导数基础训练题

导数基础训练题 导数基础训练题 基础
第 1 课时
2

变化率与导数

1、 在曲线方程 y = x + 1 的图象上取一点 (1, 2) 及邻近一点 (1 + ?x, 2 + ?y ) ， 则 A. ?x +

?y 为 （ ?x

）

1 +2 ?x

B. ?x ?

1 ?2 ?x
2

C. ?x + 2

D. 2 + ?x ?

1 ?x
）

2.一质点的运动方程是 s = 5 ? 3t ，则在一段时间 [1,1 + ?t ] 内相应的平均速度为 （ A. 3?t + 6 B. ?3?t + 6 C. 3?t ? 6 D. ?3?t ? 6

3、 一木块沿某一斜面自由滑下， 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s = 则 t = 2 秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为 （ D.

1 2 t ， 8
）

1 4 f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ' 4、设 f ( x ) 在 x = x0 可导，且 f ( x0 ) = ?2 ，则 lim 等于（ ?x → 0 ?x
A. 2 B. 1 C. A．0 5、在 f ( x0 ) = lim A．大于 0
?x → 0

1 2

）

B．2

C．-2

D．不存在 ） D．大于 0 或小于 0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 中， ?x 不可能（ ?x
B．等于 0 C．小于 0

6、在曲线 y = x 2 上切线倾斜角为 A． (0, 0) B． (2, 4)

π
4

的点是（ C． ( ,

）

1 1 ) 4 16

D． ( , ) ） D． y = 4 x + 7

1 1 2 4

7、曲线 y = 2 x 2 + 1 在点 P ( ?1,3) 处的切线方程为（ A． y = ?4 x ? 1 B． y = ?4 x ? 7 C． y = 4 x ? 1

若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦 AB ， 8、 曲线 y = 4 x ? x 2 上两点 A(4, 0) 、B (2, 4) ， 则点 P 的坐标是（ A． (3,3) ） B． (1,3) C． (6, ?12) D． (2, 4)

9、 若函数 f ( x ) 在 x0 处的切线的斜率为 k ， 则极限 = lim 10、函数在 y = x 3 ? 2 x + 2 在 x = 2 处的切线的斜率为

?x → 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ?x
。

。

11、 如果一个质点从固定点 A 开始运动， 在时间 t 内的位移函数为 y = f (t ) = t 3 + 3 ， t1 = 4 当 且 ?t = 0.01 时， （1）求 ?y ； （2）求

?y 。 ?x

12、已知曲线 C : y = x 。
3

（1）求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程； （2）第（1）小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？

第 2 课时 1、下列运算正确的是（ ） A． ( ax 2 ? bx + c ) ' = a ( x 2 ) ' + b( ? x ) ' B． (sin x ? 2 x 2 ) ' = (sin x) ' ? (2) ' ( x 2 )'

导数的计算

C． (cos x sin x ) ' = (sin x) ' cos x + (cos x ) ' cos x D． [(3 + x 2 )(2 ? x 3 )]' = 2 x (2 ? x 3 ) + 3 x 2 (3 + x 2 )

1 的导数是（ ） x 1 1 1 1 A． 1 ? 2 B． 1 ? C． 1 + 2 D． 1 + x x x x cos x 3、函数 y = 的导数是（ ） x sin x x sin x + cos x x cos x + cos x A． ? 2 B． ? sin x C． ? D． ? 2 x x x2
2、函数 y = x + 4、函数 y = sin x (cos x + 1) 的导数是（ A． cos 2 x ? cos x B． cos 2 x + sin x ） C． cos 2 x + cos x D． cos x + cos x
2

5、已知 f ( x) = ax + 3 x + 2 ，若 f ( ?1) = 4 ，则 a 的值是（
3 2 '

） D．

A．

19 3

B．

16 3

C． ）

13 3

10 3

6、设函数 f ( x) = (1 ? 2 x 3 )10 ，则 f ' (1) = （ A．0 B．-1

C．-60 ） B． 5( x + ) (1 + )

D．60

7、函数 y = ( x + ) 的导数为（
5

1 x

A． 5( x + )

1 4 x 1 4 ?2 C． 5( x + ) (1 ? x ) x

1 4 1 x x 1 4 ?2 D． 5( x + ) (1 + x ) x
） D． y = 4 x ? 4π

8、函数 y = sin 4 x 在点 M (π , 0) 处的切线方程为（ A． y = x ? π 9、函数 y = B． y = 0

C． y = 4 x ? π 。

2 x 2 + 1 的导数为
' x =2

10、设 y = (2 x + a ) 2 ，且 y

= 20 ，则 a =
。
2

。

11、函数 y = e ?0.05 x +1 的导数为 12、已知物体的运动方程是 s = t + 的速度 v = 13、求下列函数的导数： （1） y = x12 ；

3 （ t 的单位是秒， s 的单位是米） ，则物体在时刻 t = 4 t ，加速度 a = 。
1 ； x4
（3） y =
5

（2） y =

x3

14、(选做题)求下列函数的导数： （1） y = (2 x ? x + ) ；
3 4

1 x

（2） y =

1 1 ? 2 x2

；

（3） y = sin (2 x +
2

π
3

)；

（4） y = 1 + x 2 ；

15、已知函数 y = x ln x 。 （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点 x = 1 处的切线方程。

16、曲线 y = x (1 ? ax ) 2 ( a > 0) ，且 y

'

x =2

= 5 ，求实数 a 的值。

第 3 课时
2

导数在研究函数中的应用 ） C． (? , +∞) ） D． a ≤

1、函数 f ( x) = 5 x ? 2 x 的单调增区间为（ A． ( , +∞)

1 5

B． ( ?∞, )

1 5

1 5

D． ( ?8, ? )

1 5

2、函数 f ( x) = ax 3 ? x 在 R 上是减函数，则（ A． a ≤ 0 B． a < 1

C． a < 2 ） B．增函数

1 3

3、函数 f ( x ) = 1 + x ? sin x 在 (0, 2π ) 上是（ A．减函数 C．在 (0, π ) 上增，在 (π , 2π ) 上减

D．在 (0, π ) 上减，在 (π , 2π ) 上增 ）

4、若函数 y = f ( x) 可导，则“ f ' ( x ) = 0 有实根”是“ f ( x ) 有极值”的（ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 5、下列函数存在极值的是（ ） A． y = C．充要条件 D．必要条件 D． y = x 3 ）

1 x

B． y = x ? e x

C． y = 2

6、若在区间 (a, b) 内有 f ' ( x ) > 0 ，且 f ( a ) ≥ 0 ，则在 (a, b) 内有（ A． f ( x ) > 0 B． f ( x ) < 0 ） C． f ( x ) = 0

D．不能确定

7、下列结论正确的是（

A．在区间 [ a, b] 上，函数的极大值就是最大值； B．在区间 [ a, b] 上，函数的极小值就是最小值； C．在区间 [ a, b] 上，函数的最大值、最小值在 x = a 和 x = b 时达到； D．一般地，在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) ，在区间 [ a, b] 必有最大值和最小值 8、函数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + 1 在 [1,5] 上的最大值和最小值是（ A． f (1) 、 f (3) B． f (3) 、 f (5) C． f (1) 、 f (5) ） D． f (5) 、 f (2) ，单调递

9、已知函数 f ( x ) = x 2 ( x ? 3) ，则 f ( x ) 在 R 上的单调递减区间是 增区间为 。 ，最小值是

10、函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x + 5 在 [0, 3] 上的最大值是

。 。

则 11、 函数 y = x 3 + 3ax 2 + 3( a + 2) x + 1 有极大值和极小值， a 的取值范围是

12、设函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b)( x ? c ) ， a, b, c 是两两不等的常数） （ ，则

a b + ' + f (a ) f (b)
'

c = f (c )
' 3

。

13、若函数 f ( x) = ax + x ， （1）求实数 a 的取值范围，使 f ( x) 在 R 上是增函数。 （2）求实数 a 的取值范围，使 f ( x ) 恰好有三个单调区间。

14、设函数 f ( x ) = 2 x 3 ? 3( a + 1) x 2 + 6ax + 8 ，其中 a ∈ R 。 （1）若 f ( x ) 在 x = 3 处取得极值，求常数 a 的值； （2）若 f ( x ) 在 (?∞, 0) 上为增函数，求 a 的取值范围。

15、 x = ?2 与 x = 4 是函数 f ( x) = x + ax + bx 的两个极值点。
3 2

（1）求常数 a 、 b 的值； （2）判断函数 x = ?2 ， x = 4 处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。

第 4 课时 生活中的优化问题举例 1、一条长为 80cm 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是（ ） A． 1cm, 7cm B． 2cm,8cm C． 3cm,5cm D． 4cm, 4cm ）

2、设底部为三角形的直棱柱的体积为 V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ A． 3 V B． 3 2V C． 3 4V ） D． 2 3 V

3、抛物线 y = x 2 到直线 x ? y ? 2 = 0 的最短距离为（

A． 2

B．

7 2 8

C． 2 2

D．以上都不对

4、以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为（ ） A．10 B．15 C．25 D．50 5、某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他 三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽分别为（ ） A．32 米，16 米 B．16 米，8 米 C．64 米，8 米 D．以上都不对 6、如图，一矩形铁皮的长为 8cm ，宽为 5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成

一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

7、 如图所示铁路线上 AB 线段长 100km ， 工厂 C 到铁路线上 A 处的垂直距离 CA 为 20km 。 现在要在 AB 上选一点 D ，从 D 向 C 修一条直线公路。已知铁路运输每吨千米与公路运输 每吨千米的运费之比为 3 : 5 ，为了使原料从 B 处运到工厂 C 的运费最省， D 应选在何处？
C

B

D

A

第 1 课时变化率与导数答案 1-8. CDCCB DAA 9. ? k 10. 10 11. （1） ?y = 0.481201 ； （2）

?y = 48.1201 ?x

12. （1） 3 x ? y ? 2 = 0 ;（2）有, ( ?2, ?8)

第 2 课时导数的计算答案 1-8. AACCD DCD

2 x 2 x2 + 1 9. 2x2 + 1
10. 1 11. y ' = ?0.05e?0.05 x +1 12.

125 16

67 32

13. （1） y ' = 12 x11 （2） y ' = ?4 x ?5 （3） y =
'
'

3 ?2 x 5 5
3

14. （1） y = 4(2 x ? x + ) (6 x ? 1 ?
3 2

1 x

1 ) x2

2 x 1 ? 2 x2 （2） y = (1 ? 2 x 2 )2
'

（3） y = 2sin(4 x +
'

2π ) 3

（4） y =
'

1 + 2x2 1 + x2

15. （1） y ' = ln x + 1 （2） y = x ? 1 16. 1

第 3 课时导数在研究函数中的应用答案 1-8. AABAB ADD 9. [0, 2] ; 10. 5,-15

(?∞, 0] , [2, +∞)

11. ( ?∞, ?1) ∪ (2, +∞ ) 12. 0 13. （1） a ≥ 0 ;（2） a < 0 14. （1） a = 3 ;（2） a ≥ 0 15. （1） a = ?3, b = ?24 ;（2） x = ?2 时是极大值, x = 4 时是极小值.

第 4 课时 1-5. DCBCA 6. 1 7. AD=15

生活中的优化问题举例答案 生活中的优化问题举例答案