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浙江省杭州二中2013届高三第二次月考理科数学试卷


浙江省杭州二中 2013 届高三第二次月考

数 学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2x ? x2 ? 0}, 集合B ? { y | y ? e x ? 1} , A ? B ?( 则 A. {x |1 ? x ? 2} B. {x | x ? 2} C. {x | x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2} )

2.等差数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 ,其前 n 项和为 Sn ,则数列 { 为( A.70 ) B.75
2

Sn } 的前 10 项和 n

C.100

D.120

3.设 p : 4x ? 3 ? 1 , q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, 则实数 a 的取值范围是( A . ?0 , ? ? 2? D. (?? , 0) ? ( ) B . (0 ,

?

1?
1 , ? ?) 2

1 ) 2

C .

?? ? , 0? ? ? 1 , ? ? ? ? ?
?2 ?

4.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A.20 B.22 C.24 D.28

)

5. 已 知 两 点 A(1,0), B(1, 3), O 为 坐 标 原 点 , 点 C 在 第 三 象 限 , 且 ?AOC ?

5? ,设 6

??? ? ??? ? ??? ? OC ? ?2OA ? ?OB,

(? ? R), 则? 等于(
A.1 6.

) B.-1 ) C.2 D.-2

sin10? ? sin 50? 的值为( sin 35? ? sin 55?
A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

1

7.已知函数 f ( x) ? ln | x | ?2 sin x ,则函数在下列区间上不存在零点的是( ... A. ? ?4, ?3? B. ? ?1,0? C. ? 2,3? D. ?7,8?



8.△ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ?AB 的值为 ( ) A. ?

??? ??? ? ?

1 5

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

9.如果有穷数列 a1 , a2 ,...,an (n ? N * ) 满足条件: a1 ? an , a2 ? an?1 ,...,an ? a1 , 即

ai ? an?i ?1 , (i ? 1,2,...,n) 我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列
1,2,3,4,3,2,1都为 “对称数列” 已知数列 {bn } 是项数不超过 2m(m ? 1, m ? N ) 的 。 “对
*

称数列” ,并使得 1,2,2 ,...,2

2

m?1

依次为该数列中连续的前 m 项,则数列 {bn } 的前2009项和 ) ③ 3? 2
m ?1

S 2009 所有可能的取值的序号为(
①2
2009

?1

② 2(2 2009 ? 1) B. ②③

? 22m?2010 ? 1

④2

m ?1

? 2 2 m?2009 ? 1

A.①③

C.②④

D. ①④

1 ? ?x ? , x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2x2 ? x) ? a 的根的个数不可能为( x ? x3 ? 3, x ? 0 ?
A.3 B. 4 C. 5 D. 6



第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? ______. 12.已知单位向量 a, b ,满足 (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 1 ,则 a 与 b 夹角的余弦值为__________. 13.函数 f ( x) ?

? ?

?

?

? ?

?

?

x 的单调递减区间是_________. 【】 ln x

14.已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若 1 ? 为 .

tan A 2c a2 ? ,则 的最小值 tan B b bc

2

15 . 已 知 等 比 数 列 {an } (n ? N * ) , 首 项 为

2 , 公 比 为

3 , 则

a2n?1 a2 ? a 2 2 ? ? ? a 2 n

? __________________.

三、解答题(本大题共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18 . 命 题 p: 不 等 式 | x ? 1 | ? |x ? 3 ? a 对 一 切 实 数 x 都 成 立 ; 命 题 q: 已 知 函 数 |

f ( x) ? mx3 ? nx2 的图象在点 ? ?1, 2? 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行,且 f ( x)
在 a, a ? 1 上单调递减.若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围.

?

?

19.已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (? cos x,cos x), c ? (?1,0) . (1)若 x ?

?

?

?

?
6

,求向量 a 与 c 的夹角;

?

?

(2)若函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1,写出 f ( x ) 的单调递增区间,并求当 x ? ? 数 f ( x ) 的值域.

? ?

?? ? , ? 时函 ?2 ? ?

3

20.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 0 . ( 1 ) 若 P 是 ?ABC 所 在 平 面 上 一 点 , 且 | AP |? 2, ?CAP 为 锐 角 ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AP ? AC ? 2 AP ? AB ? 2 ,
求 | AB ? AC ? AP | 的最小值. (2)满足条件(1)的点 P 能否在 ?ABC 的边 BC 上?并说明理由.

??? ??? ??? ? ? ?

* 21.在数列 {an } 中, a1 ? 5 , an ?1 ? 3an ? 4n ? 2 ,其中 n ? N .

(1)设 bn ? an ? 2n ,求数列 {bn } 的通项公式;
2 n (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 Sn 与 n ? 2011 的大小.

22.曲线 C : f ( x) ? x ? ax ? b 关于坐标原点对称,且与 x 轴相切.
3

(1)求 a , b 的值; (2)若曲线 G : h( x) ? ? ? 范围; (3)是否存在实数 m, n ,使函数 g ( x) ? 3? | f ( x) | 的定义域与值域均为 ?m, n? ?并证 明你的结论.

f '( x) ? sin x 上存在相互垂直的两条切线,求实数 ? 的取值 x

4

选修 1、若 a ? 0, a ? 1 ,求证:

1 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n n ?1 ? (n ? N * ) 3 5 2 n ?1 a ? a ? a ??? a n
? x ? t ? 3, ? ( t 为参数) ,在极 ?y ? 3 t ?

选修 2、已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4?co s? ? 3 ? 0 . (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.

5

参考答案

19.解: (1)当 x ?

?

? 3 1 时,a ? ( , ) 6 2 2

3 1 ? ? ? (?1) ? ? 0 ? ? a?c 3 2 2 cos ? a, c ?? ? ? ? ?? 2 2 | a |?| c | ? 3 ? ? 1 ?2 2 2 ? ? ? ? ? ? (?1) ? 0 ? 2 ? ?2?
又两向量的夹角范围为 ,所以向量 与的夹角为 .

(2) f ( x) ? 2a ? b ?1 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x) ?1 ? 2sin x cos x ? (2cos2 x ?1)

? ?

? sin 2 x ? cos 2 x

? 2 sin(2 x ? ) 4

?

,







6

, 于是

的单调递增区间为

. 因为

, 所







21 . 解 : (1) 由

an ?1 ? 3an ? 4n ? 2 得 an ?1 ? 2(n ? 1) ? 3(an ? 2n) , 又
an ?1 ? 2(n ? 1) ? 3 ,所以,数列 {an ? 2n} 是首项为 3,公比为 an ? 2n

a1 ? 2 ? 1 ? 0 , an ? 2n ? 0 ,得
3 的等比数列,所以 bn ? 3n .

(2) an ? 2n ? 3n ? an ? 2n ? 3n , S n ?

3 n (3 ? 1) ? n(n ? 1) , 2 3 3 S n ? (n 2 ? 2011n) ? (3 n ? 1) ? 2010 n ? (3 n ? 1340 n ? 1) .设 cn ? 3n ? 1340 ? 1, n 2 2

由于 cn?1 ? cn ? 2 ? 3n ? 1340 当 n ? 6 时, cn?1 ? cn ;当 n ? 6 时, cn?1 ? cn 即当 n ? 6 时,数列 {cn } 是递减数列,当 n ? 6 时,数列 {cn } 是递增数列 又 c1 ? ?4018? 0 , c8 ? ?4160? 0 , c9 ? 7622 ? 0
2 2 n n 所以,当 n ? 8 时, Sn ? n ? 2011 ;所以,当 n ? 8 时, Sn ? n ? 2011 .

7

(3) g ( x) ? ?

?3 ? x3 , x ? 0 ? ,假设存在 m, n 符合题意: 3 ?3 ? x , x ? 0 ?

(A)当 n ? 0 时,可得 ?

? g (m) ? m , 即 m, n 是 方 程 g ( x ) ? x 的 两 个 相 异 负 根 , 得 ? g (n) ? n

x3 ? x ? 3 ? 0 ,


p( x) ? x3 ? x ? 3( x ? 0)
(-?,3 ) 3 3 3


3

p '( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 ? x ? ?

3 3
? ? ?







-

(-

p '( x) p(x)

+ ? 3-

3 ?

, 0)

,由于 p(0) ? 3 ? 0 ,故 p ( x) 至多在 ? ??, ?

3? ? 有一 3 ? ?

4 3 >0 9 个零点,此时 m, n 不存在

3 ? g ( m) ? n ? m ? n ? 3 ? m ? 0 时, g ( x) ? 3 ? x3 在区间 ?m, n? 上是减函数, ? ?? 3 (B) 当 因 故 , ? g ( n) ? m ? n ? m ? 3 ?

两式相减可得 m ? mn ? n ? 1 ? (m ? n) ? mn ? 1 ,由于
2 2 2

mn ?

(m ? n)2 (m ? n)2 2 ? ( m ? n) 2 ? ?1? m ? n ? 4 4 3

8

由0?m?n?m?

1 2 1 2 7 ,n ? ? m3 ? n ? ? ? ? 3 ,与条件 矛盾,此时 3 3 3 3 3 3 3

m, n 不存在
(C)当 m ? 0 ? n 时,因为 g ( x)max ? g (0) ? 3 ? n ? 3 , 若 g ( x)min ? g (3) ? ?24 ? m ? ?24 ,而 g (?24) ? 3 ? 243 ? g ( x)min ,矛盾 若 g ( x)min ? g (m) ? 3 ? m3 ? 3 ? m3 ? m(*) 因 g (3) ? ?24 ? g ( x)min ? m ? ?24 , , 根据情况(A)知 p(x) ?x 3 ?x ? 3 在 (??, ?24] 上递增,又 p(?24) ? 0 ,从而方程(*) 无满足 m ? ?24 的解,故不存在 综上所述,不存在实数 m, n ,使函数的定义域与值域均为 ?m, n?

1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2( k ?1) a ? a3 ? ? ? a 2 k ?1 (1 ? a)(1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ) 1 ? a 2 ? ? ? ?2 a ? a3 ? a5 ? ? ? a 2 k ?1 1 ? a2 ? ? ? a2k a(1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ) a
1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2( k ?1) a ? a3 ? ? ? a 2 k ?1 k k ?1?1 ? 2? ? 2? ? 3 5 2 k ?1 2 2k a ? a ? a ??? a 1? a ??? a k ?1 k ?1
故 n ? k ? 1 时,不等式成立 (3)由(1) (2)可知命题对 n ? N 时恒成立.
*

9


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