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第72课 简单的轨迹方程


高考直通车·2013 届高考数学一轮复习备课手册

第 72 课

简单的轨迹方程

一、教学目标 了解曲线与方程的对应关系;了解求曲线方程的一般步骤,能求一些简单曲线的方程。 二、基础知识回顾与梳理 (本题选自书后习题 P58)已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f ( x, y) ? 0 的解”是正确的,判断下列 命题是否正确: (1)满足方程 f ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上; (2)方程 f ( x, y) ? 0 是曲线 C 的方程; (3)方程 f ( x, y) ? 0 所表示的曲线不一定是 C。 【教学建议】 (1)本题主要是帮助学生复习、理解曲线与方程的概念。 ①曲线 C 上点的坐标 ( x,y ) 都是方程 f ( x,y ) ? 0 的解; ②以方程 f ( x,y ) ? 0 的解 ( x,y ) 为坐标的点都在曲线 C 上. 曲线与方程建立了上述严格的对应关系后,可以利用曲线来研究方程,这就是解析几何处理问题的基 本思想———数与形的 统一. (2)在坐标系确定以后,曲线被它的方程惟一确定.但曲线的方程不是惟一的,因为在同一坐标系下, 还有同解方程 . (3)以轨迹的观点认识“曲线与方程” 三、诊断练习 1、教学处理:课前由学生自主完成 4 道小题,并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。上课前抽查批 阅部分同学的解答,了解学生的思路及主要错误。 2、结合课件点评。必要时可借助实物投影,有针对性地投影几位学生的解答过程。 题 1:动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程为 【分析与点评】方法 1:直接法:设点,列等式,化简。 方法 2:定义法(注意:抛物线的开口方向,焦点,准线,是否为标准方程?) 师生交流:引导学生充分运用抛物线的定义解题。 题 2:若动点 M 与两个坐标轴距离的积等于常数 k ,则动点 M 的轨迹方程为 【分析与点评】 (1)引导学生分析题中 k 的范围; (2)本题是直接法求轨迹,提醒学生注意如何用点的坐标表示到坐标轴的距离 (3)师生交流:本题是否需要先建立坐标系? 【变式】 (本题由课本例题改编)求平面内到两个定点 A,B 的距离之比等于 2 的动点 M 的轨迹。 结论:平面内到两点 A,B 的距离之比等于定值 ? (? ? 0且? ? 1) 的动点的轨迹是一个圆。这个圆经过线 段 AB 的内分点 P ( AP ? ? PB) 和外分点 Q ( AQ ? ??QB) ,且以线段 PQ 为直径。 ⑵教学中,不要求抽象讨论,只要求学生由点 M 的轨迹方程知道轨迹是一个圆,且圆心在 x 轴上,它与 x 轴交于 P( ,0) 和 Q(3a,0) 两点,从而得知 PQ 是此圆的直径。 题 3:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任一点与其焦点连线的中点的轨迹方程为 . 【分析与点评】(1)采用求轨迹方程的何种方法? (2)主动点、从动点分别是哪个点?设出从动点和主动点的坐标分别为(x,y),(x0,y0),找出两者之间的关 系,即 x0=f(x,y) y0=g(x,y)代入抛物线方程求得. (3)相关点法又称代入法,其关键步骤有二. 2 2 题 1-3【变式】 :如图,已知圆 A:(x+2) +y =1 与点 B(2,0),分别求出满足下列 条件的动点 P 的轨迹方程.
2

a 3

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(1)△PAB 的周长为 10; (2)圆 P 过点 B(2,0)且与圆 A 外切(P 为动圆圆心); (3)圆 P 与圆 A 外切且与直线 x=1 相切(P 为动圆圆心). 题 4:动圆 M 过点 F(0,2)且与直线 y ? ?2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是 .

【分析与点评】问题 1:动圆 M 过点 F(0,2)?MF=r 问题 2:动圆 M 与直线 y=-2 相切?d=r 问题 3:MF=d,引导学生应用抛物线的定义解题。注意抛物线的开口方向,准确得出抛物线的标准方程. 【变式 1】 :与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是___.

答案:y2=8x(x>0)或 y=0(x<0)
【变式 2】 : (本题是书后复习题改编) 已知点 M 到椭圆

等,则点 M 的轨迹为_________________. 【教学建议】通过两个变式帮助学生理解: (1) “轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方 程(包括范围). (2)求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点或 者要挖去多余的点. 3、要点归纳 (1)根据题意,先找出等价条件,再根据条件判定曲线类型,最后写出曲线方程,如题 1. (2)解题时应注意动点的几何特征,若盲目进行代数运算则可能较繁琐,如题 4. (3)要重视图象在解题中的作用,辅助分析,帮助理解,如题 2、4 (4)求轨迹方程应首先考虑采用何种方法,如题 3。 四、范例导析 例 1 已知 A, B, C 是直线 l 上的三点,且 AB ? BC ? 6 , ? O? 切直线 l 于 点 A ,又过点 B, C 作 ? O? 异于 l 的两 条切线相交于点 F ,切点分 别为 D, E .求点 F 的轨迹方程. 【教学处理】教师画出图形,在学生讨论的基础上,教师提示。 【引导分析与精讲建议】
? O?
A B E F D

x2 y2 ? ? 1 左焦点的距离与到直线 x ? 4 的距离相 25 9

C

l

(1)先分析动点 F 满足的几何条件,确定点 F 符合椭圆的定义:设 DF=EF=m,易知 FB+FC=BD+DF+FC=… =6+m+(12-m)=18 则点 F 是以点 B 与点 C 为焦点的椭圆 (2)引导学生讨论如何建立直角坐标系:以 l 为 x 轴,BC 的垂直平分线为 y 轴,才能使得轨迹方程标准 化。易知 a ? 9, c ? 3 ,点 F 的轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 81 72
?

(3)突破口:关键引导学生在用定义法求轨迹方程中,要充分利用圆的切线的几何性质来解题。 【变式】 :经过点 C 的直线 m 与点 F 的轨迹交于 M、N 两点,且 MC ?
2 2

2 ? CN ,求直线 m 的方程。 3

例 2 在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足。当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 【教学处理】 教师提出问题进行师生交流讨论,在讨论的基础上,教师示范板书。 【引导分析与精讲建议】 (1)采用求轨迹方程的何种方法?
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? x0 ? x (2) “过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,……M 为中点”设主动点 P( x0 , y0 ) ,从动点 M ( x, y ) 则 ? 代入 ? y0 ? 2 y

x0 ? y0 ? 4 即可求得 M 点的轨迹方程。
2 2

【变式 1】 :设点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为 (8,0) ,当点 P 在圆上运动时,求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 【变式 2】 :设点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为 (8,0) ,若点 M 满足 PM ? 2MD 。当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程。 【 变 式 3 】 设 点 P 是 曲 线 f ( x, y) ? 0 上 的 任 一 点 , 定 点 D 的 坐 标 为 ( a, b) , 若 点 M 满 足 :

PM ? ? MD(? ? R, ? ? ?1) ,当点 P 在曲线 f ( x, y) ? 0 上运动时,求点 M 的轨迹方程。 例 3 已知定点 A(0,1) ,B(0,-1),C(1,0).动点 P 满足 AP ? BP ? k | PC |2 ,求动点 P 的轨迹方程,并说明
方程表示的曲线。 【教学处理】解题之前,引导学生复习回顾相关向量知识,如向量模的计算,数量积的定义,坐标运算, 如何用数量积表示向量垂直等。 【引导分析与精讲建议】 ⑴要求点 P 的轨迹方程,第一步是什么?(设出 P 点的坐标 ( x, y ) ) ⑵ 利 用 向 量 知 识 , 用 x 表 示 出 AP, BP, PC , 根 据 所 给 条 件 , 列 出 方 程 , 化 简 得 到

(1 ? k ) x 2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ? 1 ? 0

⑶对 k ? 1, k ? 1 分类讨论。 五、解题反思 1.求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题,从而简化解题过程. 2.求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤: (1)设所求曲线上任一点 P(x,y); (2)求出其关于点或轴对 称的点 p'(x,y); (3)将 p'坐标代入已知曲线得所求曲线方程.? 3.涉及多个动点的轨迹问题,可用动点代入法或参数法求解,分清主动点和从动点,选择适当参数是解 题的关键.? 4.求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除,如诊断练习题 4 的变式。 (执笔:扬州市邗江区瓜洲中学

祁卫忠

陈建荣)

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