k∈Z), 2 kπ π 2 kπ π 得 3 -4≤x≤ 3 +12(k∈Z), 所以函数 f(x)的单调递增区间为
? 2 kπ π 2 k π π ? ? -4, 3 +12?(k∈Z)。 ? 3 ?

11 . (2016· 长 春 调 研 ) 函 数

f(x) = Asin(ωx +

6

高考复习顶层设计 数学·理 π π ? ? φ)?A>0,ω>0,-2<φ<2,x∈R?的部分图象如图所示。
? ?

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π? ? (2)当 x∈?-π,-6?时,求 f(x)的取值范围。
? ?

T 2π π π 解析:(1)由题中图象得 A=1,4 = 3 -6=2, 所以 T=2π,则 ω=1。
?π ? ?π ? 将点?6,1?代入得 sin?6+φ?=1, ? ? ? ?

π π π 又-2<φ<2,所以 φ=3, π? ? 因此函数 f(x)=sin?x+3?。
? ?

π 2π π π (2)由于-π≤x≤-6,- 3 ≤x+3≤6, π? 1 ? 所以-1≤sin?x+3?≤2,
? ?

1? ? 所以 f(x)的取值范围是?-1,2?。
? ?

7


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