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高一测试题1


高一数学测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. sin( ?

23? ) 的值是 ( 6
B. ?

)

A.

1 2

1 2

C.

3 2
)

D. ?

3 2

2.若向量 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? ( ?2,4) ,则 c 等于 ( A. ?a ? 3b B. a ? 3b C. 3a ? b

D. ?3a ? b )

3. 设 x, y ? R, 向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? , 且 a ? c, b // c , 则 | a ? b |? ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

4.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是 ( ) A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D.-

3 2
)

5.函数 y ? 2 sin(

1 ? x ? ) 在一个周期内的图象是( 2 3

A

B

C

D

6. 函数 f ( x)=A sin(? x+? )( A ? 0,? ? 0, 则 f( )的 0 ? ? ? ? )的图象如图所示,

?

4

值为(



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A. 2

B. 0

C. 1

D. 3 )

7.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如右,此函数的解析式为(

y ? 2 sin( 2 x ?
A.

?
3

)
B.

y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

x ? y ? 2 sin( ? ) 2 3 C.
8.若 tan(? ? (A)

y ? 2 sin( 2 x ?
D. )

?
3

)

?
4

)?

3 4

1 ,则 tan ? =( 7 4 (B) 3

(C) ?

3 4

(D) ? )

4 3

9.如图,在 ?ABC 中, BD ? 2CD ,若 AB ? a , AC ? b ,则 AD ? (

A. a ?

1 3

2 b 3

B.

2 1 a? b 3 3

C.

2 1 a? b 3 3

D. a ?

1 3

2 b 3

10.函数 y ? sin ? 3x ? 轴的方程是( A. x ? ? )

? ?

??

?? ?? ? ? ? ? ? cos? x ? ? ? cos? 3x ? ? sin? x ? 3? 6? 3? ? 6 ? ?
?
12
C. x ?

? ?的图象的一条对称 ?

?
24

B. x ? ?

?
12

D. x ?

?
6

11. 已知直线 x ?

5? ? 和点 ( , 0) 恰好是函数 f ( x) ? 2 sin(? x ? ? ) 的图象的相邻的对 12 6

称轴和对称中心,则 f ( x ) 的表达式可以是 A. f ( x) ? C. f ( x) ?

2 sin(2 x ? ) 6 2 sin(4 x ? ) 3
?1

?

B. f ( x) ? D. f ( x) ?

?

2 sin(2 x ? ) 3 2 sin(4 x ? ) 6

?

?

12 . 定 义 某 种 运 算 S ? a ? b , 运 算 原 理 如 上 图 所 示 , 则 式 子

(2 tan

5? ?1? ) ? ln e ? lg100? ? ? 的值为( 4 ? 3?



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A.4 题号 答案 1

B.8 2

C.11 3 4

D.13 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 a ? b ? a ? 2b ? 1,则 2a ? b ? . .

14.已知 a ? ? 4, 2 ? ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是 15.边长为 2 的等边△ABC 中, AB ? BC ?

x ,1), u ? a ? 2b, v ? 2a? b 16 .已知向量 a ? (1, 2),b ? ( ,且 u ∥ v ,则实数 x 的值
是 。

三、解答题(第 17 题 10 分,其余每小题 12 分,共 60 分) 17.已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

18.已知 0<x<π ,sinx+cosx= (1)求 sinx-cosx 的值; (2)求 tanx 的值.

1 . 5

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19.已知 cosα =

1 13 ? ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < ,求 β . 7 14 2

20.设函数 f(x)= 3 sinxcosx+cos x+a.
2

(1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x∈ ? ?

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3?

21.已知函数 f(x)=sin

x x 1 2 x cos +cos - 2 2 2 2

(1)若 f(α )=

2 ,α ∈(0,π ),求 α 的值; 4 ? ? ? , ? 上最大值和最小值. ? 4 ? ?

(2)求函数 f(x)在 ? ?

22.已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈ ? 0,

? ?? 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. ? 2? ?

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: sin(? 考点:诱导公式. 2.B 【解析】 试 题 分 析 : 设 c ? xa ? yb , 则 有 (? 2 , 4? )x

23? ? ? 1 ) ? sin(?4? ? ) ? sin ? ,选 A. 6 6 6 2

( 1? ,y 1 ) ? ( 1? , x 1) ? y x ( ?, y ,所 以 )

? x ? y ? ?2 ?x ? 1 ,解得 ? ,所以 c ? a ? 3b ,选 B. ? ?x ? y ? 4 ? y ? ?3
考点:1.平面向量的基本定理;2.平面向量的坐标运算. 3.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

a ? c, b // c , 所 以 2 x ? 4 ? 0,2 y ? ?4, 因 此

x ? 2, y ? ?2.a ? (2,1),b ? (1,?2). 所以 | a ? b |? | (3,?1) |? 10. 选 B.
考点:向量平行与垂直的坐标表示 4.C 【解析】 试 题







sin 34 sin 26 ? cos34 cos cos 26 ?

?(cos34 cos 26 ? sin 34 sin 26 )

1 ? ? cos(34 ? 26 ) ? ? cos 60 ? ? 。故 C 正确。 2
考点:余弦两角和公式。 5.B 【解析】 试题分析: 函数的周期 T ?

? 2? 然后横坐标伸长 ? 4? , y ? 2 sin x 向左平移 个单位长度, 1 3 2

到原理的 2 倍, 纵坐标不变, 得到 y ? 2 sin ? 可以快速得到答案. 考点: y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 6.D 【解析】 试题分析:由已知, A ? 2, T ?

?? ?1 代入函数, x ? ? ,故选 B,或通过左端点值, 3? ?2

4 11? ? ?( ? ) ? ? , ? ? 2, ,所以 f ( x)=2sin(2 x+? ) , 3 12 6
答案第 1 页,总 5 页

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将(

?

, 2) 代人得, 2sin(2 ? +? ) ? 2,sin( +? ) ? 1 ,所以, +? ? , ? ? , 6 3 2 6 6 3

?

?

?

?

?

f ( x)=2sin(2 x+ ), f ( )=2sin(2 ? + ) ? 2 cos ? 3 ,故选 D . 6 4 4 6 6
考点:正弦型函数,三角函数诱导公式. 7.B 【解析】 试题分析:由图象最高点可知 A ? 2 ,

?

?

?

?

?

2? T 5 ? ? ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ,则 T ? ? ,? ? T 2 12 ? 12 ? 2
5? ? 5? ? 2 ? ? ?) ? . 2可 得 , ?2 ? , 则 2 s i n (? 12 ? 12 ?

原 函 数 化 为 y ? 2sin(2 x ? ? ) , 图 象 过 ?

??

2 . 3

考点: y ? A sin(? x ? ? ) ? h 的图像与系数的关系. 8. (C) 【解析】 试题分析:由 tan(? ?

?
4

)?

1 tan ? ? 1 1 3 ? ,? tan ? ? ? .故选(C). 所以 7 1 ? tan ? 7 4

考点:1.角的和差公式.2.解方程的思想. 9.A 【解析】 试 题 分 析 :

B ? 2D

C ,

1 DCD ? CB ? 3



1 1 ? AD ? AC ? CD ? AC ? CB ? AC ? AB ? AC 3 3 1 2 1 2 ? AB ? AC ? a ? b ,故选 A. 3 3 3 3
考点:平面向量的基底表示 10.C 【解析】 试 题 分 析 :

?

?

















π π π π π π π y ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )sin( x ? ) ? sin(3x ? ? x ? ) ? sin(4x ? ) 3 6 3 6 3 6 6 π π kπ π π 则对称轴满足 4x ? =kπ ? , k ? Z ,得 x= ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x= . 故选 C 6 2 4 12 12
考点:对称轴 正余弦和差角公式 诱导公式 11.B 【解析】由题意

? T 5? ? ? 2? ? ? ? , T ? ? ,又 ? T ,∴ ? ? 2 . sin(2 ? ? ? ) ? 0 , 6 4 12 6 4 ?

答案第 2 页,总 5 页

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? ? k? ?

?
3

, k ? Z ,故选 B.

【考点】三角函数的图象与五点法. 12.D 【解析】 试题分析:∵ tan

5? ? ? ? tan(? ? ) ? tan ? 1, lg100 ? lg102 ? 2lg10 ? 2 , ln e ? 1 , 4 4 4

1 ( ) ?1 ? 3 , 3 5? 1 ) ? ln e ? lg100 ? ( ) ?1 ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? (1 ? 1) ? 3 ? (2 ? 1) ? 13 . ∴ (2 tan 4 3
考点:1.程序框图;2.三角函数值;3.对数的运算. 13. 3 【解析】 试 题 分 析
2

: 由

已 知 得
2



a ? 4a ? b ? 4b ? 1 , 故

2

2

a ?b ?1 ,

2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 9 ? 3 .
考点:1、向量的模;2、向量的数量积运算. 14. ?

? 5 2 5? ? 5 2 5? , ? , ? , ? ? ? ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? 5 ?

【解析】

? ? 5 5 x? x?? ? ? ?x ? y ? 1 ? ? 5 5 试题分析:设所求向量为 e ? ( x, y) ,则 ? 解之得 ? 或? . ?4 x ? 2 y ? 0 ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 ? ? 5 5 ? ?
2 2

考点:向量数量积的应用(向量的模、向量垂直的充要条件). 15.-2 【解析】 试题分析: AB ? BC ? AB ? BC cos( ? ? 考点:向量的数量积,向量的夹角 16.

?

1 ) ? 2 ? 2 ? (? ) ? ?2 3 2

1 2

【解析】

31 ?2 x) ? 4(2 试题分析: 由题可得:u ? (1 ? 2 x, 4), v ? (2 ? x,3) , ∵u∥ v, ∴(
可求出 x 的值. 考点:向量的坐标运算. 17. (1)

? )=0 x



?? ? 3? (2)50 ? ? ? ? ? 3 ?3 2 ?
答案第 3 页,总 5 页

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【解析】(1)由圆 O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形,∴α =∠AOB= (2)由(1)可知 α =

1 1 10? ? ? 10? , r=10, ∴弧长 l=α · r= ×10= , ∴S 扇形= lr= × 2 2 3 3 3 3
扇形

? . 3

×10=

1 50? 10 3 1 10 3 50 3 ,而 S△AOB= ·AB· = ×10× = ,∴S=S 2 2 3 2 2 2

-S△AOB=

50 ?

?? 3? ? ?3 2 ? ? ? ?
7 4 (2)5 3 1 1 ,∴1+2sinxcosx= , 5 25

18. (1)

【解析】(1)∵sinx+cosx= ∴2sinxcosx=-

24 24 ,又∵0<x<π ,∴sinx>0,2sinxcosx=- <0,∴cosx<0,∴sinx 25 25 7 -cosx>0,∴sinx-cosx= 1-2 sinxcosx= . 5 4 sinx+cosx 1 tanx+1 1 = , = ,tanx=- . (2) 3 sinx-cosx 7 tanx-1 7
19.β =

? 3

【解析】∵ 0<β <α <

13 ? ? ,∴ 0<α -β < .又 cos(α -β )= , 14 2 2

2 ∴ sin(α -β )= 1 -cos( ?-?) =

3 3 , 14



cos β = cos[α - (α - β )] = cos α cos(α - β ) + sin α sin(α - β ) =

? ? 1 13 4 3 3 3 1 ? + ? = .又 0<β < ,∴ β = 2 3 7 14 7 14 2
20. (1) ?

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (2)a=0 3 ?6 ?
1 1+cos 2 x ? 3 ?? ? sin2x+ +a=sin ? 2 x ? ? +a+ ,∴T=π .由 + 2 2 2 2 6? ?

【解析】(1)f(x)=

2kπ ≤2x+

3? 2? ? ? ≤ + 2kπ ,得 +kx≤x≤ + kπ . 故函数 f(x) 的单调递减区间是 2 3 6 6

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k∈Z). ? 3 ?6 ?
(2)∵-

1 ? ? ? ? 5? ?? ? ? ? ?? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ .∴- ≤sin ? 2 x ? ? ≤1.当 x∈ ? ? , ? 6 2 6 3 6 6 6? ? ? 6 3?
答案第 4 页,总 5 页

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时,原函数的最大值与最小值的和为 ?1 +a+ ?+?- +a+ ? =

? ?

1? 2?

? ?

1 2

1? 2?

3 ,∴a=0 2

21. (1)

7? 1 2 (2)- , 12 2 2

【解析】(1)f(x)=

1 1 ? cos x 1 1 2 ?? ? sinx+ - = (sinx+cosx)= sin ? x ? ? .由题意 2 2 2 2 2 4? ?

知:f(α )=

? 2 2 ?? ?? 1 ? ? sin ? ? ? ? = ,即 sin ? ? ? ? = .∵α ∈(0,π ),即 α + ∈ 4 2 4 4? 4? 2 ? ?

? ? 5? ? , ?4 4
(2)∵-

7? ? 5? ? ? ,∴α + 4 = 6 ,即 α = 12 . ?

1 ? ? 5? 2 ?? ? ≤α ≤π , 即 0≤α + ≤ , ∴f(x)max=f ? ? = , f(x)min=f(π )=- . 4 2 4 4 2 ?4?

22. (1)T=π (2)最小值-1,最大值 2 【解析】(1)f(x)=a·b 2 2 =(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx=cos x-sin x+2sinxcosx =cos2x+sin2x= 2 ?

? 2 ? 2 ?? ? 2x ? ? . ? 2 cos 2 x+ 2 sin 2 x ? ? = 2 sin ? 4? ? ? ?

∴f(x)的最小正周期 T=π .

? ? ? 5? ,∴ ≤2x+ ≤ , 4 2 4 4 ? ? ? ? 5? ? ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2 ;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x) 4 4 2 8 4 2
(2)∵0≤x≤ 有最小值-1.

答案第 5 页,总 5 页


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