当前位置:首页 >> 数学 >>

第六讲对数函数教师版 (修改版)


对数函数
一、知识梳理
1、记住图象: y ? log
y
a

x ? a ? 0 , a ? 1?

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

2、性质:
a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2

2.5

2

图 象
-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 (4)在 (0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 (5) x ? 1, log a x ? 0 ; (5) x ? 1, log a x ? 0 ; 0 ? x ? 1, log a x ? 0 0 ? x ? 1, log a x ? 0

二、典例分析
1、定义域问题
例 1、(1)求函数 y ?
log
0 .3

( 4 x ? 1) 的定义域;

(2)已知 f ( x ) 的定义域为 [ 0 ,1] ,求函数 y ? f [log 1 ( 3 ? x )] 的定义域。
2

1 1 ( , ] 答: (1) 4 2

(2) [ 2 , ]
2

5

2、值域最值问题
例 2、 已知 x 满足不等式 ? 3 ? log 值。 答:由 ? 3 ? log
1 2
1 2

x??

1 2

, 求函数 y ? (log

x
2

) ? (log

x
2

) 的最大值和最小

4

2

1 2

x??

1

1 得 log 1 ( ) ? 3 ? log 2 2 2

1 2

1 ? x ? log 1 ( ) 2 ,即 2 ? x ? 8 2 2

1

?

? log

2

2 ? log

2

x ? log 2 8 ? 3

又 y ? (log
2

x
2

) ? (log

x
2

) ? (log

4

2

2

x ? log 2 4 )(log 3 2 ) ?
2

2

x ? log 2 2 ) ? (log

2

x ? 2 )(log

2

x ? 1)

? l o g2 x ? 3 l o g2 x ? 2 ? ( l o g x ? 2
3 2
3
3

1 4
1 4

? 当 log

2

x?

,即 x ? 2 2 ? 2 2 时 , y 有最小值 ?

当 log

2

x ? 3,即 x ? 2 ? 8时 , y 有最大值 2
1 4

故 y max ? 2 , y min ? ? 拓展一

①、 已知 f ( x ) ? 2 ? log 3 x , x ? [1,9 ] , y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 的最大值及 y 取得最大值时 x 求
2 2

的值。 解:? f ( x ) ? 2 ? log 3 x ,
y ? [ f ( x )] ? f ( x ) ? ( 2 ? log
2 2 3

x ) ? 2 ? log
2

3

x ? log
2

2 3

x ? 6 log

3

x ? 6 ? (log

3

x ? 3) ? 3
2

? 又? f ( x ) 的定义域为 [1,9 ] ,? 要使 y ? [ f ( x )] 2 ? f ( x 2 ) 有意义,就需 ?1 ? x ? 9
2

?1? x ? 9

? 1 ? x ? 3 ,? 0 ? log 3 x ? 1 ,? 6 ? y ? (log

3

x ? 3 ) ? 3 ? 13
2

当 log 3 x ? 1 时, y ? 13 ,此时 x ? 3 当 x ? 3 时,函数 y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 取得最大值 13
2 2
2 ②、已知函数 y ? log 2 ( x ? 2 ) 的定义域是 [ a , b ] ,值域是 [1, log 2 14 ] ,求 a, b 的值。

2 答:由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? ? 2 或 x ?

2 ,而函数的定义域是 [ a , b ] ,

? [ a , b ] ? ( ?? , ? 2 ) 或 [ a , b ] ? ( 2, ? ) ?

当 b ? ? 2 时, y ? f ( x ) ? log 2 ( x 2 ? 2 ) 在 [ a , b ] 上是单调减函数。
? f ( b ) ? 1, f ( a ) ? log 2 14 ,即 b ? 2 ? 2 , a ? 2 ? 14 ,? b ? ? 2 , a ? ? 4
2 2

当a ?

2 时, y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调增函数,
2 2

? f ( a ) ? 1, f ( b ) ? log 2 14 ,即 a ? 2 ? 2 , b ? 2 ? 14 ,? a ? 2 , b ? 4

3、函数性质

例 3、求函数 y ? log ( ? x ? 2 x ? 8 ) 的单调区间。
2
1 2

答:增区间为 [1, 4 ) ,减区间为 (? 2 ,1] 例 4、设 f ( x ) ? lg( A. (? 1, 0 ) 拓展二、 ①、已知函数 y ? log a ( 2 ? ax ) 在 [ 0 ,1] 上是减函数,则 a 的取值范围为 答: 1 ? a ? 2 ②、已知函数 f ( x ) ? log a [( 答:分类讨论,
1 2 ?a? 2 3
2

2 1? x

? a ) 是奇函数,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围( A )

B. ( 0 ,1)

C. (?? , 0 )

D. ( ?? , 0 ) ? (1, ?? )



1 a

? 2 ) x ? 1] 在区间 [1, 2 ] 上恒为正值,求实数 a 的取值范围。

③、定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ,满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则 x 满足的关系 是( A ) A. ( ?? , 0 ) ? ( 2 , ?? ) C. ( ?? ,1) ? ( 3, ?? ) B. ( ?? ,1) ? ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 1) ? ( 2 , ?? )

④、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) ,且 x ? (? 1, 0 ) 时,
f ( x) ? 2 ?
x

1 5

,则 f (log B.
4

2

20 ) ? ( C )

A.1

C.-1
( a ? 0 , 且 a ? 1)

D. ?

4 5

⑤、已知 f ( x ) ? log

5 1? x
a

1? x

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (3)求使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围。 ⑥、已知函数 f ( x ) ? log 2 [ ax ? ( a ? 1) x ?
2

1 4

]。

(1)若定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若值域为 R,求实数 a 的取值范围。 答: (1) (
3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 (2) [ 0 , , ); ]?[ , ?? ) 2 2 2 2

4、比较大小
例 5、①比较下列各数的大小: 2 答: 2
0 .7
0 .7

, log

5

4 , log

1 3

5 , log

1
3

, log

1
4

4

3

? 2 ? 1; 0 ? log
0

5

4 ? log 5 5 ? 1; log

1 3

5 ? log

1 3

3 ? ?1 ;

log

1
3

? log

1
3

? ? 1; ? 1 ? log

1
4

? log

1
4

?0

4

3

4

3

又 log 1 5 ? log 3
3

1 5

? log

1
3



4
1
4

?2

0 .7

? 1 ? log

5

4 ? 0 ? log

? ? 1 ? log

1
3

? log

3

4

1 3

5

② log 3 4 , log 5 6 答: ③右图是对数函数(1) y ? log a x , ( 2 ) y ? log b x , ( 3 ) y ? log c x , ( 4 ) y ? log 较 a , b , c , d 大小 ① ② ④比较 log 3 (log 6 a ), log 6 (log 3 a )(1 ? a ? 3 ) 大小 答: log 3 (log 6 a ) ? log 6 (log 3 a ) 0 ③ ④
d

x 的图象,比

5、图像与综合应用
①若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ) 1
? ?
2

? lo g 2 x , x ? 0, ?

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C
?1 g | x ? 2 | ②定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? ?1

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

x ? 2 x ? 2

, 若关于 x 的方程 f ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0
2

恰有 5 个不同的实数解 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 , f ( x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) 等于 则 A.3 1 g 2 B.2 1 g 2 C.1

( D.O

)

? | lg x |, 0 ? x ? 1 0 , ? ③已知函数 f ( x ) ? ? 1 若 a , b , c 互不相等,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ), 则 abc ? ? x ? 6, x ? 10. ? 2

的取值范围是( ) (A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

.解析:作出函数 f ( x ) 的图象如右图, 不妨设 a ? b ? c ,则 ? lg a ? lg b ? ? 则 abc ? c ? (10,12) .应选 C. 命题意图:本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.
1 2

1 2

c ? 10 ? (0,1)

④若不等式 x ? log
2

m

x ? 0 ,在 ( 0 ,

) 内恒成立,则实数 m 的取值范围为

答: [

1 16

,1)

⑤若 x1 满足 2x+ 2 =5, x 2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x 2 = ⑥、若方程 log2(x+3)-log4x =a 的根在(3,4)内,求 a 的取值范围. 答: log
7
2
2

x

7 2

? a ?1

4

⑦、方程 log2(x+4)=2x 的根的情况是 A.仅一个正根 B.有两正根 lgx ⑧、方程 x =10 的所有实数根之积是_ 1 ⑨ 、 已 知 函 数
f ( x ) ? log a x?3 x?3

C.有两负根

( D ) D.有一正根和一负根

的 定 义 域 为 ?? , ? ? , 值 域 为

?l

oa a ? ? ( g

a

1 a )? ,? l ?o g ( ) ,且函数 f ( x )1为 ?? , ? ? 上的减函数,求实数 a 的取值

范围。

⑩如果函数 f ( x ) 满足: f ( 3 x ? y ) ? 3 f ( x ) ? f ( y ) 对任意 x,y∈R 均成立,且当 x>0 时,
f ( x ) <0

(1)求证: f ( 4 x ) ? 4 f ( x )

f (3 x ) ? 3 f ( x )

(2)判断函数 f ( x ) 的单调性并证明 (3)若 f(8)=-2,解不等式: f (log 解:①令 y ? x 可证得 f ( 4 x ) ? 4 f ( x ) 令 y ? 0 可证得 f ( 3 x ) ? 3 f ( x ) ②取任意 x1 , x 2 ? 0 且 x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 3 f (
? ? f( x1 ? x 2 3 x1 ? x 2 3
? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,? f ( x 1 ) ? f ( x 2 )
? f ( x ) 为减函数

x?2
2

x

2

) ? 12 f (log

4 2

x) ? ?

1 2

x1 ? x 2 3

)

?0

)?0

③原不等式的定义域为: ( 2 , ?? )
? f ( 3 x ? y ) ? 3 f ( x ) ? f ( y ) 且 f(8) ? -2

? f ( 8 ) ? 4 f ( 2 ), 即 f ( 2 ) ? ?

1 2

则原不等式可变形为:
f (log f (log f (log f (log
f (log

x?2
2

x x?2 x x?2 x x?2 x x?2
x
2 2 2 2

2

) ? 12 f (log

4 2

x ) ? f (2)
4

2

) ? 3 ? 4 f (log ) ? 3 f (log ? log
3 3

2

x ) ? f (2)

2

2

x) ? f (2)

2

2

x ) ? f (2)
log 2 ( x ? 2 ) x ? 2

2

? x ) ? f (2)
4



log 2 ( x ? 2 ) x ? log

2

? ( x ? 2 ) x ? 4 ,? x ? 1 ?

5或 x ? 1 ?

5

x ? 1?

5

综上可得: ⑾已知 f ( x ) ? log a ( x ? 3 a )( a ? 0 , a ? 1) ,当 P ( x , y ) 是函数图象上的点时,Q ( x ? 2 a , ? y )

是函数 y ? g ( x ) 图象上的点。 (1)求函数 y ? g ( x ) 的解析式 (2)求 x ? [ a ? 2 , a ? 3 ] 时,恒有 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 ,试求 a 的取值范围。 解: (1) g ( x ) ? log (2) log
1 a
? H (a ? 2) ? a ? 1 ? H ( a ? 3) ? a ? 0 ? a ?1 ?

1
a

x?a

(x ? a)
3a ? a ? 2 ? ? 0 ? a ?1 a ?0 ? ?

1
a

a

? log a ( x ? 3 a )( x ? a ) ? log a a ,

? ( x ? 3 a )( x ? a ) ? a , H ( x ) ? ( x ? 3 a )( x ? a ) ,对称轴为 x ? 2 a

⑿如图,A,B,C 为函数 y ? log

1 2

x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是 t, t+2, t+4(t ? 1).

(1)设 ? ABC的面积为S 求S=f (t); (2)判断函数S=f (t)的单调性; (3)求S=f (t)的最大值. 解:(1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.
? log t ? 4t
2 1 3

(t ? 2 )

2

? log 3 (1 ?

4 t ? 4t
2

)

(2)因为v= t 2 ? 4 t 在 [1, ?? ) 上是增函数,且v ? 5,
v ?1? 4 v 在 ?5 . ? ? ? 上是减函数,且1<u ?
9

? 9? ; S ? log 3 u 在 ? 1, ? 上是增函数, 5 ? 5?

所以复合函数S=f(t) ? log 3 (1 ?

4 t ? 4t
2

) 在 ?1, ?? ? 上是减函数
9
3

(3)由(2)知 t=1 时,S 有最大值,最大值是 f (1) ? log

5

? 2 ? log 3 5


赞助商链接
相关文章:
第5讲 对数与对数函数(教师)
教师用 第2讲 对数及... 9页 2下载券 第六讲:对数函数(教师) 3页 免费 第6讲 对数函数(教师版... 12页 7下载券 第六讲对数函数教师版 (... 7页 ...
第6讲 对数函数(教师版)
第5讲 指数函数2(学生版) 第8讲 函数的图象(适合高...1/2 相关文档推荐 第6讲-对数函数--教师专用 9页 2财富值 第六讲对数函数教师版 (修... 7页 ...
第七讲函数的概念(一)
第六讲对数函数教师版 (修... 第七讲相似形 第八讲相似二 第八讲函数的概念(二) 第九讲函数的表示方法 第十讲函数的单调性 第14讲 八年级总复习1...
第九讲函数的表示方法
第六讲分式二 第六讲对数函数教师版 (修... 第七讲相似形 第七讲函数的概念(一) 第八讲相似二 第八讲函数的概念(二) 第十讲函数的单调性 第14讲 八年...
第六讲 函数图像的应用 教师版
第五讲 旋转与全等的综合应... 第五讲 对数对数函数 第六讲 函数图像的应用 第七讲 圆中的计算与证... 第七讲 函数与方程 第七讲函数与方程 教师版 ...
第六讲分式二
第二讲 一元一次不等式... 第五讲分式一 第六讲对数函数教师版 (... 第...第六讲 分式的提高题讲解 一,分式方程的应用 1.,注意:为了使同学们更好地...
第六讲:对数函数(教师)
第六讲:对数函数 1、若 a = ( ) , 2 x 3 (A) a < b < c 2 b = x , c = log 2 x ,当 x > 1 时, a, b, c 的大小关系为 ( B 3...
...精选5:指数与指数函数及对数与对数函数(教师版) Wor...
浙江省2014届理科数学专题复习试题精选5:指数与指数函数及对数与对数函数(教师版) Word版含答案]_高中教育_教育专区。浙江省2014届理科数学专题复习试题精选5:指数与...
...精选5:指数与指数函数及对数与对数函数(教师版) 精...
浙江省2014届高三理科数学专题复习试题精选5:指数与指数函数及对数与对数函数(教师版) 精校电子版含答案_数学_高中教育_教育专区。浙江省2014届高三理科数学专题复习...
高一数学(人教新课标A版)对数与对数函数 教师版
高一数学(人教新课标A版)对数与对数函数 教师版_数学_高中教育_教育专区。对数...解:∵ ∴ , 类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、...
更多相关标签: