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经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)


《极坐标与参数方程》综合测试题
1.在极坐标系中,已知曲线 C:ρ=2cosθ,将曲线 C 上的点向左平移一个单位, 然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得到曲线 C1,又已知直线 l 过点 P(1,0) ,倾斜角为

? ,且直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点. 3

(1)求曲线 C1 的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (2)求 + .

2.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin(θ+ )=3

(φ 为参数) ,以 O 为极

,射线 OM:θ=

与圆 C 的交

点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

3.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P(x,y)是圆 C 上动点,试求 x+y 的最大值,并求 出此时点 P 的直角坐标.

4.若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点,Ox 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐 标系,得曲线 C 的极坐标方程是 ρ= .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 的参数方程为
AB
2

?3 ? (t 为参数) , P ? , 0 ? ,当直线 l 与曲线 C ?2 ?

相交于 A,B 两点,求

PA ? PB

.

5.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立

? x ? 3cos ? 极坐标系,曲线 C1 的参数方程为 ? ,曲线 C2 的极坐标方 (? 为参数) ? y ? 2sin ?
程为 .

(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上一点,Q 曲线 C2 上一点,求|PQ|的最小值及此时 P 点极 坐标.

6.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2=

,点 R(2



) .

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的 极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴, 求矩形 PQRS 周长的最小值.

7.已知平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,

以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 θ= (ρ∈R)与曲线 C1 交于 P,Q 两点,求|PQ|的长度.

8.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位 建立极坐标系, 己知直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ=2, 曲线 C 的极坐标 方程为 ρsin2θ=2pcosθ(p>0) . (1)设 t 为参数,若 x=﹣2+ t,求直线 l 的参数方程;

(2) 已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q,设 M(﹣2,﹣4) ,且|PQ|2=|MP|?|MQ|, 求实数 p 的值.

9 .在极坐标系中,射线 l : θ= ρ 2=

与圆 C : ρ=2 交于点 A ,椭圆 Γ 的方程为

,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy

(Ⅰ)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程; (Ⅱ)若 E 为椭圆 Γ 的下顶点,F 为椭圆 Γ 上任意一点,求 ? 的取值范围.

10.已知在直角坐标系中,曲线的 C 参数方程为

(φ 为参数) ,现

以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ= .

(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)在曲线 C 上是否存在一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小?若存在,求出距 离的最小值及点 P 的直角坐标;若不存在,请说明理由.

11.已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴 .

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ( I)求曲线 C2 的直角坐标系方程;

( II)设 M1 是曲线 C1 上的点,M2 是曲线 C2 上的点,求|M1M2|的最小值.

12.设点 A 为曲线 C:ρ=2cosθ 在极轴 Ox 上方的一点,且 0≤θ≤ 原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy, (1)求曲线 C 的参数方程;

,以极点为

(2)以 A 为直角顶点,AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB(B 在 A 的右下 方) ,求 B 点轨迹的极坐标方程.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: 曲线 C2:

(φ 为参数,实数 a>0) ,

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正 )与 C1 交于 O、 时,|OB|=2.

半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ A 两点,与 C2 交于 O、B 两点.当 α=0 时,|OA|=1;当 α= (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值.

14. 在平面直角坐标系中, 曲线 C1:

(a 为参数) 经过伸缩变换

后,曲线为 C2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建极坐标系. (Ⅰ)求 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C3 的极坐标方程为 ρsin( P,Q 两点,求|PQ|的值. ﹣θ)=1,且曲线 C3 与曲线 C2 相交于

15.已知半圆 C 的参数方程为

,a 为参数,a∈[﹣



].

(Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系,求半圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 T 是半圆 C 上一点,且 OT= 坐标. ,试写出 T 点的极

16.已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

《极坐标与参数方程》综合测试题答案
一.解答题(共 16 小题) 1.在极坐标系中,已知曲线 C:ρ=2cosθ,将曲线 C 上的点向左平移一个单位, 然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得到曲线 C1,又已知直线 l 过点 P (1,0) ,倾斜角为

? ,且直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点. 3


(1)求曲线 C1 的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (2)求 +

【解答】解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为:x2+y2﹣2x=0 即(x﹣1)2+y2=1. ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 ∴曲线 C 表示焦点坐标为(﹣ =1, ,0) , ( ,0) ,长轴长为 4 的椭圆 =1 中,得 13t 2 ? 4t ? 12 ? 0 .

(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2, ∴ + =
2 10 . 3

2.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin(θ+ )=3

(φ 为参数) ,以 O 为极

,射线 OM:θ=

与圆 C 的交

点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【解答】解: (I)利用 cos2φ+sin2φ=1,把圆 C 的参数方程 化为(x﹣1)2+y2=1, ∴ρ2﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ. (II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由 ,解得 . 为参数)

设 (ρ2, θ2) 为点 Q 的极坐标, 由 ∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2.

, 解得



3.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P(x,y)是圆 C 上动点,试求 x+y 的最大值,并求 出此时点 P 的直角坐标. 【解答】 (本小题满分 10 分)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)因为 ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6, 所以 x2+y2=4x+4y﹣6, 所以 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0, 即(x﹣2)2+(y﹣2)2=2 为圆 C 的普通方程.…(4 分) 所以所求的圆 C 的参数方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, 当 (10 分) (θ 为参数) .…(6 分) …(7 分)

时,即点 P 的直角坐标为(3,3)时,…(9 分)x+y 取到最大值为 6.…

4.若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点,Ox 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐 标系,得曲线 C 的极坐标方程是 ρ= .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 的参数方程为
AB
2

?3 ? (t 为参数) , P ? , 0 ? ,当直线 l 与曲线 C ?2 ?

相交于 A,B 两点,求

PA ? PB

.

【解答】解: (1)∵ρ=

,∴ρ2sin2θ=6ρcosθ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=6x.曲线为以( ,0)为焦点,开口向右的抛物 线.

(2)直线 l 的参数方程可化为 解得 t1=﹣2,t2=6. ∴|
AB 2 ? |=|t1﹣t2|=8. PA ? PB 3
2

,代入 y2=6x 得 t2﹣4t﹣12=0.

5.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立

? x ? 3cos ? 极坐标系,曲线 C1 的参数方程为 ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 (? 为参数) ? y ? 2sin ?
. (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上一点,Q 曲线 C2 上一点,求|PQ|的最小值及此时 P 点极 坐标. 【解答】 解: (1) 由 由 (2)设 P(2 点 P 消去参数 α, 得曲线 C1 的普通方程为 得,曲线 C2 的直角坐标方程为 cosα,2sinα) ,则 到 曲 线 C2 的 距 离 . 当 时,d 有最小值 ,所以|PQ|的最小值为 . 为 . .

6.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2=

,点 R(2



) .

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的 极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴, 求矩形 PQRS 周长的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 则:曲线 C 的方程为 ρ2= ,转化成 .

点 R 的极坐标转化成直角坐标为:R(2,2) . (Ⅱ)设 P( )

根据题意,得到 Q(2,sinθ) , 则:|PQ|= 所以:|PQ|+|QR|= 当 时, (|PQ|+|QR|)min=2, ,|QR|=2﹣sinθ, .

矩形的最小周长为 4.

7.已知平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,

以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 θ= (ρ∈R)与曲线 C1 交于 P,Q 两点,求|PQ|的长度. (φ 为参数) ,利用平方关 x+2y﹣5=0,可得极

【解答】解: (I)曲线 C1 的参数方程为 系消去 φ 可得: 坐标方程:

+(y+1)2=9,展开为:x2+y2﹣2 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0.

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,即 ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x. (II)把直线 θ= (ρ∈R)代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0,

整理可得:ρ2﹣2ρ﹣5=0,

∴ρ1+ρ2=2,ρ1?ρ2=﹣5, ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= = =2 .

8.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位 建立极坐标系,己知直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ=2,曲线 C 的极坐标方 程为 ρsin2θ=2pcosθ(p>0) . (1)设 t 为参数,若 x=﹣2+ t,求直线 l 的参数方程;

(2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q,设 M(﹣2,﹣4) ,且|PQ|2=|MP|?|MQ|, 求实数 p 的值. 【解答】解: (1)直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ=2,化为直角坐标方程:x ﹣y﹣2=0. ∵x=﹣2+ 参数) . (2)曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2pcosθ(p>0) ,即为 ρ2sin2θ=2pρcosθ(p> 0) ,可得直角坐标方程:y2=2px. 把直线 l 的参数方程代入可得:t2﹣(8+2p) ∴t1+t2=(8+2p) ,t1t2=8p+32. t+8p+32=0. t,∴y=x﹣2=﹣4+ t,∴直线 l 的参数方程为: (t 为

不妨设|MP|=t1,|MQ|=t2. |PQ|=|t1﹣t2|= ∵|PQ|2=|MP|?|MQ|, ∴8p2+32p=8p+32, 化为:p2+3p﹣4=0, 解得 p=1. = = .

9 .在极坐标系中,射线 l : θ= ρ2=

与圆 C : ρ=2 交于点 A ,椭圆 Γ 的方程为

,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy

(Ⅰ)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程; (Ⅱ)若 E 为椭圆 Γ 的下顶点,F 为椭圆 Γ 上任意一点,求 【解答】解: (Ⅰ)射线 l:θ= 标( ,1) ; , 直 角 坐标 方 程为 +y2=1 ,参 数 方程 为 与圆 C:ρ=2 交于点 A(2, ? 的取值范围.

) ,点 A 的直角坐

椭 圆 Γ 的 方程 为 ρ2= (θ 为参数) ; (Ⅱ)设 F( cosθ,sinθ) ,

∵E(0,﹣1) , ∴ ∴ ∴ =(﹣ ? ? ,﹣2) , =( cosθ﹣ ,sinθ﹣1) , sin(θ+α)+5, ].

=﹣3cosθ+3﹣2(sinθ﹣1)= 的取值范围是[5﹣ ,5+

10.已知在直角坐标系中,曲线的 C 参数方程为

(φ 为参数) ,现

以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ= .

(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)在曲线 C 上是否存在一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小?若存在,求出距 离的最小值及点 P 的直角坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解: (1)曲线的 C 参数方程为 (x﹣1)2+(y﹣1)2=4, 直线 l 的极坐标方程为 ρ= ,直角坐标方程为 x﹣y﹣4=0; (φ 为参数) ,普通方程为

(2)点 P 到直线 l 的距离 d= ∴φ﹣ =2kπ﹣ ,即 φ=2kπ﹣ ,1﹣ ) .

= (k∈Z) ,距离的最小值为 2

, ﹣2,点 P 的

直角坐标(1+

11.已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴 .

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ( I)求曲线 C2 的直角坐标系方程;

( II)设 M1 是曲线 C1 上的点,M2 是曲线 C2 上的点,求|M1M2|的最小值. 【解答】解: (I)由 (Ⅱ)曲线 C1 的参数方程为 可得 ρ=x﹣2,∴ρ2=(x﹣2)2,即 y2=4(x﹣1) ; (t 为参数) ,消去 t 得:2x+y+4=0.

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y+4=0. ∵M1 是曲线 C1 上的点,M2 是曲线 C2 上的点, ∴|M1M2|的最小值等于 M2 到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值. 设 M2(r2﹣1,2r) ,M2 到直线 2x+y+4=0 的距离为 d, 则 d= = . ≥ .

∴|M1M2|的最小值为

12.设点 A 为曲线 C:ρ=2cosθ 在极轴 Ox 上方的一点,且 0≤θ≤ 原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy, (1)求曲线 C 的参数方程;

,以极点为

(2)以 A 为直角顶点,AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB(B 在 A 的右下 方) ,求点 B 轨迹的极坐标方程.

? x ? 1 ? cos ? ? 【解答】 (1) ? θ 为参数) (0 ? ? ? , 2 ? y ? sin ?
(2) :设 A(ρ0,θ0) ,且满足 ρ0=2cosθ0,B(ρ,θ) , 依题意, 即

代入 ρ0=2cosθ0 并整理得,





所以点 B 的轨迹方程为





13.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: 曲线 C2:

(φ 为参数,实数 a>0) ,

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴 )与 C1 交于 O、A 两点, 时,|OB|=2.

为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ 与 C2 交于 O、B 两点.当 α=0 时,|OA|=1;当 α= (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)由曲线 C1:

(φ 为参数,实数 a>0) ,

化为普通方程为(x﹣a)2+y2=a2,展开为:x2+y2﹣2ax=0, 其极坐标方程为 ρ2=2aρcosθ,即 ρ=2acosθ,由题意可得当 θ=0 时,|OA|=ρ=1, ∴a= . 曲线 C2: (φ 为参数,实数 b>0) ,

化为普通方程为 x2+(y﹣b)2=b2,展开可得极坐标方程为 ρ=2bsinθ, 由题意可得当 时,|OB|=ρ=2,∴b=1.

(Ⅱ)由(I)可得 C1,C2 的方程分别为 ρ=cosθ,ρ=2sinθ. ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= ∵2θ+ 当 2θ+ ∈ = 时,θ= ,∴ 时取到最大值. +1 的最大值为 +1, +1,

14. 在平面直角坐标系中, 曲线 C1:

(a 为参数) 经过伸缩变换

后的曲线为 C2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C2 的极坐标方程;

(Ⅱ)设曲线 C3 的极坐标方程为 ρsin( P,Q 两点,求|PQ|的值. 【解答】解: (Ⅰ)C2 的参数方程为 ﹣1)2+y′2=1, ∴C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ;

﹣θ)=1,且曲线 C3 与曲线 C2 相交于

(α 为参数) ,普通方程为(x′

(Ⅱ)C2 是以(1,0)为圆心,2 为半径的圆,曲线 C3 的极坐标方程为 ρsin( ﹣θ)=1,直角坐标方程为 x﹣ ∴圆心到直线的距离 d= ∴|PQ|=2 = . y﹣2=0, = ,

15.已知半圆 C 的参数方程为

,a 为参数,a∈[﹣



].

(Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系,求半圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 T 是半圆 C 上一点,且 OT= 坐标. 【解答】 解: (Ⅰ) 由半圆 C 的参数方程为 则圆的普通方程为 x2+(y﹣1)2=1(0≤x≤1) , 由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2, 可得半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ∈[0, ]; , a 为参数, a∈[﹣ , ], ,试写出 T 点的极

(Ⅱ)由题意可得半圆 C 的直径为 2,设半圆的直径为 OA, 则 sin∠TAO= , ],则∠TAO= ,

由于∠TAO∈[0, 由于∠TAO=∠TOX, 所以∠TOX= ,

T 点的极坐标为(



) .

16. 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式 得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25 即为圆 C1 的普通方程, 即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0, 由 ,解得 或 , . ) , (2 , ) . (t 为参数) ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(


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