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2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标版)


2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(文科)

石嘴山市光明中学

潘学功

2012 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标版)
适用地区:河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南 注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自

己的姓名、准考证 号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? { x | ? 1 ? x ? 1} ,则(
2

) D. A ? B ? ?
A ,故选择 B。

A. A

B

B. B

A

C. A ? B

【解析】因为 A ? { x | ? 1 ? x ? 2} , B ? { x | ? 1 ? x ? 1} ,所以 B
?3 ? i 2?i

【点评】本题主要考察一元二次不等式的解法,两个集合间的关系,属简单题。 2.复数 z ? 的共轭复数是( B. 2 ? i
( ? 3 ? i )( 2 ? i ) ( 2 ? i )( 2 ? i ) ? ?5 ? 5 i 5

) C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

A. 2 ? i 【解析】因为 z ?

? ? 1 ? i ,所以 z ? ? 1 ? i ,故选择 D。

【点评】本题主要考察复数的运算及共轭复数的概念。 3.在一组样本数据( x1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) , ,…, x n , y n ) n ? 2 , x1 , x 2 ,…, x n 不全相等) ( ( 的散点图中,若所有样本点( x i , y i ) i =1,2,…, n )都在直线 y ? ( 数据的样本相关系数为( A.-1 ) C.
1 2 1 2 x ? 1 上,则这组样本

B.0

D.1

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潘学功

【解析】因为 y ?

1 2

x ? 1 中, k ?

1 2

? 0 ,所以样本相关系数 r ? 0 , 1 2 x ? 1 上,

又所有样本点( x i , y i ) i =1,2,…, n )都在直线 y ? ( 所以样本相关系数 r ? 1 ,故选择 D。 【点评】本题主要考察回归直线,相关系数的知识。 4.设 F1 、 F 2 是椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P 为直线 x ?

3a 2

上一点,

? F 2 P F1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(



A. C.

1 2 3 4

B. D.

2 3 4 5

【解析】如图所示, ? F 2 P F1 是等腰三角形,
? F 2 F1 P ? ? F 2 P F1 ? 3 0 ? , | F 2 P | ? | F1 F 2 | ? 2 c ,

? P F 2 Q ? 6 0 ? , ? F 2 P Q ? 3 0 ? , | F 2 Q |? c ,

又 | F 2 Q |? 因此 e ?
c a

3a 2 ?

? c ,所以 3 4

3a 2

? c ? c ,解得 c ?

3 4

开始
a,

,故选择 C。

输入 N , a 1 , a 2 ,…, a N

【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质,离心率。 5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,顶 点 C 在第一象限,若点( x , y )在△ABC 内部, 则 z ? ? x ? y 的取值范围是( A. 1 ? (
3 ,2)

k ? 1 , A ? a1 , B ? a1



x ? ak
k ? k ?1

B. (0,2) D. (0, 1 ?
3)
x ? A?

C. 3 ? 1 ,2) (



【解析】正△ABC 内部如图所示, A(1,1) ,B(1,3) ,C( 1 ?
3 ,2) 。



A? x



x ? B?

B ? x



k ? N ?



是 输出 A,B 结束 将目标函数 z ? ? x ? y 化为 y ? x ? z ,

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显然在 B(1,3)处, z m ax ? ? 1 ? 3 ? 2 ; 在 C( 1 ?
3 ,2)处, z m in ? ? (1 ?

3) ? 2 ? 1?

3 。

因为区域不包括端点,所以 1 ? 【点评】本题主要考察线性规划的知识。

3 ? z ? 2 ,故选择 A。

6.若执行右边和程序框图,输入正整数 N ( N ? 2 )和实数 a 1 , a 2 ,…, a N ,输出 A,B,则( A. A ? B 为 a 1 , a 2 ,…, a N 的和 B.
A? B 2



为 a 1 , a 2 ,…, a N 的算术平均数

C. A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,…, a N 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,…, a N 中最小的数和最大的数 【解析】由程序框图可知,A 表示 a 1 , a 2 ,…, a N 中最大的数,B 表示 a 1 , a 2 ,…, a N 中最小的数, 故选择 C。 【点评】本题主要考察程序框图的应用。 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( A.6 B.9 C.12 D.15 【解析】由三视图可知,该几何体为 A 三棱锥 A-BCD, 底面△BCD 为 底边为 6,高为 3 的等腰三角形, 侧面 ABD⊥底面 BCD, AO⊥底面 BCD, B D O 因此此几何体的体积为
V ? 1 3 ?( 1 2 ? 6 ? 3) ? 3 ? 9 ,故选择 B。



C

【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。 8.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的 距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6 ? C. 4 6 ? B. 4 3? D. 6 3?
2 ,



【解析】如图所示,由已知 O 1 A ? 1 , O O 1 ? 在 R t ? O O 1 A 中,球的半径 R ? O A ? 所以此球的体积 V ?
4 3
3

3,

? R ? 4 3? ,故选择 B。

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算。 9.已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ?
?
4

和x ?

5? 4

是函数 ) D.
3? 4

f ( x ) ? sin ( ? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? ? (

A.

?
4

B.

?
3

C.

?
2

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潘学功

【解析】由直线 x ?

?
4

和x ?

5? 4

是函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,
5? 4 ?

得 f ( x ) ? sin (? x ? ? ) 的最小正周期 T ? 2 ( 由此 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) ,由已知 x ? 所以 s in (
?
4

?
4

) ? 2 ? ,从而 ? ? 1 。

?
4

处 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) 取得最值,
?
4

? ? ) ? ? 1 ,结合选项,知 ? ?

,故选择 A。

【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。 10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 1 6 x 的准线交于 A,B 两点,
2

| A B | ? 4 3 ,则 C 的实轴长为(



A. 2 C.4

B. 2 2 D.8
x a
2 2

【解析】设等轴双曲线 C 的方程为

?

y a

2 2

? 1,

即 x ? y ? a (a ? 0 ) ,
2 2 2

抛物线 y ? 1 6 x 的准线方程为 x ? ? 4 ,
2

?x ? y ? a 2 2 联立方程 ? ,解得 y ? 1 6 ? a , ? x ? ?4
2 2 2

因为 | A B | ? 4 3 , 所以 | A B | ? ( 2 | y |) ? 4 y ? 4 8 ,从而 y ? 1 2 ,
2 2 2

2

所以 1 6 ? a ? 1 2 , a ? 4 , a ? 2 ,
2 2

因此 C 的实轴长为 2 a ? 4 ,故选择 C。 【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。 11.当 0 ? x ?
1 2

时, 4 ? lo g a x ,则 a 的取值范围是(
x



A. (0,

2 2



B. (

2 2

,1)

C. (1, 2 )

D. 2 ,2) (

【解析】显然要使不等式成立,必有 0 ? a ? 1 。 在同一坐标系中画出 y ? 4 与 y ? lo g a x 的图象。
x

若0 ? x ?

1 2

时, 4 ? lo g a x ,
x

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潘学功

?0 ? a ? 1 ? 当且仅当 ? , 1 lo g a ? 2 ? ? 2
2 2

?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? ,即 ? 2 1 。 ? 1 2 ? lo g a a ? lo g a ?a ? ? 2 ? 2

解得

? a ? 1 ,故选择 B。

【点评】本题主要考察锥体和球的性质。 12.数列{ a n }满足 a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 ,则{ a n }的前 60 项和为(
n

) D.1830

A.3690
n

B.3660

C.1845

【解析】因为 a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 , 所以 a 2 ? a 1 ? 1 , a 3 ? a 2 ? 3 , a 4 ? a 3 ? 5 , a 5 ? a 4 ? 7 , a 6 ? a 5 ? 9 , a 7 ? a 6 ? 1 1 , ……, a 5 8 ? a 5 7 ? 1 1 3 , a 5 9 ? a 5 8 ? 1 1 5 , a 6 0 ? a 5 9 ? 1 1 7 。 由 a 2 ? a 1 ? 1 , a 3 ? a 2 ? 3 可得 a 1 ? a 3 ? 2 ; 由 a 6 ? a 5 ? 9 , a 7 ? a 6 ? 1 1 可得 a 5 ? a 7 ? 2 ; …… 由 a 5 8 ? a 5 7 ? 1 1 3 , a 5 9 ? a 5 8 ? 1 1 5 可得 a 5 7 ? a 5 9 ? 2 ; 从而 a 1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? ? ? a 5 7 ? a 5 9 ? ( a 1 ? a 3 ) ? ( a 5 ? a 7 ) ? ? ? ( a 5 7 ? a 5 9 ) ? 2 ? 1 5 ? 3 0 。 又 a 2 ? a 1 ? 1 , a 4 ? a 3 ? 5 , a 6 ? a 5 ? 9 ,…, a 5 8 ? a 5 7 ? 1 1 3 , a 6 0 ? a 5 9 ? 1 1 7 , 所以 ( a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 6 0 ) ? ( a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 5 9 )
? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 4 ? a 3 ) ? ( a 6 ? a 5 ) ? ? ? ( a 6 0 ? a 5 9 ) ? 1 ? 5 ? 9 ? ? ? 1 1 7
? 30 ? 118 2 ? 1770 。

从而 a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 6 0 ? a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 5 9 ? 1 7 7 0 ? 3 0 ? 1 7 7 0 ? 1 8 0 0 。 因此 S 6 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a 5 9 ? a 6 0 ? ( a1 ? a 3 ? ? ? a 5 9 ) ? ( a 2 ? a 4 ? ? ? a 6 0 )
? 3 0 ? 1 8 0 0 ? 1 8 3 0 。故选择 D。

【点评】本小题主要考察递推数列的知识。

第Ⅱ卷(共 90 分)
本试卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 y ? x (3 ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为_________。 【答案】 4 x ? y ? 3 ? 0 。 【解析】由已知 y ' ? 3 ln x ? 4 ,根据导数的几何意义知切线斜率 k ? y ' | x ? 1 ? 4 , 因此切线方程为 y ? 1 ? 4 ( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 。 【点评】本小题主要考察导数的几何意义,曲线上一点处的切线方程的求法。

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14.等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3 S 2 ? 0 ,则公比 q ? ___________。 【答案】 ? 2 。 【解析】由已知得 S 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 1 ? a 1 q ? a 1 q , 3 S 2 ? 3 a1 ? 3 a 2 ? 3 a1 ? 3 a1 q ,
2

因为 S 3 ? 3 S 2 ? 0 ,所以 4 a1 ? 4 a1 q ? a1 q ? 0
2

而 a1 ? 0 ,所以 q ? 4 q ? 4 ? 0 ,解得 q ? ? 2 。
2

【点评】本小题主要等比数列通项公式、求和公式的应用。 15.已知向量 a , b 夹角为 45°,且 | a |? 1 , | 2 a ? b |? 【答案】 3 2 。 【解析】由已知 a ? b ? | a | ? | b | ? cos 45 ? ? 因为 | 2 a ? b |?
? ?
2

?

?

?

?

?

? 1 0 ,则 | b | ? _________。

2 2

|b |。
2 2

1 0 ,所以 4 | a | ? 4 a ? b ? | b | ? 10 ,即 | b | ? 2 2 | b | ? 6 ? 0 ,

解得 | b |? 3 2 。 【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。 16.设函数 f ( x ) ? 【答案】2。 【解析】 f ( x ) ?
( x ? 1) ? s in x
2

( x ? 1) ? s in x
2

x ?1
2

的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? ____________。

x ?1
2

?

x ? 1 ? 2 x ? s in x
2

x ?1
2

? 1?

2x x ?1
2

?

sin x x ?1
2



令 g (x) ?

2x x ?1
2

?

sin x x ?1
2

,则 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 。

因为 g ( x ) 为奇函数,所以 g ( x ) m ax ? g ( x ) m in ? 0 。 所以 M ? m ? [ g ( x ) m ax ? 1] ? [ g ( x ) m in ? 1] ? g ( x ) m ax ? g ( x ) m in ? 2 ? 2 。 【点评】本小题主要考察数列的知识。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 。 17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, c ? (1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 【解析】 (1)根据正弦定理 因为 c ?
a s in A ? c s in C ? 2 R ,得 a ? 2 R sin A , c ? 2 R sin C ,

3 a sin C ? c co s A 。

3 a sin C ? c co s A ,
3 ( 2 R sin A ) sin C ? 2 R sin C ? co s A ,

所以 2 R sin C ?

化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1 ,即 sin( A ?
?
6 ) ? 1 2



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潘学功

而0 ? A ? ? ,?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

,从而 A ?

?
6

?

?
6

,解得 A ?
?
3

?
3



(2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?



? ?1 bc sin ? 3 ?2 ? bc ? 4 ? 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ? 2 2 2 ?b ? c ? 8 ? b ? c ? 2 bc cos ? a ? 4 ? 3 ? 从而解得 b ? 2 , c ? 2 。

【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。 18. (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖 不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 关于当天需求量 n(单位: 元) 枝,n ? N ) 的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率。 【解析】 (1)当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 17 ? 5 ? 85 ; 当日需求量 n ? 16 时,利润 y ? 5 n ? 5 (17 ? n ) ? 10 n ? 85 。
?10 n ? 85 ( n ? 16 ) ? 85 ( n ? 17 )

所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ? ? (2)①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花, 则这 100 天的日利润(单位:元)的平均数为
1 100
? 76 . 4 (元) 。

(n ? N ) 。

y ?

? [10 ? (140 ? 85 ) ? 20 ? (150 ? 85 ) ? 16 ? (160 ? 85 ) ? 16 ? 85 ? 15 ? 85 ? 13 ? 85 ? 10 ? 85 ]

②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝。 故当天的利润不少于 75 元的概率为
p ? 0 . 16 ? 0 . 16 ? 0 . 15 ? 0 . 13 ? 0 . 10 ? 0 . 7 。

【点评】本小题主要考察统计初步、随机事件概率的求法。 19. (本小题满分 12 分)

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如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ? A C B ? 9 0 ? ,AC=BC= (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。 【解析】 (1)在 R t ? D A C 中, A D ? A C , 得: ? A D C ? 4 5 , 同理: ? A1 D C 1 ? 4 5 ? ? C D C 1 ? 9 0 , 得: D C 1 ? D C 。 由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC, C C 1 ? A C ? C , 所以 B C ? 平面 A C C 1 A1 。 又 D C 1 ? 平面 A C C 1 A1 ,所以 D C 1 ? B C 而 D C ? B C ? C ,所以 D C 1 ? 平面 B D C 。 又 D C 1 ? 平面 B D C 1 ,故平面 BDC1⊥平面 BDC。 (2)由已知 AC=BC=
1 2
? ?
?

1 2

AA1,D 是棱 AA1 的中点。

C1 A1

B1

D C A B

AA1,D 是棱 AA1 的中点,
1 2 a ? 2a ? a 。
2 3

设 A A1 ? 2 a , A C ? B C ? A D ? a ,则 V A B C ? A B C ?
1 1 1

由(1) B C ? 平面 A C C 1 A1 ,所以 B C 为四棱锥 B ? A C C 1 D 的高, , 所以 V B ? A C C D ?
1

1 3

?(

1 2

? 3a ? a ) ? a ?

1 2

a 。

3

因此平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为

V ABC ? A B C ? V B ? ACC
1 1 1

a ?
3
1D

1 2

a

3

?

V B ? ACC

1D

1 2

?

1 1



a

3

【点评】本小题主要考察空间面面垂直,及多面体体积的计算。 20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C: x ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半
2

径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。 【解析】 (1)若∠BFD=90°,则△BFD 为等腰直角三角形, 且|BD|= 2 p ,圆 F 的半径 r ? | F A |?
2p,

又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 l 的距离
d ? | F A |? 2p。

因为△ABD 的面积为 4 2 , 所以 ? | B D | ? d ? 4 2 ,即
2 1 1 2 ?2 p ? 2p ? 4 2 ,

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潘学功

所以 p ? 4 ,由 p ? 0 ,解得 p ? 2 。
2

从而抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,
2

圆 F 的圆心 F(0,1) ,半径 r ? | F A | ? 2 2 , 因此圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 。
2 2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 则 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°, 根据抛物线的定义,得 | A D | ? | F A | ? 所以 ? A B D ? 3 0 ? , 从而直线 m 的斜率为
3 3 3 3
1 2 | AB | ,

或?

3 3



当直线 m 的斜率为

时,直线 m 的方程为 y ?

3 3

x?

p 2



p

原点 O 到直线 m 的距离 d 1 ?

2 1? ( 3 3 )
2



依题意设直线 n 的方程为 y ?

3 3

x?b,

? 3 x?b 2 3 ?y ? 2 px ? 2 pb ? 0 , 联立 ? ,得 x ? 3 3 ? 2 ? x ? 2 py
4p 3
2

因为直线 n 与 C 只有一个公共点,所以 ? ?

? 8 p b ? 0 ,从而 b ? ?

p 6



p

所以直线 n 的方程为 y ?

3 3

x?

p 6

,原点 O 到直线 n 的距离 d 2 ?

6 1? ( 3 3 )
2



p

因此坐标原点到 m , n 距离的比值为

d1 d2

? 2 ? 3。 p 6

当直线 m 的斜率为 ?

3 3

时,由图形的对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值也为 3。

【点评】本小题主要考察解析几何知识。

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21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? e ? a x ? 2 。
x

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x ) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值。 【解析】 (1)函数 f ( x ) 的定义域为(-∞,+∞) ,且 f '( x ) ? e ? a 。
x

当 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在(-∞,+∞)上是增函数; 当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a 。
x

令 f '( x ) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x ) 在 (ln a , ? ? ) 上是增函数,
x

令 f '( x ) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x ) 在 ( ? ? , ln a ) 上是减函数,
x

(2)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ? e ? x ? 2 , f '( x ) ? e ? 1 。
x
x

所以 ( x ? k ) f '( x ) ? x ? 1 ? ( x ? k )( e ? 1) ? x ? 1 ,
x

故当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x ) ? x ? 1 ? 0 等价于
xe ? 1
x

k ?

e ?1
x

?

x ( e ? 1) ? x ? 1
x

e ?1
x

? x?

x ?1 e ?1
x



即当 x ? 0 时, k ?
x ?1 e ?1
x

x ?1 e ?1
x

? x(x ? 0 ) 。


e (e ? x ? 2 )
x x

令 g (x) ?

? x ,则 g '( x ) ?

? xe ? 1
x

( e ? 1)
x

2

?1?

( e ? 1)
x

2



由(1)知,函数 h ( x ) ? e ? x ? 2 在 (0, ? ? ) 单调递增,
x

而 h (1) ? e ? 3 ? 0 , h ( 2 ) ? e ? 4 ? 0 ,所以 h ( x ) 在 (0, ? ? ) 存在唯一的零点。
2

故 g '( x ) 在 (0, ? ? ) 存在唯一的零点。设此零点为 ? ,则 ? ? (1, 2 ) 。 当 x ? (0, ? ) 时, g '( x ) ? 0 ;当 x ? (? , ? ? ) 时, g '( x ) ? 0 。 所以 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 的最小值为 g (? ) 。 又由 g '(? ) ? 0 ,可得 e ? ? ? 2 ,所以 g (? ) ? 由于①式等价于 k ? g (? ) ? ? ? 1 ? ( 2, 3) , 故整数 k 的最大值为 2。 【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间,导数的综合应用。
?

? ?1
e ?1
?

? ? ? ? ? 1 ? ( 2 , 3) ,

2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(文科)

石嘴山市光明中学

潘学功

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ? ABC 边 A B , A C 的中点,直线 DE 交 ? ABC 的外接圆于 F , G 两点。若 CF ∥ A B ,证明: (1) CD ? BC ; (2) ? BCD ∽ ? GBD 。 【解析】 (1)因为 D , E 分别为 ? ABC 边 A B , A C 的中点, 所以 D E ∥ B C 。 又已知 CF ∥ A B ,所以四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD。 而 CF ∥ A D ,连结 AF, 所以 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF。 因为 CF ∥ A B ,所以 BC=AF,故 CD=BC。 (2)因为 F G ∥ B C ,故 GB=CF。 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD。 所以 ? D G B ? ? G D B 。 因为 F G ∥ B C ,所以 ? G D B ? ? D B C , 从而 ? D B C ? ? D G B , ① 由(1) CD ? BC ,所以 ? D B C ? ? B D C , 从而 ? B D C ? ? G D B ,② 由①,②得 ? BCD ∽ ? GBD 。
B C A

G

D

E

F

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

) 。

【解析】 (1)曲线 C 1 的参数方程 ?

? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?

化为直角坐标方程为

x

2

?

y

2

? 1,

4
2 2

9

曲线 C 2 的极坐标方程 ? ? 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 4 ,

2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(文科)

石嘴山市光明中学

潘学功

因为点 A 的极坐标为(2, 点 C 的极坐标为(2, 点 D 的极坐标为(2,
4? 3 1 1? 6

?
3

) ,所以点 B 的极坐标为(2,

5? 6

) ,

) , ) ,

因此点 A 的直角坐标为(1, 3 ) , 点 B 的直角坐标为( ? 3 ,1) , 点 C 的直角坐标为(-1,- 3 ) , 点 D 的直角坐标为( 3 ,-1) 。 (2)设 P( 2 c o s ? , 3 sin ? ) , 则 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD |
2 2 2 2

? ( 2 co s ? ? 1) ? (3 sin ? ?
2

3 ) ? ( 2 co s ? ?
2

3 ) ? (3 sin ? ? 1)
2 2

2

? ( 2 co s ? ? 1) ? (3 sin ? ?
2

3 ) ? ( 2 co s ? ?
2

3 ) ? (3 sin ? ? 1)

2

? ( 2 co s ? ? 1) ? (3 sin ? ?
2

3 ) ? ( 2 co s ? ?
2

3 ) ? (3 sin ? ? 1)
2
2

2

? ( 2 co s ? ? 1) ? (3 sin ? ?
2
2

3 ) ? ( 2 co s ? ?
2

3 ) ? (3 sin ? ? 1)

2

? 2 0 sin ? ? 3 2 ? [3 2 , 5 2 ] 。

因为 0 ? sin ? ? 1 ,因此 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围为[32,52]。 【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
2

2

2

2

2

已知函数 f ( x ) ? | x ? a | ? | x ? 2 | 。 (1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? | x ? 4 | 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。
?5 ? 2 x ( x ? 2) ? ( 2 ? x ? 3) 。 【解析】 (1)当 a ? ? 3 时, f ( x ) ? | x ? 3 | ? | x ? 2 | ? ?1 ? 2 x ? 5 ( x ? 3) ?

所以不等式 f ( x ) ? 3 可化为
?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 ,或 ? ,或 ? 。 ? ?5 ? 2 x ? 3 ?1 ? 3 ?2x ? 5 ? 3

解得 x ? 1 ,或 x ? 4 。 因此不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 { x | x ? 1 或 x ? 4} 。 (2)由已知 f ( x ) ? | x ? 4 | 即为 | x ? a | ? | x ? 2 |? | x ? 4 | , 也即 | x ? a |? | x ? 4 | ? | x ? 2 | 。

2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(文科)

石嘴山市光明中学

潘学功

若 f ( x ) ? | x ? 4 | 的解集包含[1,2],则 ? x ? [1, 2 ] , | x ? a |? | x ? 4 | ? | x ? 2 | , 也就是 ? x ? [1, 2 ] , | x ? a |? 2 ,
? x ? a ? ?2 ?x ? a ? 2 ?1 ? a ? ? 2 ?2 ? a ? 2

所以 ? x ? [1, 2 ] , ?

,从而 ?



解得 ? 3 ? a ? 0 。因此 a 的取值范围为 a ? [ ? 3, 0 ] 。 【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法,函数恒成立问题。


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