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映射,函数定义域,值域 解题办法归纳


一种特殊的对应:映射
开平方 求正弦

9 4 1 (1)

3 ?3 2 ?2 1 ?1

30? 45? 60? 90?

1 2 2 2 3 2 1

1 ?1 2 ?2 3 ?3

求平方

乘以 2

1 4 9

1 2 3

1 2 3 4 5 6

(2)

(3)

(4)

1.对于集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有一个(或几个)元素与此相对应。

2.对应的形式:一对多(如①) 、多对一(如③) 、一对一(如②、④)

3.映射的概念(定义) :强调:两个“一”即“任一”“唯一” 、 。

4.注意映射是有方向性的。

5.符号:f : A

B 集合 A 到集合 B 的映射。

6.讲解:象与原象定义。

再举例:1?A={1,2,3,4}

B={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘 2 加 1

是映射 是映射

2?A=N+ B={0,1} 法则:B 中的元素 x 除以 2 得的余数 3?A=Z B=N* 法则:求绝对值 B={0,1,4,9,64}

不是映射(A 中没有象) b=(a?1)2 是映射

4?A={0,1,2,4}

法则:f :a

1

一一映射

观察上面的例图(2) 得出两个特点:

1?对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象

(单射)

2?集合 B 中的每一个元素都是集合 A 中的每一个元素的象 即集合 B 中的每一个元素都有原象。

(满射)

2

从映射的观点定义函数(近代定义) : 1?函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个映射 f:A 2?A:定义域,原象的集合 B:值域,象的集合(C)其中 C ? B f:对应法则 x?A y?B B 这里 A, B 非空。

3?函数符号:y=f(x) —— y 是 x 的函数,简记 f(x)

函数的三要素:

对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。

例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么? 1. y1 ?
( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

解:不是同一函数,定义域不同 解:不是同一函数,定义域不同 解:不是同一函数,值域不同 解:是同一函数 解:不是同一函数,定义域、值域都不同

2。 y1 ? x ? 1 x ? 1 3。
f ( x) ? x

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

g ( x) ? x 2 F ( x) ? 3 x 3
f 2 ( x) ? 2x ? 5

4. f ( x) ? x

5. f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2

3

关于复合函数 设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)](或 g[f(x)])为复合函数。

f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1 g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11 例:已知:f(x)=x2?x+3
1 1 1 解:f( )=( )2? +3 x x x 1 求:f( ) x
f(x+1)

f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3

4

1.

函数定义域的求法 ? ??分式中的分母不为零; ? ??偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ? ??指数式的底数大于零且不等于一; ? ??对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ?

??正切函数 ?

y ? tan x...( x ? R, 且x ? k? ?

?
2

, k ? ?)

??余切函数 y ? cot x ?

? x ? R, 且x ? k? , k ? ? ?

??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

[?
函数 y=arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是

? ?

, ] 2 2 ,

函数 y=arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π ] ,

(?
函数 y=arctgx 的定义域是 R ,值域是

? ?

, ) 2 2 ,

函数 y=arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π ) . 注意,

1. 复合函数的定义域。

? x ? 1 ? (1,3) ? 2 ? x ? (1,3) 如:已知函数 f ( x) 的定义域为(1,3),则函数 F ( x) ? f ( x ? 1) ? f (2 ? x) 的定义域。 ?

5

2. 函数 f ( x) 的定义域为 ( a, b) ,函数 g ( x) 的定义域为 (m, n) ,

? g ( x ) ? ( a, b) ? x ? (m, n) ,解不等式,最后结果才是 则函数 f [ g ( x)] 的定义域为 ?

3.这里最容易犯错的地方在这里: 已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为(1,3),求函数 f ( x) 的定义域;或者说,已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为(3,4), 则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为______?

6

2. 函数值域的求法 函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. (1)、直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

y?
例 求函数

1 , x ? [1, 2] x 的值域

(2)、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? R 的值域。
2

(3)、根判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x 2 x ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y ? 法二:用换元法,把分母替换掉 例:y ?
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

7

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

y?
例 求函数

3x ? 4 5 x ? 6 值域。

y?

3x ? 4 6y ? 4 3 ? 5 xy ? 6 y ? 3x ? 4 ? x ? y? 5x ? 6 3 ? 5 y ,分母不等于 0,即 5

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。 我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。

y?
例 求函数

ex ? 1 2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 y? y? x 1 ? sin ? , 1 ? cos ? 的值域。 e ?1 ,

ex ? 1 1? y y? x ? ex ? ?0 1? y e ?1 2sin ? ? 1 1? y y? ?| sin ? |?| |? 1, 1 ? sin ? 2? y 2sin ? ? 1 y? ? 2sin ? ? 1 ? y (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 2sin ? ? y cos ? ? 1 ? y 4 ? y 2 sin(? ? x) ? 1 ? y, 即sin(? ? x) ? 又由 sin(? ? x) ? 1知 1? y 4 ? y2 ?1 1? y 4 ? y2

解不等式,求出y,就是要求的答案

8

10.倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况

y?
例 求函数

x?2 x ? 3 的值域

x?2 x?3 x ? 2 ? 0时, 1 x ? 2 ?1 ? ? x?2? y x?2 y? x ? 2 ? 0时,y =0 ?0 ? y ? 1 2

1 x?2

?2?0? y?

1 2

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

9


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