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第六讲对数函数教师版 (修改版)


对数函数
一、知识梳理
1、记住图象: y ? log
y
a

x ? a ? 0 , a ? 1?

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

2、性质:
a ?1
3


3

0 ? a ?1
2.5 2

2.5

2

图 象
-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 (4)在 (0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 (5) x ? 1, log a x ? 0 ; (5) x ? 1, log a x ? 0 ; 0 ? x ? 1, log a x ? 0 0 ? x ? 1, log a x ? 0

二、典例分析
1、定义域问题
例 1、(1)求函数 y ?
log
0 .3

( 4 x ? 1) 的定义域;

(2)已知 f ( x ) 的定义域为 [ 0 ,1] ,求函数 y ? f [log 1 ( 3 ? x )] 的定义域。
2

1 1 ( , ] 答: (1) 4 2

(2) [ 2 , ]
2

5

2、值域最值问题
例 2、 已知 x 满足不等式 ? 3 ? log 值。 答:由 ? 3 ? log
1 2
1 2

x??

1 2

, 求函数 y ? (log

x
2

) ? (log

x
2

) 的最大值和最小

4

2

1 2

x??

1

1 得 log 1 ( ) ? 3 ? log 2 2 2

1 2

1 ? x ? log 1 ( ) 2 ,即 2 ? x ? 8 2 2

1

?

? log

2

2 ? log

2

x ? log 2 8 ? 3

又 y ? (log
2

x
2

) ? (log

x
2

) ? (log

4

2

2

x ? log 2 4 )(log 3 2 ) ?
2

2

x ? log 2 2 ) ? (log

2

x ? 2 )(log

2

x ? 1)

? l o g2 x ? 3 l o g2 x ? 2 ? ( l o g x ? 2
3 2
3
3

1 4
1 4

? 当 log

2

x?

,即 x ? 2 2 ? 2 2 时 , y 有最小值 ?

当 log

2

x ? 3,即 x ? 2 ? 8时 , y 有最大值 2
1 4

故 y max ? 2 , y min ? ? 拓展一

①、 已知 f ( x ) ? 2 ? log 3 x , x ? [1,9 ] , y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 的最大值及 y 取得最大值时 x 求
2 2

的值。 解:? f ( x ) ? 2 ? log 3 x ,
y ? [ f ( x )] ? f ( x ) ? ( 2 ? log
2 2 3

x ) ? 2 ? log
2

3

x ? log
2

2 3

x ? 6 log

3

x ? 6 ? (log

3

x ? 3) ? 3
2

? 又? f ( x ) 的定义域为 [1,9 ] ,? 要使 y ? [ f ( x )] 2 ? f ( x 2 ) 有意义,就需 ?1 ? x ? 9
2

?1? x ? 9

? 1 ? x ? 3 ,? 0 ? log 3 x ? 1 ,? 6 ? y ? (log

3

x ? 3 ) ? 3 ? 13
2

当 log 3 x ? 1 时, y ? 13 ,此时 x ? 3 当 x ? 3 时,函数 y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 取得最大值 13
2 2
2 ②、已知函数 y ? log 2 ( x ? 2 ) 的定义域是 [ a , b ] ,值域是 [1, log 2 14 ] ,求 a, b 的值。

2 答:由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? ? 2 或 x ?

2 ,而函数的定义域是 [ a , b ] ,

? [ a , b ] ? ( ?? , ? 2 ) 或 [ a , b ] ? ( 2, ? ) ?

当 b ? ? 2 时, y ? f ( x ) ? log 2 ( x 2 ? 2 ) 在 [ a , b ] 上是单调减函数。
? f ( b ) ? 1, f ( a ) ? log 2 14 ,即 b ? 2 ? 2 , a ? 2 ? 14 ,? b ? ? 2 , a ? ? 4
2 2

当a ?

2 时, y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调增函数,
2 2

? f ( a ) ? 1, f ( b ) ? log 2 14 ,即 a ? 2 ? 2 , b ? 2 ? 14 ,? a ? 2 , b ? 4

3、函数性质

例 3、求函数 y ? log ( ? x ? 2 x ? 8 ) 的单调区间。
2
1 2

答:增区间为 [1, 4 ) ,减区间为 (? 2 ,1] 例 4、设 f ( x ) ? lg( A. (? 1, 0 ) 拓展二、 ①、已知函数 y ? log a ( 2 ? ax ) 在 [ 0 ,1] 上是减函数,则 a 的取值范围为 答: 1 ? a ? 2 ②、已知函数 f ( x ) ? log a [( 答:分类讨论,
1 2 ?a? 2 3
2

2 1? x

? a ) 是奇函数,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围( A )

B. ( 0 ,1)

C. (?? , 0 )

D. ( ?? , 0 ) ? (1, ?? )



1 a

? 2 ) x ? 1] 在区间 [1, 2 ] 上恒为正值,求实数 a 的取值范围。

③、定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ,满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则 x 满足的关系 是( A ) A. ( ?? , 0 ) ? ( 2 , ?? ) C. ( ?? ,1) ? ( 3, ?? ) B. ( ?? ,1) ? ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 1) ? ( 2 , ?? )

④、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) ,且 x ? (? 1, 0 ) 时,
f ( x) ? 2 ?
x

1 5

,则 f (log B.
4

2

20 ) ? ( C )

A.1

C.-1
( a ? 0 , 且 a ? 1)

D. ?

4 5

⑤、已知 f ( x ) ? log

5 1? x
a

1? x

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (3)求使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围。 ⑥、已知函数 f ( x ) ? log 2 [ ax ? ( a ? 1) x ?
2

1 4

]。

(1)若定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若值域为 R,求实数 a 的取值范围。 答: (1) (
3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 (2) [ 0 , , ); ]?[ , ?? ) 2 2 2 2

4、比较大小
例 5、①比较下列各数的大小: 2 答: 2
0 .7
0 .7

, log

5

4 , log

1 3

5 , log

1
3

, log

1
4

4

3

? 2 ? 1; 0 ? log
0

5

4 ? log 5 5 ? 1; log

1 3

5 ? log

1 3

3 ? ?1 ;

log

1
3

? log

1
3

? ? 1; ? 1 ? log

1
4

? log

1
4

?0

4

3

4

3

又 log 1 5 ? log 3
3

1 5

? log

1
3



4
1
4

?2

0 .7

? 1 ? log

5

4 ? 0 ? log

? ? 1 ? log

1
3

? log

3

4

1 3

5

② log 3 4 , log 5 6 答: ③右图是对数函数(1) y ? log a x , ( 2 ) y ? log b x , ( 3 ) y ? log c x , ( 4 ) y ? log 较 a , b , c , d 大小 ① ② ④比较 log 3 (log 6 a ), log 6 (log 3 a )(1 ? a ? 3 ) 大小 答: log 3 (log 6 a ) ? log 6 (log 3 a ) 0 ③ ④
d

x 的图象,比

5、图像与综合应用
①若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ) 1
? ?
2

? lo g 2 x , x ? 0, ?

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C
?1 g | x ? 2 | ②定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? ?1

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

x ? 2 x ? 2

, 若关于 x 的方程 f ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0
2

恰有 5 个不同的实数解 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 , f ( x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) 等于 则 A.3 1 g 2 B.2 1 g 2 C.1

( D.O

)

? | lg x |, 0 ? x ? 1 0 , ? ③已知函数 f ( x ) ? ? 1 若 a , b , c 互不相等,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ), 则 abc ? ? x ? 6, x ? 10. ? 2

的取值范围是( ) (A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

.解析:作出函数 f ( x ) 的图象如右图, 不妨设 a ? b ? c ,则 ? lg a ? lg b ? ? 则 abc ? c ? (10,12) .应选 C. 命题意图:本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.
1 2

1 2

c ? 10 ? (0,1)

④若不等式 x ? log
2

m

x ? 0 ,在 ( 0 ,

) 内恒成立,则实数 m 的取值范围为

答: [

1 16

,1)

⑤若 x1 满足 2x+ 2 =5, x 2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x 2 = ⑥、若方程 log2(x+3)-log4x =a 的根在(3,4)内,求 a 的取值范围. 答: log
7
2
2

x

7 2

? a ?1

4

⑦、方程 log2(x+4)=2x 的根的情况是 A.仅一个正根 B.有两正根 lgx ⑧、方程 x =10 的所有实数根之积是_ 1 ⑨ 、 已 知 函 数
f ( x ) ? log a x?3 x?3

C.有两负根

( D ) D.有一正根和一负根

的 定 义 域 为 ?? , ? ? , 值 域 为

?l

oa a ? ? ( g

a

1 a )? ,? l ?o g ( ) ,且函数 f ( x )1为 ?? , ? ? 上的减函数,求实数 a 的取值

范围。

⑩如果函数 f ( x ) 满足: f ( 3 x ? y ) ? 3 f ( x ) ? f ( y ) 对任意 x,y∈R 均成立,且当 x>0 时,
f ( x ) <0

(1)求证: f ( 4 x ) ? 4 f ( x )

f (3 x ) ? 3 f ( x )

(2)判断函数 f ( x ) 的单调性并证明 (3)若 f(8)=-2,解不等式: f (log 解:①令 y ? x 可证得 f ( 4 x ) ? 4 f ( x ) 令 y ? 0 可证得 f ( 3 x ) ? 3 f ( x ) ②取任意 x1 , x 2 ? 0 且 x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 3 f (
? ? f( x1 ? x 2 3 x1 ? x 2 3
? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,? f ( x 1 ) ? f ( x 2 )
? f ( x ) 为减函数

x?2
2

x

2

) ? 12 f (log

4 2

x) ? ?

1 2

x1 ? x 2 3

)

?0

)?0

③原不等式的定义域为: ( 2 , ?? )
? f ( 3 x ? y ) ? 3 f ( x ) ? f ( y ) 且 f(8) ? -2

? f ( 8 ) ? 4 f ( 2 ), 即 f ( 2 ) ? ?

1 2

则原不等式可变形为:
f (log f (log f (log f (log
f (log

x?2
2

x x?2 x x?2 x x?2 x x?2
x
2 2 2 2

2

) ? 12 f (log

4 2

x ) ? f (2)
4

2

) ? 3 ? 4 f (log ) ? 3 f (log ? log
3 3

2

x ) ? f (2)

2

2

x) ? f (2)

2

2

x ) ? f (2)
log 2 ( x ? 2 ) x ? 2

2

? x ) ? f (2)
4



log 2 ( x ? 2 ) x ? log

2

? ( x ? 2 ) x ? 4 ,? x ? 1 ?

5或 x ? 1 ?

5

x ? 1?

5

综上可得: ⑾已知 f ( x ) ? log a ( x ? 3 a )( a ? 0 , a ? 1) ,当 P ( x , y ) 是函数图象上的点时,Q ( x ? 2 a , ? y )

是函数 y ? g ( x ) 图象上的点。 (1)求函数 y ? g ( x ) 的解析式 (2)求 x ? [ a ? 2 , a ? 3 ] 时,恒有 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 ,试求 a 的取值范围。 解: (1) g ( x ) ? log (2) log
1 a
? H (a ? 2) ? a ? 1 ? H ( a ? 3) ? a ? 0 ? a ?1 ?

1
a

x?a

(x ? a)
3a ? a ? 2 ? ? 0 ? a ?1 a ?0 ? ?

1
a

a

? log a ( x ? 3 a )( x ? a ) ? log a a ,

? ( x ? 3 a )( x ? a ) ? a , H ( x ) ? ( x ? 3 a )( x ? a ) ,对称轴为 x ? 2 a

⑿如图,A,B,C 为函数 y ? log

1 2

x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是 t, t+2, t+4(t ? 1).

(1)设 ? ABC的面积为S 求S=f (t); (2)判断函数S=f (t)的单调性; (3)求S=f (t)的最大值. 解:(1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.
? log t ? 4t
2 1 3

(t ? 2 )

2

? log 3 (1 ?

4 t ? 4t
2

)

(2)因为v= t 2 ? 4 t 在 [1, ?? ) 上是增函数,且v ? 5,
v ?1? 4 v 在 ?5 . ? ? ? 上是减函数,且1<u ?
9

? 9? ; S ? log 3 u 在 ? 1, ? 上是增函数, 5 ? 5?

所以复合函数S=f(t) ? log 3 (1 ?

4 t ? 4t
2

) 在 ?1, ?? ? 上是减函数
9
3

(3)由(2)知 t=1 时,S 有最大值,最大值是 f (1) ? log

5

? 2 ? log 3 5


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