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2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷


第二学期高一数学期末测试题

2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 120 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列框图符号中,表示处理框的是( )

x 2. 函数 y ? sin 的周期是( ) 2 ? A. B. ? 2
29? 是( ) 6 A. 第一象限的角 B. 第二象限的角

C. 2?

D. 4?

3. ?

C. 第三象限的角

D. 第四象限的角

? 1 4. 若 tan( ? ? ) ? ,则 tan ? 等于( ) 4 4 5 3 4 A. B. C. 3 5 3

D.

3 4

? ? ? ? ? ? ? ? 5. 已知 a ? b ? 0 | a |? 2,| b |? 3 且 (3a ? 2b ) ? (?a ? b ) 则 ? 的值是(
A.
3 2



B. ?

3 2

C. ?

3 2

D. 1

6. 从一副标准的 52 张扑克牌(不含大王和小王)中任意抽一张,抽到黑桃 Q 的 概率为( A.
1 52

) B.
1 26

C.

1 13

D. 1

4

7. 某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知座 位号为 6 号,32 号,45 号的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的 座位号是( A. 19 ) B. 16 C. 24 D. 36

8. 某质量监督局要对某厂 6 月份生产的三种型号的轿车进行抽检,已知 6 月份 该厂共生产甲种轿车 1 400 辆,乙种轿车 6 000 辆,丙种轿车 2 000 辆,现采 用分层抽样的方法抽取 47 辆进行检验,则这三种型号的轿车依次应抽取 ( ) A. 14 辆,21 辆,12 辆 B. 7 辆,30 辆,10 辆 C. 10 辆,20 辆,17 辆 D. 8 辆,21 辆,18 辆
1

9. 甲乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲乙下成和棋 的概率为( ) A.60% B.30% C.10% D.50% ? 10. 为了得到 y ? sin 2 x 的图象,只需将 y ? sin(2 x ? ) 的图象( ) 3 A.向右平移 C.向左平移

? 个长度单位 12

B.向右平移 D.向左平移

? 个长度单位 6

? 个长度单位 6

? 个长度单位 12

11. 已知 a、b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是

? ? 2? 5? B. C. D. 6 3 3 6 12.ABCD 为长方形, AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取 一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) ? ? ? ? A、 B、 1 ? C、 D、 1 ? 4 4 8 8
( )A. 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在题后横线上) 13. 半径为 2cm,圆心角为
2? 的扇形面积为 3

.

1 14. 若 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? = 5
? ? ? ? ? ? 15. 已知 | a |? 2,| b |? 3,| a ? b |? 7, 则 ? a, b ? 为
.

16. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽取了一个容量为 100 的样 本,其频率分布直方图如图所示,则据此估计支出在 [50,60)元的同学的概率 为 .

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)17(本小题满分 12 分)已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是 直线 OP 上一点, O 是坐标原点
???? ???? ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ;

⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。
2

18. (本小题满分 8 分) 已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球 6 个, 其中红球 2 个、 黑球 3 个、白球 1 个. (1)从中任取 1 个球, 求取得红球或黑球的概率; (2)列出一次任取 2 个球的所有基本事件; (3)从中取 2 个球,求至少有一个红球的概率. .

19(本小题满分 12 分)

? ? 已知 6sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos2 ? ? 0 , ? ? ( , ? ) ,求 sin(2? ? ) 的值. 2 6

20(本小题满分 12 分) 下表是 A 市住宅楼房屋销售价格 y 和房屋面积 x 的有关数据:

( I) 画

出数据对应的散点图;

? ? bx ? a ,已计算得 b ? 0.196 , y ? 23.2 ,计算 x 及 a ; (II)设线性回归方程为 y

(III)据(II)的结果,估计面积为 120m2 的房屋销售价格

3

21(本小题满分 12 分)宏达电器厂人力资源部对本厂的一批专业技术人员的年 龄状况和接受教育程度(学历)进行了调查,其结果如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 本科 研究生 80 30 20 20
y

x

(Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 人, 求至少有 1 人的学历为研究生 的概率; (Ⅱ)在该厂的专业技术人员中,按年龄用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以下抽取 48 人,50 岁以上抽取 10 人,再从这 N 个人中随机抽 取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率为
5 ,求 x 、 y 的值. 39

22(本小题满分 14 分)
?? 如图是函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的一段图象.
? 2?

(I)求 ? 的值及函数 f ? x ? 的解析式;

? (II)求函数 g ( x) ? f ( x ? ) 的最值及零点. 4

4

解答题答案
17. ( 1 )设 M ( x, y ) ,则 OM ? ( x, y) ,由题意可知 OM // OP 又 OP ? (2,1) 。所以

x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) ,
则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 2 , 当 y ? 2 时, MA ? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。 (2)因为 cos ?AMB ?

MA ? MB | MA || MB |

?

(?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2

??

4 17 。 17

18. (1)从 6 只球中任取 1 球得红球有 2 种取法,得黑球有 3 种取法,得红球或黑球的共 有 2+3=5 种不同取法, 任取一球有 6 种取法, 所以任取 1 球得红球或黑球的概率得 P 1

?

5 6

.

(2)将红球编号为红 1,红 2,黑球编号为黑 1,黑 2,黑 3,则一次任取 2 个球的所有基本事 件为: 红1红2 红1黑1 红1黑2 红1黑3 红1白 红2白 红2黑1 红2黑2 红2黑3 黑1黑2 黑1黑3 黑1白 黑2黑3 黑2白 黑3白 (3)由(2)知从 6 只球中任取两球一共有 15 种取法,其中至少有一个红球的取法共有 9 种,所以其中至少有一个红球概率为 P 2

?

9 3 ? 15 5

.

19. 解:由已知得 (3sin ? ? cos ? )(2sin ? ? cos ? ) ? 0 . 即 3sin ? ? cos ? ? 0 或 2sin ? ? cos ? ? 0 . 因为 ? ? ( ……………………………………3 分

?
2

, ? ) ,所以 cos ? ? 0 , tan ? ? 0 . 1 . 3
…………………………………………………………………5 分

所以 tan ? ? ?

? ? ? 1 sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? 3 sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 6 6 6 2
? 3 sin ? cos ? 1 cos 2 ? ? sin 2 ? 3 tan ? 1 1 ? tan 2 ? ? ? ? ? ? . cos 2 ? ? sin 2 ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 2 1 ? tan 2 ?
………………………………………………………9 分 将 tan ? ? ?

1 代入上式, 3

5

1 1 3 ? (? ) 1 ? (? ) 2 1 3 ? ? 3 ? 4 ? 3 3 . ……………………………12 分 得 sin(2? ? ) ? 3 1 ? (? 1 ) 2 2 1 ? (? 1 ) 2 10 3 3

?

20. 解: (I)数据对应的散点图(略) (II) x ?

…………………………………………….3 分

1 5 ? xi ? 109. 5 i ?1

a ? y ? bx ? 23.2 ?109 ? 0.196 ? 1.836 . …………………………………………….7 分
? ? 0.196 x ? 1.836 . ……………………………..9 分 (III)由(II)知,回归直线方程为 y
所以,当 x ? 120m 时,销售价格的估计值为:
2

? y ? 0.196 ?120 ? 1.836 ? 25.356 (万元)
所以面积为 120m 的房屋销售价格估计为 25.356 万元. ………………………………12 分
2

21. 解:(Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m ,所以 解得 m ? 3 .

30 m ? . 50 5

………………………………………………………………………2 分

所以抽取了学历为研究生的 2 人,学历为本科的 3 人,分别记作 A 1 、 A2 ; B1 、 B 2 、 B3 . 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个:

( A1 , B1 ),

( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ),

( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ),

( A1 , A2 ), ( B1 , B2 ),

( B2 , B3 ), ( B1 , B3 ).

………………………………………………………………5 分

其中,至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A1 , A2 ).
所以从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为

7 . ……………… 7 分 10

(Ⅱ)依题意得

10 5 ? ,解得 N ? 78 . N 39

………………………………………… 9 分

所以 35~50 岁中被抽取的人数为 78 ? 48 ? 10 ? 20 . 所以

48 20 10 ? ? . 80 ? x 50 20 ? y
y ? 5.
6

解得 x ? 40,

即 x ? 40,

y ? 5.

…………………………………………………12 分 ……………………………………………2 分 ………………4 分

22. 解: (I)由图可知, A ? 2 . 函数的周期 T ? 2[ 因为图象过点 ( ? 所以 ? ?

?

5? ? 2? ? (? )] ? ? ,所以 ? ? ?2. 12 12 T , 0) ,所以 2sin[2( ?

?
6

12

? k? (k ? Z) . 因为 ? ?

?
2

) ? ? ] ? 0 ,即 sin(? ? ) ? 0 . 12 6

?

?

,所以 ? ?

?

所以 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?
6

6

.

).

………………………………………7 分

(II)依题意, g ( x) ? 2sin[2( x ?

) ? ] ? 2sin(2 x ? ) . 4 6 3 ? ? 5? , k ? Z 时, y 取得最大值,且最大值等于 2 . 当 2 x ? ? 2k? ? ,即 x ? k? ? 3 2 12
当 2x ?

?

?

?

?

3

? 2 k? ?

?

2

,k ?Z , 即 x ? k? ?

?

12

, k ? Z 时,y 取得最小值, 且最小值等于 ?2 .

…………………………………………………10 分 因为 2 x ?

?
3

? k? , k ? Z 时, g ( x) ? 0 , k? ? ? (k ? Z ) . 2 6
……………………………………12 分

所以,函数 g ( x) 零点为

7


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