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北京市2014年高考考试说明及样题(数学理科)


北京市 2014 年高考考试说明及样题
Ⅰ.试卷结构

全卷包括两部分:一、选择题,二、非选择题.

全卷 20 题,分为选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不 要求写出计算过程或证明过程;解答题包括计算题、证明题、应用题等,要求写出文字说明、演算步骤或证明过程.三种题 型的题目

个数分别为 8、6、6;分值分别为 40、30、80.

试卷由容易题、中等难度题和难题组成,并以中等难度题为主,总体难度适当.

Ⅱ.考试内容及要求

一、考核目标与要求

数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法,考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力.

根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据教育部 2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学 课程标准(实验)》,以及《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求(试行)》,确定必修课程、选 修课程系列 2 和系列 4 中的 4-1,,4-4 的内容为;理工类高考数学科的考试内容.

关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下:

1.知识要求

对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,分别用 A,B,C,D 表示,且高一级的层次要求 包括低一级的层次要求.了解、理解、掌握是对知识的基本要求(详见考试范围与要求层次),灵活和综合运用不对应具体 的考试内容.

(1)了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关的问题中识别和直接应用.

(2)理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并能利用所列的知识解决简单问题.

(3)掌握(C):对所列的知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有关问题.

(4)灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决比较综合的问题.

2.能力要求

能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力.

(1)空间想像能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互 关系;能对图形进行分解、组合与变形.

(2)抽象概括能力:能在对具体的实例抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一 些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断.

(3)推理论证能力:会根据已知的事实和已获得的正确数学命题,来论证某一数学命题的正确性.

(4)运算求解能力:会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程、几何量等进行变形和运算;能分析条件,寻求与 设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计,并能近似计算.

(5)数据处理能力:会依据统计中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题.

(6)分析问题和解决问题的能力:能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问 题,包括解决在相关学科,生产、生活中简单的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述;能选择有效的方法和手段对新 颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究,创造性地解决问题.

3.个性品质要求

考生能以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而 不舍的精神.

4.考查要求

(1)对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,注重学科的内在联系和知识的综合.

(2)数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行,考 查时,从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧.

(3)对数学能力的考查, 以抽象概括能力和推理论证能力为核心,全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.突 出数学试题的能力立意,坚持素质教育导向.

(4)注重试题的基础性、综合性和层次性.合理调控综合程度,坚持多角度,多层次的考查.

二、考试范围与要求层次

1.集合与常用逻辑用语

要求层次 考试内容 A 集合的含义 集合的表示 集合 集合间的基本关系 集合的基本运算 “若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 四种命题的相互关系 常用逻辑用语 充要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 √ √ √ √ √ √ √ √ √ B C

2.函数概念与指数函数、对数函数、幂函数

要求层次 考试内容 A B C 函数的概念与表示 映射 函数 单调性与最大(小)值 奇偶性 指数函数 有理指数幂的含义 √ √ √ √ √

实数指数幂的意义 幂的运算 指数函数的概念、图像及其性质 对数的概念及其运算性质 换低公式 对数函数 对数函数的概念、图像及其性质

√ √ √ √ √ √ √ √

指数函数 幂函数的概念 幂函数

与对数函数

互为反函数(a>0,且 a≠1)

√ 幂函数 函数的零点 函数的模型及 二分法 其应用 函数模型的应用 √ √ 的图象及其性质 √

3.三角函数、三角恒等变换、解三角形

要求层次 考试内容 A B C 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切的定义 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 诱导公式 三角函数 同角三角函数的基本关系式 同期函数的定义、三角函数的周期性 函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象和性质 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 用三角函数解决一些简单的实际问题 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

两角和于差的正弦、余弦、正切公式 三角恒等变换 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的恒等变换 正弦定理、余弦定理 解三角形 解三角形 √ √ √

√ √

4.数列

要求层次 考试内容 A B C 数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 等比数列的概念 等差数列、等比数列 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 √ √ √ √ √

5.不等式

要求层次 考试内容 A B C 数列的概念 解一元二次不等式 用二元一次不等式组表示平面区域 简单的线性规划 简单的线性规划问题 基本不等式: 用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 √ √ √ √

6.推理与证明

考试内容

要求层次

A B C 合情推理 合情推理与演绎推 归纳和类比 理 演绎推理 综合法 直接证明与间接证 分析法 明 反证法 数学归纳法 数学归纳法 √ √ √ √ √ √ √

7.平面向量

要求层次 考试内容 A B C 平面向量 平面向量的相关概念 向量加法与减法 向量的线性运算 向量的数乘 两个向量共线 平面向量的基本定理 平面向量的基本定 理及坐标表示 平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积 数量积的坐标表示 平面向量的数量积 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的应用 用向量方法解决简单的问题 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

8.导数及其应用

要求层次 考试内容 A B C 导数概念及其几何 意义 导数的概念 导数的几何意义 √ √

√ 根据导数定义求函数) 导数的运算 导数的四则运算 简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b))的导数 导数公式表 利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次) 导数在研究函数中 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) 的应用 利用导数解决某些实际问题 定积分与微积分基 本定理 定积分的概念 微积分基本定理 √ √ √ √ √ √ √ 的导数 √

9.数系的扩充与复数的引入

要求层次 考试内容 A B C 复数的基本概念,复数相等的条件 复数的代数表示法及几何意义 复数的概念与运算 复数代数形式的四则运算 复数代数形式加减法的几何意义 √ √ √ √

10.立体几何初步

要求层次 考试内容 A B C 空间 柱、锥、台、球及其简单组合体 √

几何 三视图 体 斜二侧法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 空间直线、面的位置关系 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平 面内. 点、 直 线、 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 √ 平面 公共直线. 间的 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 位置 关系 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等 或互补. 线、面平行或垂直的判定 线、面平行或垂直的性质 √

√ √



公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

√ √

11.空间向量与立体几何

要求层次 考试内容 A B C 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量及其运算 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 √ √ √ √ √ √ √ √

直线的方向向量 平面的法向量 空间向量的应用 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角

√ √ √ √

12.平面解析几何初步

要求层次 考试内容 A B C 直线的倾斜角和斜率 过两点的直线斜率的计算公式 两条直线平行或垂直的判定 直线与方程 直线方程的点斜式、两点式及一般式 两条相交直线的交点坐标 两点间的距离公式、点到直线的距离公式 两条平行线间的距离 圆的标准方程与一般方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

13.圆锥曲线与方程

要求层次 考试内容 A B C 椭圆的定义及标准方程 圆锥曲线 椭圆的简单几何性质 抛物线的定义及标准方程 √ √ √

抛物线的简单几何性质 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 曲线与方程 曲线与方程的对应关系

√ √ √ √ √

14.算法初步

要求层次 考试内容 A B C 算法的含义 算法及其程序框图 程序框图的三种基本逻辑结构 基本算法语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 √ √ √

15.计数原理

要求层次 考试内容 A B C 加法原理、乘法 分类加法计数原理、分布乘法计数原理 原理 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 排列、组合的概念 排列与组合 排列数公式、组合数公式 用排列与组合解决一些简单的实际问题 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 √ √ √ √ √ √

16.统计

要求层次 考试内容 A B C 随 简单随机抽样 √

机 抽 分层抽样和系统抽样 样 用 频率分布表,直方图、折线图、茎叶图 样 样本数据的基本数字特征(如平均数、标准差) 本 估 计 总 体 变 量 的 线性回归方程 相 关 性 √ 用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特 √ 征 √ √ √

17.概率

要求层次 考试内容 A B C 随机事件的概率 事件与概率 随机事件的运算 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型 几何概型 古典概型 几何概型 取有限值的离散型随机变量及其分布列 概率 超几何分布 条件概率 √ √ √ √ √ √ √ √

事件的独立性 n 次独立重复试验与二项分布 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 正态分布

√ √ √ √

18.几何证明选讲

要求层次 考试内容 A B C 平行截割定理 相似三角形 直角三角形射影定理 圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 圆 相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 √ √ √ √ √ √ √

19.坐标系与参数方程

要求层次 考试内容 A B C 用极坐标表示点的位置 极坐标系 极坐标和直角坐标的互化 直线的参数方程 参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 √ √ √ √ √

高考理科数学参考样题
为让考生对高考试题获得一定的认识,我们从近几年高考数学(北京卷)中选择了部分试题编制成参考 样题。除部分试题之外,其他试题均有答案、说明、当年高考实测难度,参考样题与 2014 年高考试卷的结 构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系。 一、选择题:在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 【试题 1】(2003 年理工类第一题) 设集合 A ? {x | x2 ? 1 ? 0} , B ? {x | log2 x ? 0} ,则 A ? B 等于( ) A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1} D. {x | x ? ?1 或 x ? 1} 【答案】A 【说明】本题主要考查集合、交集的概念,一元二次不等式的解法,对数函数的性质. 本题难度为 0.98 【试题 2】(2006 年理工类第 1 题)在复平面内,复数
1? i 对应的点位于( i

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【说明】本题考查复数的概念及复数的几何意义. 本题难度为 0.80 【试题 3】(2006 年理工类第 3 题)在 1、2、3、4、5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数 字之和为奇数的共有 A. 36 个 B. 24 个 C. 18 个 D. 6 个 【答案】B 【说明】本题考查排列、组合的基础知识,考查推理能力.经分析可知要从 1,2,3,4,5 中取三个数,使 其和为奇数,只有取一个奇数两个偶数或本个奇数才符合要求 . 于是可得满足条件的三位数的个数共有 1 2 3 3 C3 C2 A3 ? A3 ? 24 . 本题难度为 0.75 【试题 4】(2004 年理工类第 3 题)设 m 、 n 是两条不同的直线,? 、 ? 、 ? 是三个不同平面.给出下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ②若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】A 【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系,并考查把符合语 言、文字语言、图形语言进行转换的能力,以及空间想象能力. 本题难度 0.90 【试题 5】(2013 年理工类第 7 题) 直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

【答案】C 【说明】本题考查抛物线的基本知识、圆锥曲线与直线的位置关系,以及定积分与微积分基本定理,同时 考查根据抛物线与直线方程绘制草图的能力.抛物线焦点为(0,1), l 与 C 的交点为(-2,1),(2,1),

所以 l 与 C 所围成的图形面积为 本题难度为 0.72

?

2

-2

(1 ?

2 x2 x2 x3 )dx ? 2? (1 ? )dx ? 2( x ? ) 0 4 4 12

2 x ?0

?

8 . 3

【试题 6】(2005 年理工类第 2 题) “ m ? ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互 垂直”的 A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【说明】本题考查充分必要条件的概念以及两直线垂直的条件. 当 m ? 时,两直线方程为 5x ? 3 y ? 2 ? 0 , ?3x ? 5 y ? 6 ? 0 ,由于它们相互垂直,所以 m ? 是两直线垂直的充 分条件. 当 m ? ?2 时,两直线方程为 y ? , x ? ? ,由于它们相互垂直,所以 m ? 不是两直线垂直的必要条件. 本题难度为 0.63 【试题 7】(2011 年理工类第 6 题) 根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为
1 6 3 4 1 2 1 2 1 2

1 2

? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?

c x c A

, x ? A,
( A, c 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,

,x ? A

那么 c 和 A 的值分别是 (A)75,25 (B)75,16

(C)60,25

(D)60,16

【答案】D 【说明】本题主要考查对分段函数的理解,考查应用意识及分析问题和解决问题的能力. c ? 30 ? 开始 ? 2 ? 由已知条件可知 4<A,将 4 与 A 分别代入函数式,得 ? , 解得 c=60,A=16.故 ?15 ? c ? A i ? 0, s ? 2 ? 选 D. 本题难度为 0.93 【试题 8】(2011 年理工类第 4 题) 执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A) ?3 1 (B) ? 2 1 (C) 3 (D) 2 【答案】D 【说明】本题考查对算法的理解,能懂程序框图、能操作并能正确的运算. 结束

s?

s ?1 s ?1

i?4
否 输出 s



i ? i ?1

由框图依次算出 S ? , ? , ?3,2 ,此时 i ? 4 ,输出 2.故选 D. 本题难度为 0.89 【试题 9】(2012 年理工类第 7 题) 某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(

1 3

1 2



A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

【答案】B 【说明】本题主要考查三视图及阅读能力,在从三视图还原直观图的过程中考查考生空间想象能力、逻辑 推理和计算能力. 根据题目条件,三棱锥 P-ABC 的直观图如右图所示,其中△PCA 和 Rt△ACB 的面积都是 在 Rt△PP’A,Rt△PP’C 中分别求得 PA= 22 ? 42 ? 2 5 , PC ? 3 ? 4 ? 5 ? AC .
2 2

(2 ? 3) ? 4 ? 10 . 2

因此 Rt△PCB 的面积为

5? 4 ? 10 ,等腰△ACP 中底边 PA 上的 2

高 CM=

2S△PCA 20 ? ?2 5. PA 2 5
(2 5) 2 ? 4 2 ? 6 .

在 Rt△BCM 中, BM ?

由于 Rt△ACB 与 Rt△PCB 全等,故 AB=PB,于是等腰△PBA 面积为 故三棱锥表面积为 30+60 5 .故选 B. 本题难度为 0.65 【试题 10】(2006 年理工类第 5 题)已知 f ( x) ? ? 围是 A. (0,1) B. (0, ) C. [ , )
1 3 1 1 7 3

PA· BM ?6 5. 2

?(3a ? 1) x ? 4 a ( x ? 1) 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范 ( x …1) ? log a x

D. [ ,1)

1 7

【答案】C 【说明】本题以分段定义函数为载体,考查函数的单调性的概念以及一次函数和对数函数的性质. 函数 f ( x) 在 (??,1) 内为减函数的条件是 3a ?1 ? 0 .函数 f ( x) 在 [1, ??) 内为减函数的条件是 0 ? a ? 1 .要使 f ( x) 是
(??, ??) 上的减函数,还应有 (3a ? 1) ?1 ? 4a …log a 1 .由上解得

1 1 ? a? . 7 3

本题难度为 0.49 【试题 11】(由 2008 年理工类第 7 题改编)过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 的两条切线 l1 、 l2 , 当直线 l1 、 l2 关于 y ? x 对称时,它们之所成的锐角的大小为 A. 30? B. 45? C. 60? D. 75? y l1 【答案】C 【说明】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识,考查空间想象能力和分析问题、 解决问题的能力.设 l1 、 l2 交点为 P ,圆心为 Q ,切点分别为 A 、 B ,则 PQ ? 直线 l , O | 5 ? 1| 其中 l : y ? x ,如图所示 . 点 Q(5,1) 到 l 的距离 | PQ |? ? 2 2 ,半径 | QA |? 2 ,在
2
Rt?APQ 中 sin ?APQ ?
| QA | 1 ? ,故 ?APQ ? 30? , ?APB ? 2?APQ ? 60? . | PQ | 2

l2

l

P
B

A
Q

x

【试题 12】(2006 年理工类第 8 题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高 峰时段,单位时间进出路口 A 、 B 、 C 的机动车辆数如图所示,图中 x1 、 x2 、 x3 分
? 、 CA ? 的机动车辆数(假设:单位时间内, 别表示该时段单位时间通过路段 ? AB 、 BC

50 55

A
x1
20 30

在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 A. x1 ? x2 ? x3 B. x1 ? x3 ? x2 C. x2 ? x3 ? x1 D. x3 ? x2 ? x1

x3

B

x2

C

【答案】C 【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题,主要考查方程的思想和不等式的性质,对阅读理解 能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.
? x1 ? 20 ? 30 ? x2 依题意,可有 ? ? x2 ? 35 ? 30 ? x3 ,于是可得 x2 ? x3 ? x1 . ? x ? 55 ? 50 ? x 1 ? 3

30 35

本题难度为 0.67 【试题 13】(2009 年文史类第 8 题)设 D 是正 ?PP 1 2P 3 及其内部的点构成的集合,点 P 0 是 ?PP 1 2P 3 的中心,若集 合 S ? {P | P ? D,| PP0 |? | PPi |, i ? 1,2,3} ,则集合 S 表示的平面区域是 P1 A.三角形区域 B.四边形区域 N M C.五边形区域 D.六边形区域 P 【答案】D P2 P3 【说明】本题主要考查数形结合的思想方法,考查综合应用所学知识选择有效的方 法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究,创造性地解决问题的能力. 如图,作线段 P0 P 1 的中垂线 MN ,则在直线 MN 的下方(包括线上)的点满足 | PP 0 |? | PP 1 | .同样,作 P 0P 2 、P 0P 3 的 中垂线,得到集合 S 表示的平面区域是如图的六边形区域. 本题难度为 0.32

二、填空题:把答案填在题中横线上. 【试题 14】(2004 年理工类第 9 题)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3sin x cos x 的最小正周期是 【答案】 ? 【说明】本题主要考查三角函数的和角公式、二倍角公式以及三角函数周期的概念. 由于 f ( x) ? cos2x ? 2 3sin x cos x ? 2cos(2x ? ) ,所以最小正周期是 ? .
3

?

本题难度为 0.94

【试题 15】(2012 年理工类第 13 题) 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________, DE ? DC 的最大值为______. 【答案】1,1 【说明】本题主要考查平面向量的概念和运算.记 DE 与 DA 的夹角为θ .则

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? DE· CB =|DE| ?1? cos ? ?| DA |? 1 , DE· DC =|DE| ?1? cos( ? ? ) ?| DE | ? sin ? ?| AE |? 1 , 2 ???? ???? ? 当 ? ? ,即 E 与 B 重合时, DE· DC 达到最大值 1. 4 ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 本题也可以运用向量的几何意义来考虑,由于 DE · CB 为向量 DE 在单位向量 CB 方向上的投影, DE· DC

CB =1, DE· DC 的最大值为 1. 为向量 DE 在单位向量 DC 方向上的投影.因此, DE ·

??? ?

????

???? ??? ?

???? ????

本题难度为 0.75 【试题 16】(2004 年理工类第 14 题)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都 为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为 ,这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为
? 5 ? 2n 【答案】3, Sn ? ? ? ?5 n ? 1 ? 2 ?2 n 为偶数时 n 为奇数时

【说明】本题主要考查数列的基本概念,考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、 情境和设问进行独立的思考与探究,创造性地解决问题的能力. 只要能够理解“等和数列”的概念,即可依题意得出已知的等和数列为 2,3,2,3,2,3,?,于是可得 答案. y 本题难度为 0.72
?x ? y ? 4 【试题 17】(2006 年理工类第 13 题)已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? ,点 O 为 ? y …x ? x …1 ?

4

A B

O

C
1

4

x

坐标原点,那么 | PO | 的最小值等于

,最大值等于

.

【答案】 2 10 【说明】 本题主要考查线性规划等基础知识.依题意, 作出满足约束条件的平面区域, 为如图所示的 ?ABC 及 其内部, A(1,3) 、 B(2,2) 、 C (1,1) ,分别求 | OA | 、 | OB | 、 | OC | ,并比较大小可得结论. 本题难度为 0.78

【试题 18】(2008 年理工类第 14 题)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:
k ?1 k ?2 ? x ? xk ?1 ? 1 ? 5[T ( ) ?T( )] ? ? k 5 5 第 k 棵树种植在点 Pk ( xk , yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k …2 时, ? , T (a) 表示非 ? y ? y ? T ( k ? 1) ? T ( k ? 2 ) k k ?1 ? 5 5 ?

负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应 为 ;第 2008 棵树种植点的坐标应为 【答案】 (1,2) , (3,402) 【说明】本题命题意图是渗透新课标理念,主要考查试验观察、自主探究、实践应用和 阅读自学能力,考查由特殊到一般,归纳,类比等逻辑思维方法.

3

y

2

1

O 12 34 5

x

k ?1 k ?2 ? x ? xk ?1 ? 1 ? 5[T ( ) ?T( )] ? ? k 5 5 由? (k …2) ,且 x1 ? 1 ,得 x2 ? 2 , x3 ? 3 , x4 ? 4 , x5 ? 5 , x6 ? 1 . ? y ? y ? T ( k ? 1) ? T ( k ? 2 ) k k ?1 ? 5 5 ?

又因为 y1 ? 1 ,得 y2 ? 1 , y3 ? 1 , y4 ? 1 , y5 ? 1 , y6 ? 2 . 因此第 6 棵树种植点的坐标为 (1,2) . 根据前 6 棵树种植点的坐标及递推关系, 如图, 可推测每行 5 个种植点, 且第 i 行的纵坐标都是 i(i ? 1,2,3,?) . 由于 2008 ? 5 ? 401 ? 3 ,因此第 2008 棵树种植在第 402 行的第 3 个位置,所以第 2008 棵树种植点的坐标应为 (3,402) . 本题难度为 0.41 【试题 19】(2010 年理工类第 14 题)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。

设顶点 p (x, y) 的轨迹方程是 y ? f ( x) , 则 f ( x) 的最小正周期为

; 。

y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为

说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶 点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时针旋转,如此继续。类似地,正 方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动. 【答案】4, ? ? 1 【说明】本题主要考查了函数的周期、图象、零点和点的轨迹以及图形的面积等内容,考查学生的阅读能 力、观察分析能力、图形直观能力等数学素质和学习潜能,考查学生对周期的本质理解的水平等. 由题意可以画出函数 f ( x) 在一个周期内的图象,由图象可知, f ( x) 的最小正周期为 4.

y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的面积是 S ?

?
2

?

?
4

2 ? ( 2) +1=? +1 .

本题难度为 0.23 【试题 20】(2010 年理工类第 12 题) 如图,? O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC =2, AD=3,则 DE= ;CE= .

【答案】5, 2 7 【说明】本题主要考查选修部分 4-1 的基础内容.即注意考查圆内接四 边形的相关知识、圆与直线的基础知识、基本定理,考查运用数形结 合的思想方法分析问题、解决问题的能力. 由割线定理得 AB·AC=AD·AE,所以 AE=8,因此 DE=5.因为 BD⊥AE,又 C,B,D,E 在 ? O 上,所以∠BCE=90°.在 Rt△ACE 中,得 AC=6,AE=8. 故 CE=

E O

D

A

B C

AE 2 ? AC 2 ? 2 7 .

本题难度为 0.86 【试题 21】(2013 年理工类第 9 题) 在极坐标系中,点(2,

? )到直线 ρsinθ=2 的距离等于 6

.

【答案】1 【说明】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,以及直角坐标系中点到直线的距离.直线 ? sin? =2 的直角坐 标形式为 y ? 2 .点 (2,

?
2

( 3,1) .所以点到直线的距离为其纵坐标之差,等于 1. ) 的直角坐标为

本题难度为 0.87 三、解答题:解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 【试题 22】(2009 年理工类第 15 题) 【答案】(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , cos A ? , 3 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? ? A? ? cos A ? sin A ? . 2 10 ? 3 ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

3 3? 4 3 ,sin C ? , 5 10

w.w.w.k.s. 5.u.c.o.m

?
3

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得∴ a ?

b sin A 6 ? . sin B 5

∴△ABC 的面积 S ?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? . 2 2 5 10 50

【说明】本题主要考查利用三角知识解三角形和基本的运算能力.考查了三角函数中的同角三角函数的平 方关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、正弦定理及三角形的面积公式. 本题难度为 0.83 【试题 23】(2010 年理工类第 16 题) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE;

E
F

(Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小.

C
【答案】证明:(I) 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF//AG,且 EF=1,AG=

B A

1 AC=1. 2

D

所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG, 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF//平面 BDE. (II)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直,且 CE ? AC, 所以 CE ? 平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C(0,0,0),A( 2 , 2 ,0),B(0, 2 ,0). 所以 CF ? (

??? ?

??? ? ???? 2 2 , ,1) , BE ? (0, ? 2,1) , DE ? (? 2, 0,1) . 2 2

BE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 , CF ?DE ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 所以 CF ?
所以 CF ? BE , CF ? DE . (III) 由(II)知, CF ? ( 所以 CF ? BDE.

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ?

2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2

设平面 ABE 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n?BA ? 0 , n?BE ? 0 . 即?

??? ?

??? ?

? ( x, y, z )?( 2,0,0)?0 ? ( x, y, z )?(0,? 2,1)?0

所以 x ? 0, 且 z ?

2 y,

令 y ? 1, 则 z ? 2 .所以 n ? (0,1, 2) .

??? ? ??? ? n? CF 3 ??? ? ? 从而 cos? n, CF ? ? 。 因为二面角 A ? BE ? D 为锐角, | n || CF | 2
所以二面角 A ? BE ? D 的大小为

? . 6

【说明】本题主要考查立体几何的主干知识,平行、垂直、角与距离.考试空间想象能力、思维能力与运算 能力,考查利用空间向量求二面角大小的方法. 本题难度为 0.83 【试题 24】(2012 年理工类第 17 题) 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随 机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 “可回收物” 箱 100 240 “其他垃圾” 箱 100 30 60

20 20 (Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率;

(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a >0, a ? b ? c =600。当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明),并求此时 s 2 的 值。 (注: s 2 ?

【答案】解:(?)厨余垃圾投放正确的概率为?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数) n

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = ? 厨余垃圾总量 400+100+100 3
(??)设生活垃圾投放错误为事件?,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里科回收物量与“其他垃圾”箱里其他 垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P ( A) 约为 所以 P( A) 约为 1-0.7=0?3 .? (???)当 a ? 600, b ? c ? 0 时, s 取得最大值.?
2

400 ? 240 ? 60 ? 0.7 , 1000

因为 x ?

1 1 (a ? b ? c) ? 200 ,所以 s 2 ? [(600 ? 200)2 ? (0 ? 200)2 ? (0 ? 200) 2 ] =80000.? 3 3

【说明】本题考查的是概率统计的相关知识,要求考生能正确理解分类的含义,会判断总体,能理解方差 刻画的是数据的离散程度,反映的是数据分布的一种规律,如果方差越大,就表明分布越离散,如果方差 越小,就说明数据分布越集中. 本题难度为 0.66 【试题 25】(2010 年理工类第 17 题) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成 绩的概率为

4 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀 5

成绩相互独立。记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 b 3

p

6 125

a

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ. 【答案】解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”, i =1,2,3,由题意知 P( A1 ) ?

4 , P( A2 ) ? p , 5

P( A3 ) ? q .

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该生至少有 1 门课程

6 119 , ? 125 125 1 6 (II)由题意知 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 6 , p ? q ?1 P(? ? 3 )? P (A ? pq ? , 整理得 pq ? 1 A 2 A 3 ) 5 125 125 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . 5 5
取得优秀成绩的概率是 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (III)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 )

4 1 1 37 (1 ? p)(1 ? q) ? p(1 ? q) ? (1 ? p)q ? 5 5 5 125 58 b? P (? ? 2 ) ? 1 ?P ?( ? 0 )? P? ( ? 1 ) ? P? ( = ? 3) 125 9 = E? ? 0 ? P(? ? 0 ) ? 1? P ?( ? 1 )? P2? ( ? 2 ? )P ? 3 ( ? . 3) 5
= 【说明】本题主要考查对立事件的概率计算方法、离散型随机变量的分布列的意义,并与多个独立事件的 概率联系、数学期望计算. 本题逆向设问,一般情况下给出多个独立事件的概率,来求一个离散型随机变量的分布列.本题相反,已知 离散型随机变量的分布列,理解这个分布列中各个概率的含义,然后与基本独立事件之间建立联系. 本题难度为 0.79 【试题 26】(2013 年理工类第 18 题) 设 L 为曲线 C: y ? (I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 【答案】解: (I)设 f ( x) ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? .所以 f ?(1) ? 1 .所以 L 的方程为 y ? x ? 1 . x x2

(II)令 g ( x) ? x ? 1 ? f ( x) ,则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g ( x) ? 0 (?x ? 0, x ? 1) .

g ( x) 满足 g (1) ? 0 ,且 g ?( x) ? 1 ? f ?( x) ?
2

x 2 ? 1 ? ln x . x2

当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递增.
2

所以, g ( x) ? g (1) ? 0 ( x ? 0, x ? 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 【说明】本题主要考查了对数函数与分式函数的导数,,考查了导数的几何意义和求函数最值的方法.本题 题干简洁,设问大气、明了,能够充分考查学生分析问题、解析问题的能力,考查转化与化归的思想方法. 本题难度为 0.52

【试题 27】(2010 年理工类第 19 题) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相 等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

1 . 3

【答案】(I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 由题意得 化简得

y ?1 y ? 1 1 ? ?? x ? 1 x ?1 3
2 2

x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1)

(II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1
S? P M N? | x ? y0 | ( ? 3 x0 2 ) 1 | y M ? y N | (? 3 0x ? ) 0 2 |x0 2 ? 1 |

于是 ? PMN 得面积

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 ,点 P 到直线 AB 的距离 d ?

| x0 ? y0 | 2

.

于是 ? PAB 的面积

S? PAB ?

1 | AB |?d ?| x0 ? y0 | 2
| x0 ? y0 | (3 ? x0 ) 2 | x0 2 ? 1|
2

当 S? PAB ? S? PMN 时,得 | x0 ? y0 |?
2

又 | x0 ? y0 |? 0 ,所以 (3 ? x0 ) = | x0 ? 1| ,解得 | x0 ? 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?
2 2

5 。 3

33 9

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

解法二:若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )



1 1 | PA |? | PB | sin ?APB ? | PM |? | PN | sin ?MPN . 2 2
所以

因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,

| x ? 1| | 3 ? x0 | | PA | | PN | , 所以 0 ? ? | 3 ? x0 | | x ? 1| | PM | | PB |

即 (3 ? x0 ) ?| x0 ? 1| ,解得 x0 ?
2 2

5 3
33 9

因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?
2 2

故存在点 P S 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

【说明】本题主要考查解析几何的基本思想方法,考查曲线与方程以及直线与椭圆的位置关系,考查直线 的斜率、三角形的面积等内容.考查学生分析及解决问题的能力,突出考查了“数”与“形”的转化能力, 考查学生的推理论证能力和抽象概括能力,考查数形结合、方程等思想方法. 本题难度为 0.30 【试题 28】(2013 年理工类第 20 题) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 an ?1 , an ? 2 ,…的最小值记为 Bn,dn=An-Bn


(I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*, an ? 4 ? an ),写出 d1, d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1. 【答案】(I) d1 ? d 2 ? 1, d3 ? d 4 ? 3. (II)(充分性)因为 ? an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an ?1 , d n ? an ? an ?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 d n ? ?d ? 0 (n ? 1, 2,3,?) ,所以 An ? Bn ? d n ? Bn . 又因为 an ? An , an ?1 ? Bn ,所以 an ? an ?1 . 于是 An ? an , Bn ? an ?1 .

因此 an ?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ? an ? 是公差为 d 的等差数列. (III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1 ,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1 . 假设 ?an ? ( n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,.

又因为 a1 ? 2 ,所以 Am ?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? d m ? 2 ? 1 ? 1 , Bm ?1 ? min ?am , Bm ? ? 2 . 故 d m?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 d m ?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1,有 an ? 2 ,即非负整数列 ? an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1, an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? d n ? 2 ? 1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ? an ? 有无穷多项为. 【说明】本题主要依托数列的形式考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、推理论证能力,以及面对新 的情境创造性解决问题的能力. 本题难度为 0.22


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