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高中数学 不等式 专题练习及答案精析版含答案(67页)


高中数学 不等式 专题练习及答案精析版含答案( 67 页)

?x ? y ? 4 y ? 1.已知点 P ( x, y )满足? y ? x ,则 的最大值为( x ?1 ?x ? 1 ?
A. 2 B.

)

2 3

C.

3 2

D. 4

( )

2.若 a, b, c ? R ? ,且 2a ? b ? c ? 4 ,则 t ? a(a ? b ? c) ? bc 的 A.最大值是4 B.最大值是2 C.最小值是-4 D.最大值是-2

? x ? 0, ? 3.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, y?x ?
A.0 B.2 C.4 D.6 4.如果 a ? b ,那么下列不等式一定成立的是( A. a ? c ? b ? c B. c ? a ? c ? b ) D. a ? b
2 2

x? y ? 4

x ?1

C. ? 2a ? ?2b

5.[2014·长沙质检]若 0<x<1,则当 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为( A.

)

1 3 1 1 ? a b

B.

1 2
B.

C.

3 4

D.

2 3
( C. |a |>|b | D.a2 <b2 )

6.若 a<b<0,则下列不等式中成立的是 A.

1 1 ? a ?b a

7.若 x ? 0, y ? 0, 且 2 x ? y =2,则

1 1 ? 的最小值是( x y
D.



A.2

B.

3 2

C.

2

3 ? 2 2


8. 7.不等式 3 ? 2x ? 5的解集是 ( A. x x ? ?1

?

?

B.

? x ?1 ? x ? 4?
B. M<P<N D. P<N<M

C.

?x x ? ?1或x ? 4?

D. x x ? 4

?

?
)

9.已知 a>b>0,且 ab=1,设 c= A. P<M<N C. N<P<M

2 ,P=logc a,N=logc b,M=logc ab,则有( a?b

10.不等式 log2 ( x 2 ? 1) ? 1的解集是( A. (? 3,

) B. (1,

3) 3)

3)

C. (? 3, 0) ? (0,

D. (? 3, ?1) ? (1,

3)

11.函数 y ? 2 ? 3 x ?

4 ( x ? 0) 的最值情况是( x
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A.有最小值 2 ? 4 3 C.有最小值 2 ? 4 3

B.有最大值 2 ? 4 3 D.有最大值 2 ? 4 3 )

12.若不等式 | x ? 1|? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围是( A. 3, ?? ?

?

B. ? ??,3

?

C. 1, ?? ?

?

D. ? ??,1

?
1 1 ? 的最小值是( a b


13.设 a ? 0, b ? 0 ,若 lg a 和 lg b 的等差中项是 0 ,则 A.1 B .2 C. 4 D. 2 2

14.若 a、b、c ? R, A、

a ? b ,则下列不等式成立的是

1 1 B、 a 2 ? b 2 ? a b a b ? 2 C、 2 D、 a | c |? b | c | c ?1 c ?1 3x ?x ? 0? 的值域是( 15.函数 y ? 2 ) x ? x ?1
A. ?? 1,0? B. ?? 3,0? C. ?? 3,?1? D. ?? ?,0?

1 的最小值为( ) ab 1 1 A. B. 4 C. D. 2 4 2 a 17.已知 a,b∈R,下列四个条件中,使 >1 成立的必要不充分条件是( b
16.已知 a ? 0, b ? 0 , 且 2a ? b ? 4 , 则 A.a>b-1 C.|a|>|b| B.a>b+1 D.lna>lnb

)

1 1 b a ? ?0 ? ?2 18.若 a b , 则下列不等式: ① a ? b ? ab ; ② | a |?| b | ; ③a ? b ; ④a b
中 正确的不等式是 ( ) A.①② B. ②③ C.①④ D.③④

? y?2 ? 19.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为( ? x ? y ?1 ?
A. 12 B. 11 C. 8 D. ?? ) 20.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b, 则下列不等式一定成立的是( A. a ? b
2 2



B. ab ? a b
2 2

1 1 ? 2 2 ab C. ab

b a ? D. a b
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?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 21. 设 O 为坐标原点, 点 M 的坐标为(2, 1), 若点 N ( x, y) 满足不等式组 ? x ? 1 , ?2 x ? y ? 12 ? 0 ?
则使 OM ? ON 取得最大值的点 N 有 A.1 个 22 . B.2 个 已 知 C.3 个 点 D.无数个 集

A ? ?( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4 x ? 8 y ? 16 ? 0?



点集 A 所表示的平面区域与点集 B 所表示的平 B ? ( x, y) y ? x ? m ? 4, m是常数 , 面区域的边界的交点为 M , N .若点 D(m, 4) 在点集 A 所表示的平面区域内(不在边界 上) ,则△ DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C.

?

?

2 2

D. 4

23.若 a ? b ? 0, 则下列不等式中一定成立的是 A. b ? b ? 1 a a ?1 C. a ? B. a ? 1 ? b ? 1
b a

1 1 D. 2 a ? b ? a ?b? b a a ? 2b b

?x ? y ? 0 ? 24.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3 ?
A.9 B.8 C.7 D.6 25.对任意实数 x, 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立, 则 k 的取值范围是( A. k ? 3 B. k ? ?3 C. k ? 3 D. k ? ?3



)

26.已知正数 x,y满足x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y
C、 3 ? 2 2 ) D.a2 +b2 >2ab ) D、 3 ? 4 2

A、 2 2

B、 4 2

27.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a+b≥2 B.

1 1 2 ? ? a b ab

C.

b a ? ?2 a b

28.若 a, b, c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 , 则 2a+b+c 的最小值为( A. 3 -1 B . 3 +1
2

C.2 3 +2
2

D .2 3 -2
2

29.已知三个不等式① x ? 4 x ? 3 ? 0 , ② x ? 6 x ? 8 ? 0 , ③ 2 x ? 9 x ? m ? 0 , 要使同 时满 足① 和② 的所 有 ( ) B. m ? 9 C. A. m ? 9

x 的值都满 足③ ,则 实数 m 的取值 范围 是 m≤9
D. 0 ? m ≤ 9

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30.已知不等式 x ? m ? 1 成立的一个充分不必要条件是 范围是( A. 0 ? m ? )

1 ? x ? 1 ,则实数 m 的取值 2
D. 0 ? m ? 1 )

3 2

B. 0 ? m ?

3 2

C. m ? 0 或 m ?

3 2

31.8.二次不等式 ax2 +bx+c<0 的解集是 R 的条件是( A. B. C. D.

32.已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z) ,且 a ? b ,若变量 x,y 满足约束条件

? x ? ?1 ? 则 z 的最大值为 ?y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?
A.1 B.2 C.3
2 x ? y ?0

D.4

33.已知正数 x 、 y 满足 {x?3 y ?5?0 ,则 z ? ( ) ? 4
x

1 2

?y

的最小值为( )

( A) 1

(B)

1 4

(C )

1 16

( D)

1 32

( 1 ? x )(1 ? x) ? 0 的解集为 34.不等式
A、 (-1,1) B、 (??,?1) ? (1,??) C、 (??,?1) ? (?1,1) D、 (?1,1) ? (1,??)

35.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2 ,c-b=4-4a+a2 ,则 a,b,c 的大小关系 是 ( ) A.a>c≥b C.c>b>a
0.5

B.c≥b>a D.a>c>b
3

36.设 a ? 3 , b ? log5 , c ? cos 3 ,则( A. a ? b ? c B. c ? a ? b
2

) D. b ? c ? a ( )

C. c ? b ? a

37.若 x、y、z 均为正实数,则

xy ? yz 的最大值为 x ? y2 ? z2
C. 2 2

A.

2 2

B.

2

D. 2 3

1 ? 1 1 38.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ,若 a ? f (log3 0.8) , b ? f [( ) 3 ] , c ? f (2 2 ) ,则( 2 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b



? x ? y≥0, ? 39.在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 ? y≤2 ?

?u ? x ? y, T :? 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u , v ) ,则由点 (u , v ) 所形 ?v ? x ? y
成的平面区域的面积为( )
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(A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 16

? x ? y ? 1 ? 0, ? 40.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
(A) ?7 (B ) ? 6 (C) ?5 (D) ?3 ) 41.设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 .则不等式 f ( x) ? 2 的解集是( A. {x ?7 ? x ? } C. {x x ? ?7, 或x ? 4} 42.已知动点: 为.2,若使目标函数 A b. c. d.4



5 3

5? B. ? ? x x ? ?7, 或x ? ? 3? ?
1 5? D. ? ? x x ? ? , 或x ? ? ? 2 3?

在正六边形的阴影部分(含边界)内运动: 如右图,正六边形边长 取得最大值的最优解有无穷多个,则 k 值为

? x ? y ? 1, ? 43.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 , ?
y

)

2x-y-2=0 x-y=0

C A

B D

x

x+y-1=0
A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上均不对

44.设 a, b ? R , 则 “ (a ? b)a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的__________. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 45.对一切实数 x,不等式 x2 +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-2,+∞) C.[-2,2] B.(-∞,-2) D.[0,+∞)
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46.已知变量 x , y 满足约束条件 A.3 B.1 47.已知 a>b>0,c>d>0,m= ( ) A.m<n B.m>n -

?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 ?x ?1 ? 0 ?

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( C.-5 D.-6



,n= D.m≤n

,则 m 与 n 的大小关系是

C.m≥n

48.已知 a、b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列结论恒成立的是 ( A. a ? b ? 2 ab B.

).

a b ? ?2 b a

C. |

a b ? |? 2 b a

D. a 2 ? b2 ? 2ab

49.已知 a ? 6 ? 7, b ? 2 2 ? 5, c ? 5 则 a, b, c 的大小关系为 A.a ? b ? c B.c ? a ? b C.c ? b ? a D .b ? c ? a

? x? y?0 ? 50.已知 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的 ? x?0 ?
最大值是 4,则 ab 的最大值是( A.4 B. 2 2 C.1 D. )

2 2

51 .设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0] 上是增函数 , a ? f ?log4 7? ,

,d b ? f (log1 3) , c ? f (2 2 ) ,则 a, b, c的大小关系是(
2



A. c ? a ? b C. b ? c ? a

B. c ? b ? a D. a ? b ? c

? x ? y ? ?1 ? 52.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( ) ?3 x ? y ? 3 ?
A.4 B.11 C.12 ) D.14 53.若正数 a , b 满足 ab = a + b + 3 ,则 ab 的取值范围是( A、 3,9

( ]

B、 ?3,???

C、 ?3,???

D、 ?9,???

? x ? y ≥ 0, ? 54.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3, ?
A.0 B.6 C.9 D.15 55.若 a, b, c, d ? R, 且 a ? b, c ? d , 则下列不等式一定成立的是 ( A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd





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C.

a b ? d c

D. a ? d ? b ? c

56.不等式 ? x 2 ? 4x ≤ A. (- ?,?5 ]

4 x ? 1 ? a 的解集是[-4,0],则 a 的取值范围是( 3 5 5 B.[ ,?? ) C.(- ?,?5 ) ? [ ,?? ) D.(- ?,0) 3 3



?x ? 2 y ? 0 ? 57.设 z=x+y,其中 x、y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
( ) A.-3 B. 3 C. 2 D.-2 ) D. 8

58.若 a ? 0 , b ? 0 ,且 ln(a ? b) ? 0 ,则 A.

1 1 ? 的最小值是( a b

1 4

B. 1

C. 4

59.若 a ? 1 ,则 a ?

1 的最小值是( a ?1
B.



A. a

2 a a ?1

C.2

D.3

60. 已知四个条件, ①b>0> a ②0>a>b ③a> 0>b ④a>b>0 能推出 立的有( ) C.3 个 ) D.4 个

1 1 ? 成 a b

A.1 个 B.2 个 61.下列命题为真命题的是( A.若 ac ? bc ,则 a ? b
2 2 B.若 a ? b ,则 a ? b

C.若

1 1 ? ,则 a ? b a b

D.若 a ? b ,则 a ? b 62 .已知 P ( x, y ) 为区域 ?

?y2 ? x2 ? 0 内的任意一点 ,当该区 域的面积 为 4 时, ?0 ? x ? a

z ? 2x ? y 的
最大值是( A.6 63.若关于 是( ) B. a ? ? 4 )
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) B .0 C .2 D. 2 2

x 的不等式 2x 2 ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围

A. a ? ?12

C. a ? ?4 D. a ? ?12 64.下列结论正确的是 (

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? 1 ? 2 B.当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 lg x x C.当 x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

65.已知点 P( x, y ) 在圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上运动,则

y ?1 的最大值与最小值为( ) x?2

A. 3 , ? 3
3

3

B. 3,? 3

C. 3 ,? 3 2 2

D.

1 1 ,? 2 2
( ※ )

66.若不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 A. (??,1) B. (1, ??) C. (??,5)
? 1 2

D. (5, ??)

67.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c C. c ? a ? b

,则

B. b ? c ? a D. c ? b ? a

68 .若不等式组

表示的平面区三角形,则 实数 K 的取值范 围是

(A)

(B)

(C)

(D)

69.若正实数 a,b 满足 a+b+ab=3,则 ab 的最大值是 A.1 B. 2 C.3 D. 4

?x ? y ? 0 ? 70.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 ) 71.设 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不能成立的是(



1 1 ? A. a b

1 1 ? B. a ? b a

C.

a > b

D. a ? b
2

2

?x ? 0 ? 72.如果实数 x, y 满足 ? y ? 0 ,对任意的正数 a , b ,不等式 ax ? by ? 1 恒成立, ?2 x ? y ? 2 ?
则 a ? b 的取值范围是( A. ? 0, ? 2 )k*s5u 高考资源网

? ?

3? ?

B. ? 0, 4

?

C. ? , ?? ?
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?3 ?2

? ?

D. ? 0, 2 ?

73.不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的平面区域是





A. 74.

B.

C.

D.

75.设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log2 0.3 ,则 a , b, c 的大小关系是(



A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a 76. 【某工厂年产量第二年增长率为 a ,第三年增长率为 b ,则这两年平均增长率 x 满 足 A. x ?

a?b 2

B. x ?

a?b 2

C. x ?

a?b 2

D. x ?

a?b 2

?x ? 1 ? 77.已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= ? y ? a ( x ? 3) ?

(A)

(B)

(C)1 ( )

(D)2

78.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不一定 成立的是 ... A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a ?b b

C. ?a ?

?b

D.∣ a ∣> ?b

? x ? y ? 1 ? 0, ? 79. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ? x ? 0, ?
A. 0 B.

1 2

C.

2

D. 3

?x ? 1 ? 80. 已知 a ? 0 ,x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 , 则a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
( )

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A.

1 4

B. 1

C.

1 2

D. 2 )

81.若方程 2 x 2 ? 4mx ? 3m ? 1 ? 0 有两个负数根, 则实数 m 的范围是( A. ( , ] ? [1, ??)

1 1 3 2

B. ( , ]

1 1 3 2

C. ( , ) ? (1, ??)

1 1 3 2

D. ( , ?? )

1 3

82.若不等式 ax 2 ? 2ax ? 4 ? 2 x 2 ? 4 x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. (??, ?2)

A. (?2, 2)

(2, ??)

C. (?2, 2]

D. ( ??, 2)

83.已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1,则
2 2 2

S?

1? z 2 xyz 的最小值为
D. 2( 2 ? 1)

A.3 84.不等式

3( 3 ? 1) 2 B.

C.4

x?5 ? 2 的解集是 ( x ? 1)2
B. [ ?

A. [ ?3, ]

1 2

1 ,3] 2

C. [ ,1) ? (1,3] D. [ ?

1 2

1 ,1) ? (1,3] 2

85. (2006?广东)在约束条件

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值

的变化范围是( A. [6,15]

) B. [7,15] C. [6,8] D . [7,8]

?x ? y ? 1 ? 86.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 1 ? 0 ?
A. 3 B. ? 5 C. 1 D. ?6 87. 已知等比数列{an }, 若存在两项 am, an 使得 am ·an =a32 , 则



1 4 + 的最小值为( m n

)

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A.

3 2

B.

5 3

C.

9 4

D.

7 6

88.若 a>b ,则下列不等式中正确的是 ( ) A.

1 1 ? a b

B. a 2 ? b 2

C. a ? b ? 2 ab

D. a 2 ? b2 ? 2ab

89. 已知 a, b ? R ? , 若向量 m ? (2,12 ? 2a) 与向量 n ? (1, 2b) 共线, 则 2a ? b ? a ? 5b 的最大值为( A.6 90.已知 f ( x) ? ? A. (?1, 0) C. (?1, 0) ) B.4 C.3 D. 3 )

?ln x, x ? 0 , 则f ( x) ? 1 的解集为( ? x ? 2, x ? 0
B . (??, ?1) D. (??, ?1)

(0, e) (e, ??)

(e, ??) (0, e)

91.已知 x, y 满足约束条件 ?

?x ? y ?1 ? 0 ,当目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 在 ?2 x ? y ? 3 ? 0


2 2 该约束条件下取到最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为(

A.5

B.4

C. 5

D.2

?x ? 1 y?5 ? 92.若实数 x, y 满足 ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为 x?2 ?x ? y ? 3 ?
A. 2 B.





7 3

C. 3

D.

10 3

?x ? y ? 3 ? 0 ? 93.设变量 x, y 满足线性约束条件:? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值 ?y ? 0 ?
为 ( A.2 ) B.-2 C.6 D.8 (2) sin x ?
2

94.下列四个命题中: (1) a ? b ? 2 ab 是正数 , 若

4 ? 4 (3)设 x, y 都 sin 2 x

1 9 ? ? 1 , 则 x ? y 的最小值 是 12 x y

( 4 )若 | x ? 2 |? ? , | y ? 2 |? ? , 则

| x ? y |? 2? ,其中所有真命题序号是______
95.设 O 为坐标原点,第一象限内的点 M ( x, y ) 的坐标满足约束条件 ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 , ?x ? y ? 2 ? 0

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ON ? (a, b) (a ? 0, b ? 0) ,若 OM ON 的最大值为 40,则 ? 的最小值为(
(A)

5 a

1 b



25 6

(B)

9 4

(C)1

(D)4

2 2 96.若实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ? 0 ,则

z?

y ?1 x ? 2 的取值范围是( )
? 10 ? ? , ?2 ? ? ? D. ? 3

? 4 ? ?? , 0? A. ? 3 ?

? 4? ?0, ? B. ? 3 ?

2? ? ?2, ? ? ? 3? C. ?

97.若 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 + + 的最小值为 (

)

A.9 98.设 A. 2 B. C. 4 D. 8

B.8 若

C.3

D. 的最小值 ( )

?1 ? x ? 3 ? x,y) 是不等式组 ? y ? 3 3 99. 点 M( 表示的平面区域内一动点, 定点 A(?1, 3), O ? ?x ? 3y ? 0
是坐标原点,则 OM ? OA 的取值范围是 。

x2 xy ? 3 y 2 ≥ ,对任意的正实数 x, y 总成立,则正实数 k 的取值范围 100.若不等式 k 4
为: ▲ . .

101.设 a ? 2 ? 3, b ? 2 3 ? 3, c ? 3 ? 2 ,则 a, b, c 之间的大小关系是

102.不等式

2x ? 1 ? 1 的解集是 3x ? 1



103.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2 +18x-25(x∈N* ).则当 每台机器运转______年时,年平均利润最大,最大值是______万元. 104.已知 p : 1 ?

x ?1 2 2 ? 2 ; q : x ? 2x ?1? m ? 0 ? m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不 3

充分条件,则实数 m 的取值范围是________

试卷第 12 页,总 19 页

105.已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? xy ? 8 ,则 x ? y 的最小值是

.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 106.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=2x+y 的最小值是__________. ?x ? 1 ?
107.不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



108.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是_________。 (答案用区间表示) 109 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an } 满 足 : a2 0 1 ? ,若 2 a2 0 1 ? 1 2a2 0 1 0

am ? an ? 2a1 ,则

1 9 ? 的最小值为_▲ __ m n

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 110.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ? x ?1 ? 0 ?
___. 111.若 x, y 满足约束条件 ? x-y+3 ? 0 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值为
? ?0 ? x ? 3 ? ? x+y ? 0



B c oC s? 112 . 在 ?ABC 中 , 已 知 s i nA s i n
a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,则
113.11.若 x ? 0 ,则 x ? 114.函数 y ?

s iA n

sC in

c B o ?ss i nB s i n C c oA s ,若


ab 的最大值为 c2
。 .

4 的最大值为 x

x ? 1 ? x 的最大值为

115. 若关于 x 的不等式 ax2 -|x+1|+2a<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是

.

? y?x ? 116.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4,则 m 的值 ?x ? y ? 1 ?
为 .

? x ? 2 y ? 4, ? 117.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? 2 ? 0, ?
118.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

.

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于 2 3



119.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是_______. 120. 若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z=x+2y 的最小值为____ ? 6? x? y ?9
试卷第 13 页,总 19 页

121.使不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |?| 2m ? 1 | 对于一切实数 x 恒成立的实数 m 的取值范围 为 .

? x ? y ? 2, ? 122.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, ? x ? y ? 0, ?
则 2 x ? 3 y 的最小值是 。

123.设 x,y 为正实数,且 x+2y=1,则

1 1 ? 的最小值为 x y
3 2



124.若关于 x 的不等式 (k 2 ? 2k ? ) x ? (k 2 ? 2k ? )1? x 的解集为 ( , ?? ) ,则 k 的范 围是____ 125.不等式 0.52 x ? 0.5x ?1 的解集为 (用区间表示) 。

3 2

1 2

126. (1) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 圆 C 与直线 l 的方程分别为: ? ? 2sin ? , ? 分,则实数 x0 的值为 (2) (不等式选做题) 若关于 x 的不等式 | x ? m |? 2 成立的充分不必要条件是 2 ? x ? 3 ,则实数 m 的取 值范围是______________。 127.若
m2 x ? 1 ? 0 (m?0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1

? ? x ? x0 ? 2t ? ? y ? 2t


(t 为参数) 。若圆 C 被直线 l 平

128.设 x, y ? R ? 且

1 1 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________. x y

129.已知实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) ,则 z ? x ? y 的取值范围是 130.若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为________; 131.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 的解集是

? x ? y ? 5 ? 0, ? 132.已知实数 x, y满足 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为_____. ? x ? y ? 0, ?

试卷第 14 页,总 19 页

Y A(3,8) x+y=0 x-y+5=0 5 x=3

C(-2.5,2.5)

-5

3 y=-x/2 B(3,-3)

X

133. 已知正数 a, b, c 满足: 5c-3a≤b≤4c-a, clnb≥a+lnc , 则

的取值范围是



134.实数 x,y 满足不等式组

? y ? 0, ? ? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?

??


y ?1 x ? 1 的取值范围是



135.已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______

136.已知 p :

x ?1 ? 0, q : x 2 ? ax ? x ? a ,若 ?q是?p 的充分不必要条件,求实数 a x?3

的取值范围。 137. (本小题满分 10 分) 设关于 x 的不等式 lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R. 138.已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求 ? a ?

? ?

1? ? 1? ? ? ? b ? ? 的最小值。 a? ? b?
a 3 ? b3 ? c 3 ?
证明

2

2

139.已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1
2 2

a 2 ? b2 ? c2 3

140. (10 分)用比较法证明: a ? b ? 5 ? 2(2a ? b) 141.记关于 x 的不等式

2x ? m ?1 ? 1 的解集为 P ,不等式 x2 ? 2 x ? 0 的解集为 Q . x ?1

(1)若 1 ? P ,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 3 ,求集合 P ; (3)若 m ? 0 且 Q ? P ,求 m 的取值范围. 142 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f (1) ? 1 , f ( x) 的 导 数 f ' ( x) ?

1 x ,求不等式 2

f ( x) ?

1 2 3 x ? 的解集 4 4

143.已知集合 S ? ? x |

? ?

x?2 ? ? 0? , P ? ?x | a ?1 ? x ? 2a ?15? . x ?5 ?
试卷第 15 页,总 19 页

(1)求集合 S ; (2)若 S ? P ,求实数 a 的取值范围.

( a ? b) 2 144. (本小题满分 12 分)已知 a ? b ? 0 ,证明: ( a ? b ) ? . 4b
2

145.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)若 ?x ? R ,使得不等式 f ( x) ? m 成立,求 m 的取值范围; (Ⅱ)求使得等式 f ( x) ?| 4 x ? 1 | 成立的 x 的取值范围. 146.设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? a . (1)当 a ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 147.已知 a , b 都是实数,且 a ? 0, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 f ( x) ? 围. 148.已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件 a ? b ? c ? 3 , (1)求证: a ? b ? c ? 3 ; (2)若 c ? ab ,求 c 的最大值. 149. (本小题满分 12 分) 已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 x ? 7 x ? 10 ? 0 的解集为 B .
2 2

a ?b ? a ?b a

对满足条件的所有实数 a , b 都成立,求实数 x 的取值范

(Ⅰ) 求 A

B;
2

(Ⅱ)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A 150.已知集合 A ? ? x (1)当 m ? 3 时,求

B ,求 a ? b 的值.

?

6 ? 1, x ? R ?, B ? x x 2 ? 2 x ? m ? 0 ? x ?1

?

?

A ? (C R B ) ;

(2)若 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4

?

?,求实数 m 的值.
( m? R ) .

151. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设

f ? x ? ? ln(| x ? 1| ?m | x ? 2 | ?3) f ? x?

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求函数

的定义域;

(Ⅱ)若当

1? x ?

7 4 , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

试卷第 16 页,总 19 页

1 1 ? 的最小值. 2a b 153. (设函数 f(x)=|x+a|-|x-4|,x ? R
152.设 a , b 为正数,且 a ? b ? 1 .求 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<2; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤5-|a+l|恒成立,求实数 a 的取值范围. 154.不等式(m2 -2m-3)x2 -(m-3)x-1<0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围. 155. (14 分)2006 年 5 月 3 日进行抚仙湖水下考古,潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行 考察, 氧气瓶形状如图, 其结构为一个圆柱和一个圆台的组合 (设氧气瓶中氧气已充满, 所 给尺寸是氧气瓶的内径尺寸) ,潜水员在潜入水下 a 米的过程中,速度为 v 米/分,每 分钟 需氧量与速度平方成正比(当速度为 1 米/分时,每分钟需氧量为 0.2L) ;在湖底工 作时, 每分钟需氧量为 0.4 L;返回水面时,速度也为 v 米/分,每分钟需氧量为 0.2 L, 若下 潜与上浮时速度不能超过 p 米/分,试问潜水员在湖底最多能工作多少时间?(氧气瓶 体积 计算精确到 1 L, a 、p 为常数,圆台的体积 V= ?h r ? rR ? R
2

1 3

?

2

? ,其中 h 为高,r、R

分 别为上、下底面半径. )

156.解不等式: (1) 2 x ? x ? 1 ? 0
2

(2)

x ?1 ?2 x?2

157.(本题满分 12 分) 设不等式 mx ? 2 x ? m ? 1
2

0 对于满足 m ? 2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围.

158.已知: f ? x ? ? x2 ? px ? q . (1)求证: f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2? ? 2 ;
1 (2)求证: f ?1? , f ? 2 ? , f ? 3? 中至少有一个不小于 . 2

159. 已知定义在 ?0,??? 上函数 f ( x) 对任意正数 m, n 都有 f (mn ) ? f (m) ? f (n) ? 当 x ? 1 时, f ( x ) ?

1 , 2

1 1 ,且 f ( ) ? 0 2 2
试卷第 17 页,总 19 页

(1)求 f ( 2) 的值; (2)解关于 x 的不等式: f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 . 160.设 x, y, z ? R, 且 x ? 2 y ? 3z ? 1

(1)当z ? 1 , | x ? y | ? | y ? 1 |? 2时,求x的取值范围; ,
(2)当x, y, z ? R ?时, 求u ? x2 4y2 9z 2 ? ? 的最小值. x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1
2

161.解关于 x 的一元二次不等式 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? 4 ? x ? 2? ? 15 ? 0 . 162. (满分 12 分) 已知关于 x 的不等式

x ? 1 ? a的解集为 (?? ,1) ? (2,?? ), 求实数 a 的值。 x ?1

163. 设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证: 164.选修 4-5;不等式选讲

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2
x ≤1 的解集 。 f ( x)

设 f(x)=ax+2, 不等式|f(x)|<6 的解集为(-1,2) ,试求不等式

165.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 166.解关于

x

不等式: ax ? (2a ? 2) x ? 4 ? 0 (a ? R)
2

167.设 A ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

, n ? N, n ? 1

(1)证明 A> n ; (2) 2 n ? 1 ? 2 ? A ? 2 n 168.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等 差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 4 ,求 AC 边上中线长的最小值. 169.D. [选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 m, n 是正数,证明:

m3 n3 ? ? m2 ? n2 . n m

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171.已知 a ? 0 ,求证: a ?
2

1 1 ? 3 ? a ? ?3 2 a a

172.已知 a>b>0, 求 a2 +

16 的最小值. b( a ? b)

173









f ?x ? ? 2 ?

x?7 x?2











A



g ?x? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R? 的定义域为 B 。
(Ⅰ)求 A : (Ⅱ)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围。 174.(本小题满分 10 分)设 a、b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 175.设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ( a ? 0) (1)若 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (2)若不等式 f ( x) ? 4 的对一切 x ? [a, 2] 恒成立,求实数 a 的取值范围

试卷第 19 页,总 19 页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:依题意画出可行域如图所示,

y y?0 , ? x ? 1 x ? (?1)

y 可以看成可行域内的点与 (?1, 0) 连线的斜率,很明显 x ?1 3 当过点 ?1,3? 时斜率最大,最大值为 . 2
即 考点: 本小题主要考查利用线性规划知识求最值和两点间斜率公式的应用, 考查学生转化问 题的能力和分析问题、解决问题的能力. 点评:利用线性规划知识解题时,除了掌握常规的线性目标函数求最值的题目外,还要注意 有的题目可以转化成两点连线的斜率或两点间的距离等. 2.A 【解析】对 t ? a(a ? b ? c) ? bc 进行因式分解, 有 t ? a(a ? b ? c) ? bc ? a(a ? c) ? b(a ? c) ? (a ? b)(a ? c) , ∵ a, b, c ? R ? ,∴ (a ? b) ? (a ? c) ? 2 (a ? b) ? (a ? c) , ∴ (a ? b) ? (a ? c) ?

? (a ? b) ? (a ? c) ? ? 4 , 当且仅当 (a ? b) ? (a ? c) , ? ? 2 ? ?

2

即 b ? c 时取等号,∴ t ? a(a ? b ? c) ? bc 的最大值是4,故选A. 评析:多变元函数的最值问题的求解,有两个基本思路:一是通过消元转化为一元函数的最 值问题来求解;二是整体思考,利用两个正数的算术———几何平均不等式求解.一般地, 在具有正数的条件与“和” 、 “积”的结构的情况下,常采用后一种思路,这时,特别要注意 取等号的条件. 3.C 【解析】 试题分析:先根据约束条件画出可行域,设 z=3x-2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求 出直线 z=3x-2y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z=3x-2y 的最大值即可.

解:依题意,画出可行域(如图示),则对于目标函数 z=3x-2y,当直线经过 A(0,-2)时, z 取到最大值,Zmax =4.故答案为 C 考点:线性规划
答案第 1 页,总 47 页

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点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出 可行域、求出关键点、定出最优解 4.A 【解析】本试题主要是考查了不等式的性质的简单运用。 因为 a ? b ,根据不等式的性质可加性可知,不等式两边同时加上任何一个数,不等号方向 不变,即 a ? c ? b ? c 成立。 选项 B, 应该 是因 为 a ? b 两边同时 乘以 -1 , ??a ? ? b 结合上一 问的 可加 性得到,

c ? a ? c ? b ? c ? a ? c ? b 不成立。
选项 C, 应该是两边同时乘以-2,不等号方向改变,因此可知为 ?2a ? ?2b ,故错误。 选项 D,当 a=0,b=-2,不满足不等式,故选 A. 解决该试题的关键是可以运用举出反例否定一个结论的思想来得到。 或者直接运用性质推理 得到。 5.D 【解析】∵0<x<1,

1 ·3x(4-3x) 3 1 3x ? 4 ? 3x 2 4 ≤ ×( )= , 3 2 3 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取得“=”,故选 D. 3
∴f(x)=x(4-3x)= 6.C 【解析】 2 2 试题分析:根据已知条件,可知,由于 a<b<0,那么则两边平方后,必然会有 a >b , 因此 D 错误 对于 C,根据绝对值的意义可知,那么|a|>|b|成立。 对于 A, 由于 a,b 同号, 那么利用倒数的性质可知, 或者借助于反比例函数图像可知, ? 故错误。 对于 B,由于

1 a

1 , b

1 1 1 1 b b ? ? - >0 ? ? 0 ? ? 0 , 显然错误,故选 C. a ?b a a ?b a a (a ? b) a

考点:本试题考查了不等式的性质。 点评:解决该试题的关键是能根据不等式的性质,以及绝对值的含义准确的变形,注意到等 价性,属于基础题。 7.D 【解析】

,? 试 题 分 析 : 因 为 x?0 y

0 且, 2 x ? y =2 , 所 以 x ?

y ?1 , 所 以 2

答案第 2 页,总 47 页

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1 1 1 1 y 3 y x 3 y x 3 ? ? ( ? ) ? (x ? ) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2. x y x y 2 2 2x y 2 2x y 2
考点:本小题主要考查基本不等式的应用. 点评:应用基本不等式时要注意一正二定三相等三个条件缺一不可,还要注意“1”的整体 代换. 8.C 【解析】 9.A 【解析】 试题分析:由 a>b>0,ab=1 得 a ? 1 ? b ? 0 且 a ? b ? 2 ab ? 2 ∴ 0 ? c ? 1 .由对数函数性 质可得 P ? 0, N ? 0, M ? 0 ∴P<M<N 考点:均值不等式、对数函数性质 10.D 【解析】 试题分析:由 log2 ( x ?1) ? 1 ? log
2 2 2 得:

.

?x 2 -1 ? 2 ,解,得 x ? (? 3, ?1) ? (1, ? 2 ?x -1 ? 0

3) 。

考点:本题考查对数函数的单调性和对数不等式的解法。 点评:解有关对数不等式一定要注意真数大于 0 这个条件。 11.B 【解析】解:因为 2 ? 3x ? 12.A 【解析】 试题分析: | x ? 1|? a ? ?a ? x ? 1 ? a ? 1 ? a ? x ? 1 ? a ,因为不等式 | x ? 1|? a 成立的 充分条件是 0 ? x ? 4 ,所以 ?

4 4 4 ? 2 ? (3x ? ) ? 2 ? 2 3x ? 2 ? 4 3 ,所以选 B x x x

?a ? 1 ? 4 ,解得实数 a 的取值范围为 ?3, ?? ? . ?1 ? a ? 0

考点: 本小题主要考查含绝对值的不等式的解法和充要条件的应用, 考查学生的逻辑推理能 力和运算求解能力. 点评:此题中不等式 | x ? 1|? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,所以 0 ? x ? 4 是该不等式解 集的子集. 13.B 【解析】 试题分析:因为 lg a 和 lg b 的等差中项是 0 ,所以 lg a ? lg b ? lg(ab) ? 0,? ab ? 1 ,所以

1 1 1 ? ?2 ? 2 ,当且仅当 a ? b ? 1 时取等号. a b ab
答案第 3 页,总 47 页

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考点:本小题主要考查对数的运算和等差中项的应用以及应用基本不等式求最值. 点评:应用基本不等式求最值时,一定要注意一正二定三相等三个条件缺一不可. 14.C 【解析】 试题分析:当 a、b、c ? R,

a ? b ,如 2>-1,

1 1 ? 不成立; a b

如-3>-4, a 2 ? b 2 不成立;|c|=0 时, a | c |? b | c | 不成立,故选 C。 考点:不等式的性质 点评:简单题,比较大小,通常有“差比法” 、 “商比法” 。通过举反例,可以较方便的解决 问题。 15.B 【解析】解:因为

y?

3x 3 3 3 ?? ? ?3 ? x ? 0? ? 1 ? ? 1 x ? x ?1 2 1 ? 1 x ? ?1 ?x ? ? 1 x x
2

同时小于零,可见选 B 16.C 【解析】 试题分析::∵ a ? 0, b ? 0 ,且 4 ? 2a ? b ? 2 ab ,所以 故

1 1 ? ab 2

1 1 的最小值为 ab 2

考点:基本不等式. 点评:本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用,属于基础试题 17.C

a a a?b >1? -1>0? >0? (a-b)b>0? a>b>0 或 a<b<0? |a|>|b|, 但由|a|>|b| b b b a a 不能得到 a>b>0 或 a<b<0,即得不到 >1,故|a|>|b|是使 >1 成立的必要不充分条件. b b
【解析】 由 18.C 【解析】略 19.C 【解析】因为变量 【题型】选择题 20.C x,y 满足约束条件作图可知,则过点(2,2) z=x+3y 的最小值为 8,选 C

1 1 ? 2 2 a b 必然成立, 【解析】解:因为 a , b 为非零实数,且 a ? b, 利用不等式的性质可知 ab
选项 A 中,a=-1,b=0,不成立,选项 B 中,不一定乘以,选项 D 中,作差可判定不一定成立, 选C 21.D 【解析】
答案第 4 页,总 47 页

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试题分析: 先根据约束条件画出可行域, 则 OM ? ON = (2 , 1) ? ( x, y) =2x+y, 设 z=2x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距最大,由于直线 z=2x+y 与可行域边界:2x+y-12=0 平行, 当直线 z=2x+y 经过直线:2x+y-12=0 上所有点时,z 最大, 最大为:12.则使得 OM ? ON 取得最大值时点 N 个数为无数个.故选 D. 考点:简单的线性规划 点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包 括线性的与非线性, 非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸, 使得规划问题得以深 化. 22.B 【 解 析 】 解 :

因为点集A表示的为圆心为(2,4),半径为2的圆,而点集B表示为绝对值函数表示的区域 则利用数形结合思想,我们可以求解得到。
【题型】选择题 23.C 【解析】略 24 . A 【解 析 】 作 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域 , 当 直 线 z ? 2 x ? y 经 过 直 线 x+y =0 与 直 线 x=3 的 交 点 (3, -3) 时 , z 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 z ? 2 ? 3 ? (?3) ? 9 . 25.B 【解析】 考点:绝对值不等式;函数恒成立问题. 分析:要使不等式|x+2|-|x-1|>a 恒成立,需 f(x)=|x+2|-|x-1|的最小值大于 a,问题 转化为求 f(x)的最小值.

? ?3,x ? ?2 ? ? 2 ? x ? 1, 解:(1)设 f(x)=|x+2|-|x-1|,则有 f(x)= ? ?1 ? 2 x, ? 3,x ? 1 ?
当 x≤-2 时,f(x)有最小值-3;当-2≤x≤1 时,f(x)有最小值-3; 当 x≥1 时,f(x)=3.综上 f(x)有最小值-3,所以,a<-3.
答案第 5 页,总 47 页

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故答案为:B. 26.C 【解析】 试 题





















1 1 1y x 1 x,y满足x ? 2 y ? ,则 1 ? =(x ? y)( ?2 ) =3+ ? ? ? x y x y x y
当且仅当 x= 2 y 时等号成立,故可知答案为 C. 考点:不等式的求解最值 点评:主要是考查了均值不等式来求解最值的运用,属于基础题。 27.C 【解析】 试题分析:因为 ab ? 0 ,则 ?

y x2 ? ? 3? x y

2

2

?a ? 0 ?a ? 0 或? ,则排除 A 与 B;由于 a 2 ? b2 ? 2ab 恒成立, ?b ? 0 ?b ? 0

当且仅当 a ? b 时, 取 “=” , 故 D 错; 由于 ab ? 0 , 则 所以选 C.故答案为 C. 考点:基本不等式. 28.D 【解析】 29.C 【解析】略 30.B 【解析】

b a ba b a ? 2, ? 0, ? 0 , 即 ? ?2 a b a b ab

试题分析:因为 x ? m ? 1 ? ?1 ? x ? m<1 ? m-1<x<m+1,则其成立的一个充分不必要 条件,即为绝对值不等式的子集,可知

1 ? x ? 1 包含于集合 x ? m ? 1 ,那么结合数轴法 2

1 ? 3 ?m ? 1 ? 得到结论为 ? 2 ? 0 ? m ? ,故选 B. 2 ? ?m ? 1 ? 1
考点:本试题考查了充分条件的运用。 点评: 解决该试题的关键是能运用集合的思想, 根据小集合是大集合成立的充分不必要条件 的运用。属于基础题。 31.D 【解析】 试题分析: 有题意知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象恒在 x 轴的下方, 所以开口向下, 与x
2

轴没有交点,? a ? 0, ? ? 0 .

答案第 6 页,总 47 页

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考点:二次函数恒成立的问题. 32.C 【解析】∵ a ? b ∴ 2( x ? z ) ? y ? z ? 0 ? z ? 2 x ? y ,点 ( x, y ) 的可行域如图示,

y

y=x (1,1) x o x=-1 3x+2y-5=0 y=-2x

当直线 z ? 2 x ? y 过点(1,1)时,Z 取得最大值, zmax ? 2 ? 1 ? 3 ,选 C. 33.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于 {x?3 y ?5?0
2 x ? y ?0

1 z ? ( ) x ? 4? y ? 2? ( x ? 2 y ) ,那么 ,x>0,y>0,那么可知 2

根据线性规划的知识,可知在可行域内当目标函数 z=x+2y 过点(1,2)时目标函数最大, 则可知 z ? ( ) ? 4
x

1 2

?y

最小为

1 32 ,故答案选 D.

考点:均值不等式 点评:主要是考查了线性区域以及均值不等式的最值,属于基础题。 34.C 【解析】解答此题,可采用代入检验的方法,如 x ? 0 显然适合不等式,排除 B, x ? ?2 适 合不等式,排除 A,D,故选 C。 35.B 【解析】选 B.(a-2)2 ≥0?c≥b,又 b=a2 +1,

所以 b-a=a2 -a+1= 所以 b>a.所以 c≥b>a. 36.C 【解析】 试题分析: a ? 3
0.5

+ >0.

? 1, 0 ? b ? log3 5 ? 1 , c ? cos 3 ? 0 ,故 c ? b ? a .

考点:比较大小. 37.A 【解析】略 38.B
答案第 7 页,总 47 页

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【解析】略 39.C 【解析】

u?v ? ?u ? 0 x? ? ?u ? x ? y, ? ? 2 试题分析:由 ? 得? ,代入得, ?v ? 0 ,画出平面区域,面积为 8. ?v ? x ? y ? y ? u ? v ?u ? v ? 4 ? ? ? 2
考点:1、映射的概念;2、不等式组表示的平面区域. 40.B 【解析】

试题分析:作出可行域:

,并作出直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 ,平

移 l 0 到经过点E(3,4) 时,目标函数 z ? 2 x ? 3 y 取得最小值为: z min ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ?6 ; 故选 B. 考点:线性规划. 41 . B 【 解 析 】

f ( x) ? 2







? 1 1 ? x?4 x?? ? ? ? ?x?4 ? 或? 或? 2 2 ? ?2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? 2 ?2 x ? 1 ? (4 ? x) ? 2 ??2 x ? 1 ? (4 ? x) ? 2 ? ?
5 5? x ? 4或 ? x ? 4或x ? ?7 ,所以原不等式的解集为 ? ? x x ? ?7, 或x ? ? . 3 3? ?
42.A 【解析】略 43.A 【解析】

? x ? y ? 1, ? 试题分析:因为变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0 , ,符合的 x,y 的可行域如图所示的阴影部分, ?2 x ? y ? 2 ? 0 , ?
目标函数 y ? ?2 x ? z . 其中 z 的最小值即为直线 CD 在 y 轴的截距最小.所以通过移动直线
答案第 8 页,总 47 页

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CD 可知过点 B 是符合题意.又因为 B(1,0).所以 zmin ? 2 ?1 ? 0 ? 2 .故选 A. 考点:1.线性规划问题.2.作图的能力.3.对比归纳的思想.4.复杂问题简单化的转化过程. 44.A 【解析】 试题分析:若 (a ? b)a 2 ? 0 ,则 a ? b ;若 a ? b ,则 (a ? b)a 2 ? 0 ,所以“ (a ? b)a 2 ? 0 ”是 “ a ? b ”的充分而不必要条件,故选 A. 考点:1.不等式的性质;2.充分必要条件. 45.A 【解析】由题意 a|x|≥-x -1, ∴a≥ = (x≠0).
2



≤-2,∴a≥-2.

当 x=0 时,a∈R, 综上,a≥-2,选 A 46.C 【解析】 试题分析:如图 x,y 满足的可行域为三角形 ABC 围成的图形.目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值 理解为,平行于直线 x+2y=0 的直线 l 在 y 轴的最小截距.由图可得 l 过 C 点的截距最大.由 C(-1,-2)代入目标函数得 z=-5.所以 z 的最小值为-5.故选 C.
y

B x-y-1=0 O x=-1 C A x+y-1=0 l x

考点:线性规划知识. 47.C 【解析】选 C.因为 a>b>0,c>d>0, 所以 m2 =ac+bd-2 所以 m -n =bc+ad-2
2 2

,n2 =ac+bd-bc-ad, =( ) ≥0.
2

所以 m2 ≥n2 ,又 m>0,n>0,所以 m≥n. 48.C
答案第 9 页,总 47 页

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【解析】 试题分析:当 a, b 都是负数时, A 不成立,当 a , b 一正一负时, B 不成立,当 a ? b 时,D 不成立,因此只有 C 是正确的. 考点:基本不等式. 49.A 【解析】 试题分析:由题易得:

a2 ? 6 ? 7 ? 2 42 ? 13 ? 2 42

;

b2 ? 8 ? 5 ? 4 10 ? 13 ? 2 40

;

c2 ? 15 ? 13 ? 12 ? 13 ? 2 36 因为 2 36 ? 2 40 ? 2 42 所以可得 A.
考点:不等式的应用. 50.C 【解析】 51.B 【解析】

(x ) ?f (x) 试题分析:由题意 f .∵ log 4 7 ? log 2 7>1, log 1 3 ? ?log 2 3< ? log 2 7< ?1 ,
2

2< 2 ,∴ | 2

2

2

| > log 2 3 > log 4 7 .又∵f(x )在(-∞ ,0]上是增函数且为偶函数,∴f(x)

在[0,+∞)上是减函数.∴c<b<a.故选:B. 考点:1.奇偶性与单调性的综合;2.对数的运算性质. 52.B 【解析】

? x ? y ? ?1 ? 试题分析:画出线性约束条件 ? x ? y ? 1 的可行域,由可行域可求目标函数 z ? 4 x ? y 的 ?3 x ? y ? 3 ?
最大值为 11. 考点:线性规划的有关知识。 点评: 对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。 目标函数除了我们常见的

Z ? ax ? by ? c 这种形式外,还有常见的两种: Z ?

y -b 2 2 , Z ? ( x - a ) ? ( y - b) 第一 x-a

种的几何意义为: 过点 (x, y)与点(a,b)直线的斜率。 第二种的几何意义为: 点 (x, y) 与点(a,b) 的距离。 53 . D 【解 析 】

ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab ? 3, 令t ? ab ? 0,?t 2 ? 2t ? 3,?t ? 3或t ? ?1(舍) ,

所以 ab ? 9, 即 ab 的取值范围是 ?9,??? . 54.B 【解析】
答案第 10 页,总 47 页

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试题分析:由线性约束条件作出可行域:由点 ? 0,0? , ? 0,3? , ? 3,0? , ? 3,6? 构成的四边形,当

z ? 2 x ? y 过点 ? 3, 0 ? 时 z 取得最大值 6
考点:线性规划问题求最值 点评:线性规划问题取得最值的位置一般在可行域的边界或顶点处 55.D 【解析】

?a ? b a ? b, c ? d ? ? ? 同向相加得 ??d ? ?c
a?d ?b?c
56.A

4 x ? 1 ? a 在同一坐标系内作 y1 及 y2 的图象,y1 的图象是 3 4 2 2 半圆(x+2) +y =4(y≥0),y2 的图象是斜率为 的直线系,依题意得,y2 的图象必须在如图切线 3
【解析】设 y1 = ? x ? 4x , y2 =
2

的上方,而圆心(-2,0)到直线 4x-3y+3-3a=0 的距离 d= a≤-5. 故选 A.

? 8 ? 3 ? 3a 5

? 2 必须成立,解得

57.A 【解析】 试题分析:如图所示,作出不等式组所确定的可行域△OAB,目标函数的几何意义是直线 x +y-z=0 在 y

轴上的截距,由图可知,当目标函数经过点 A 时,取得最大值,由 ? 故最大值为

?x ? y ? 0 解得 A(k,k), ?y ? k ?x ? 2 y ? 0 , ?y ? 3

z=k+k=2k, 由题意, 得 2k=6, 故 k=3.当目标函数经过点 B 时, 取得最小值, 由? 解得 B(-6,3),故最小值为 z=-6+3=-3.故选 A . 考点:线性规划. 58.C

【解析】解: a ? 0 , b ? 0 ,且 ln( a ? b) ?0 ? a ? b ? 1 则 ( ? )( a ? b) ? 2 ?

1 a

1 b

b a ? ?4 a b

答案第 11 页,总 47 页

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59.D 【解析】 试题分析:因为 a ? 1? a ? 1 ? 0 ,则 a ? 仅当

1 1 1 =a1? + 1 ?2 ( a 1 ) ? + 1 =3 a ?1 a ?1 a ?1

,当且

a-1=

1 >0 ? a-1 ? 1, a ? 2 取得等号,故表达式的最小值为 3,选 D. a ?1

考点:本题主要考查均值不等式的求解最值的运用。 点评: 解决该试题的关键是能根据题目中 a 的范围, 构造一正二定三相等的特点来得到函数 表达式的最值,也可以运用函数单调性来得到结论。 60.C 【解析】运用倒数法则,a>b,ab>0 ?

1 1 ? ,②、④正确. 又正数大于负数,故选C. a b

61.D 【解析】 试题分析:对于 A,当 c ? 0 时不成立,对于 B,取 a ? ?2, b ? 1 知 B 不成立,对于 C,取

a ? 2, b ? ?1知 C 也不成立,故选 D.
考点:不等式的基本性质. 62.A 【解析】

?y2 ? x2 ? 0 试题分析:由 ? 作 出可 行 域如 图 , ?0 ? x ? a

由 图 可得 A ( a, -a) , B( a , a) , 由 S △ OAB=

1 ?2 a ? a = 4, 得 a=2 . 2

∴ A ( 2, -2 ), 化 目 标函 数 z=2x-y 为 y=2x-z , ∴ 当 y=2x-z 过 A 点时 , z 最 大, 等 于 2 × 2-( -2 ) =6 .
答案第 12 页,总 47 页

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故 选 : A. 考点:简 单 的线 性 规划 . 63.C 【 解 析 】因 为 关于

x 的 不 等 式 2x 2 ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内 有 解 , 则

2x2 ? 8x ? 4 ? a ?a ? (2x 2 ? 8x ? 4)min ? ?4 即可,故实数 a 的取值范围是 a ? ?4 ,选 C
64.B 【解析】解:因为选项 A 中只有对数 lg>0 时,才成立。因此错误。 选项 B 中,符合均值不等式的性质,成立。 选项 C 中,等号取不到,因此错误。 选项 D 中,函数是单调增函数,因此有最大值,并且在 x=2 时取得。因此错误。 65.A 【解析】 试题分析:根据动点 P 在圆上运动,可知
y ?1 x?2

表示的最大值和最小值为定点(2,1)与圆上点的斜率的取值范围。 设过点(2,1)的直线的斜率为 k ,那么可知直线方程为 y-1=k(x-2) 那么利用圆心到直线的距离为圆的半径,可知 d ?

| k ? 1 ? 2k ? 1| k ?1
2

? 1? k ? ?

3 3

那么结合倾斜角和斜率的关系可知,最大值和最小值分别是 3 , ? 3 ,选 A.
3

3

考点:本试题考查了斜率几何意义的运用。 点评:解决该试题的关键是理解分式表示的意义是圆上的动点与定点(2 ,1)的两点的斜率 范围。然后结合圆的方程,结合数形结合思想得到结论,属于中档题。 66.C 【解析】 67 . C 【解 析 】

a ? log 3 2 ?

ln 2 , b ? ln 2, ln 3 ? 1,? a ? b, ln 3

c?5
68.C

?

1 2

?

1 1 ? ? log3 3 ? log3 2 ? a,? c ? a ? b 5 2
2 或 k ? ?2 . 3

【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内,可求得 0 ? k ? 69.A 【解析】略 70.B 【解析】

试题分析:先根据不等式组作出如下图的可行域(阴影部分) ,目标函数 z ? 2 x ? y 看成一 条直线 y ? ?2 x ? z ,要使 z 最大,则需要直线 y ? ?2 x ? z 的纵截距最大,如图,当直线
答案第 13 页,总 47 页

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y ? ?2 x ? z 经过点 A(4, 4) 时直线的纵截距最大,此时 z ? 2 x ? y ? 2 ? 4 ? 4 ? 12 ,故选 B.

考点:线性规划. 71.B 【解析】 考点:不等式性质 由已知条件 a ? b ? 0 ,取 a ? ?2, b ? ?1 ,可选项 B 结果不成立. 点评:此题利用特殊值代入可较快选出答案. 72.A 【解析】 考点:简单线性规划. 分析:画出不等式组表示的平面区域,判断出区域的形状,求出 a,b 的范围,进一步求出 a+b 的范围.

解:画出不等式组表示的平面区域 由题意.x,y 所形成区域是由(0,0).(1,0).(0,2)三点围成的三角形. 因以为 ax+by≤1 恒成立所以 a≤1.b≤ 所以 a+b 的取值范围是(0,

1 3 .所以 a+b≤ ; 2 2

3 ] 2

故选 A 点评:利用线性规划求函数的最值,关键是画出不等式组表示的平面区域,给函数赋予几何
答案第 14 页,总 47 页

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意义. 73.D 【解析】 试题分析:根据已知的不等式可知,原点的坐标满足不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,那么说明区域 中含有原点,排除旋下那个 A,C,同时要注意到直线的一侧的部分包括整个半平面,因此 B 错误,只有选 D. 考点:本试题考查了不等式表示的平面区域知识点。 点评:确定平面区域的方法,就是运用特殊点法代入判定,而特殊点一般式选择原点,或者 是原点附近的点,同时要注意虚实要分,属于基础题。 74.A 【解析】略 75.D 【解析】 试题分析 :根据题 意,结 合指数 函数与对 数函数 的值域可 知,由于

a ? 20.3 ? 20 ? 1,0 ? b ? 0.32 ? 0.30 ? 1, c ? log2 0.3 ? log2 1 ? 0 ,可知 c ? b ? a ,故选 D.
考点:比较大小 点评: 指数函数性质和对数函数的 性质运用, 是解决的关键, 注意中间量 1, 0 的灵活运用。 76.B 【解析】 试 题 分 析
2






2


2





?1 ? a ??
??1 ? x ?
2

? 1?? b ?

?1? a ?1? b ? ? a ? b ? 1??1x? b? ? ?a ?? ?1? ? ? ?1 ? ? 2 2 ? ? ? ?

a?b ? a?b? ? ?1 ? ? ?x ? 2 ? 2 ? ?a?b? ? 性质判定两数的大小,此不等式 ? 2 ?
2

2

考点:不等式性质 点 评 : 本 题 利 用 不 等 式 ab ? ?
2

2 2 ?a?b? a ?b 在求解最值方面应用广泛 ab ? ? ? ? 2 ? 2 ?

77.B 【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示:

答案第 15 页,总 47 页

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当目标函数 z=2x+y 表示的直线经过点 A 时, z 取得最小值,而点 A 的坐标为(1, ?2a ), 所以

2 ? 2a ? 1 ,解得 a ?

1 ,故选 B. 2

【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识,难度不大,线性规划知识在高考中一般以小 题的形式出现,是高考的重点内容之一,几乎年年必考. 78.B

? 2b ? a , 【解析】 B 中 a ? b ? 0, b ? 0,?(a ? b)b ? 0 , 而 a ? b ? 0 时 2b ? a 不一定成立.
79 . D 【 解 析 】 平面区域如图,三个“角点”坐标分别为 (0, 0), (0,1), ( ? 80.B 【解析】 试题分析:线性约束条件表示的可行域中三条直线的交点分别为 ?1,2? , ? 3,0? , ?1, ?2a ? ,对 应的 z 分别为 z ? 2 ?1 ? 2 ? 4, z ? 2 ? 3 ? 0 ? 6, z ? 2 ?1? ? ?2a ? ? 2 ? 2a 。 分析可知三个点

1 1 , ) ,所以 zmax ? 3 2 2

?1,2? , ?3,0? , ?1, ?2a? 中一个使得 z ? 2 x ? y 取得最大值,一个使 z ? 2 x ? y 取得最小值。
因为 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 ,则只能 2 ? 2a ? 0 ,此时 a ? 1 。故 B 正确。 考点:线性规划问题。 81.A

??2m ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ? 3m ? 1 【解析】设方程两根为 x1 , x2 , 则 ? x1 x2 ? 0 , 即 ? , ?0 2 ?? ? 0 ? ? 2 ? ?16m ? 8(3m ? 1) ? 0
解得

1 1 ? m ? 或 m ? 1. 3 2

82.C 【解析】 试题分析:将原不等式整理成关于 x 的二次不等式,结合二次函数的图象与性质解决即可, 注 论. 意 对 二 次 项 系 数 分 类 讨

ax 2 ? 2ax﹣ 4<2x 2 ? 4x, ? (a﹣ 2)x 2 ? 2(a﹣ 2)x﹣ 4<0 ,

当 a﹣2=0,即 a=2 时,恒成立,合题意.

2 ? 0 时,要使不等式恒成立,需 ? 当 a﹣
所以 a 的取值范围为(﹣2,2]. 考点:函数恒成立问题. 83.C

?a ? 2 ? 0 ,解得﹣2<a<2. ? ??0

答案第 16 页,总 47 页

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【解析】略 84.D 【解析】本题考查不等式的同解变形,不等式的解法,转化思想. 因为 ( x ? 1)2 ? 0, 所以不等式

x?5 ? 2 可化为 x ? 5 ? 2( x ?1)2 且x ?1 ? 0 ,整理得 2 ( x ? 1)

1 2 x2 ? 5x ? 3 ? 0且x ? 1, 即 (2x ? 1)( x ? 3) ? 0且x ? 1, 解得 ? ? x ? 3且x ? 1. 故选 D 2
85.D 【解析】 试题分析:由 C(0,s) , C'(0,4) , 当 3≤s<4 时可行域是四边形 OABC,此时,7≤z≤8 当 4≤s≤5 时可行域是△OAC'此时,z max=8 故选 D. 交点为 A(0,2) ,B(4﹣s,2s﹣4) ,

考点:简单线性规划的应用. 86.B. 【解析】

?x ? y ? 1 ? 试题分析:依题意可画出不等式组 ? x ? y ? 1 所表示的的可行域,可知直线 x ? 1 ? 0 与 ?x ? 1 ? 0 ?
x ? y ? 1 ? 0 的交点 M (?1, ?2) ,作出直线 l : x ? 2 y ? 0 ,平移直线 l ,则可知当 x ? ?1 ,
y ? ?2 时, x ? 2 y 的最小值为 ?5 .

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考点:线性规划. 87.A 【解析】由 等比数列 的性质知 m+n= 6,则

1 4 1 ? 1 4? + = ? ? (m + n) = n 6 ? m ?m n?

1? 4m n n 4m ? 3 ≥ ,当且仅当 = ,即 m=2,n=4 时等号成立. 5? ? ? ? 6? n m m n ? 2
88.D 【解析】略 89.A 【解析】 试 题 分 析 : 向 量 m?( 2 , 共 ) 线 , 所 以 ? 1a 2 与 2向 )量 n ? ( 1 b, 2

4b ? ( 1? 2a

. 2 ? )? a 0 ?b

? 2

6

( 2a ? b ? a ? 5b )2 ? (2a ? b) ? (a ? 5b) ? 2 2a ? b
, 所以 2a ? b ? a ? 5b ? 6 . 考点:1、共线向量;2、重要不等式. 90.C 【解析】 试 题 分析 :∵ f ( x) ? 1 , ∴ ?

a ? 5b ? 3(a ? 2b) ? (2a ? b) ? (a ? 5b) ? 36

? x?0 ? x?0 ?x ? 0 ? x ? 0 或? ,∴ ? 或? ,∴ x ?e 或 ? x ? e ? x ? ?1 ?l n x ? 1 ? x ? 2 ? 1

?1 ? x ? 0 ,故选 C.
考点:不等式的解法. 91.B 【 解 析 】 画 出 可 行域 ( 如 图 所 示) , 由 于 a ? 0,b ? 0 , 所 以 , ax ? by? z经 过 直 线

2 x ? y ? 3 ? 0 与 直 线 x ? y ? 1 ? 0 的 交 点 A(2,1) 时 , z 取 得 最 小 值 2 5 , 即
答案第 18 页,总 47 页

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2 2 2 2a ? b ? 2 5(0 ? a ? 5) ,代人 a 2 ? b 2 得,a ? b ? 5a ? 8 5a ? 20 ,所以,a ?

4 5 5

时, (a 2 ? b2 )min ? 5(

4 5 2 4 5 ) ?8 5? ? 20 ? 4 ,选 B. 5 5

考点:简单线性规划的应用,二次函数的图象和性质. 92.B 【解析】略 93.B 【解析】略 94. (4) 【解析】 试题分析: (1)只有当 a ? 0, b ? 0 , a ? b ? 2 ab 才成立,否则不成立; (2)由基本不等式得 sin x ?
2

4 4 ? 2 sin 2 x ? 2 ? 4 ,当且仅当 sⅠn2 x=2 取等号, 2 sin x sin x
1 x 9 y 9x ) ? 1? 9 ? ? ? 16 ,故 y x y

但是 sin x ? 2 无解,故不成立; ( 3) x ? y ? ( x ? y ) ? ( ?
2

( 3 ) 不 成 立 ,( 4 ) 由 含 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 可 得 :

x? y ? ( | x ? ?) ? (y ? ?) |?| x ? ? ? y ? ? | <? ? ? ? 2? ,故(4)成立.
考点:命题的真假判断与应用. 95.B 【解析】 试 题 分 析 : z ? OM ON ?

a? x

, b y不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 阴 影 部 分 , 当 直 线

(a ? 0 b , ? 0过直线 ) 目标 z ? ax ? by x ? y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的交点 ?8,10? 时,
0? (a ? 0 b , ? 0取 ) 得 最 大 40 , 即 8a ? 1 b 函数 z ? ax ? by


4, 0 即 4a ? 5 b ? 2 0,

5b a 5 1 ? 5 1 ? 4a ? 5b 5 5b a 5 9 ? 时取等号, ? ?? ? ? ? ? ( ? ) ? ? 1 ? ,当且仅当 4a 5b a b ? a b ? 20 4 4a 5b 4 4

答案第 19 页,总 47 页

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5 1 9 ? 的最小值为 .故选 B. a b 4

考点:简单线性规划, 基本不等式. 96.A 【解析】

试题分析: x 2 ? y 2 ? 1 表示单位圆,

z?

y ?1 x ? 2 表示单位圆上的点 ? x, y ? 与点 ?? 2,1? 形成的
? 4 ? ,0? . ? 3 ?

直线 L 的斜率.显然当 L 与圆相切时,如图所示,可知 ??

y

P °

0

x

考点:线性规划求最值. 97.A 【解析】 选 A.因为 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,

所以 a+b+c≥3

,所以 0<abc≤

,

≥27,

答案第 20 页,总 47 页

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所以 + + ≥3

≥3

=9.

当且仅当 a=b=c= 时等号成立. 98.C 【解析】由题意知 所以 ,即 ,所以 , 。

当且仅当 99. [0,8] 【解析】

,即

时,取等号,所以最小值为 4,选 C.

?1 ? x ? 3 ? 试题分析:满足约束条件 ? y ? 3 3 的平面区域 Ω 如下图所示: ? ?x ? 3y ? 0

OA = (?1, 3) , OM ? ( x, y) , OM ? OA = ?x ? 3 y
由图可知,当 x 取[1,3]内的值时, Z= ? x ? 3 y 取得最小值 0 当 x=1,y=3 3 时 Z= ? x ? 3 y 取得最大值 8,故答案为:[0,8]. 考点:本题主要考查简单线性规划,向量数量积的坐标运算。 点评:简单题,首先画出可行域,根据 OM ? OA = ? x ? 3 y ,研究 Z= ? x ? 3 y 的最值。

答案第 21 页,总 47 页

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100. [

3 ,??) 3

【解析】 101.b>a>c 【解析】 102. { x ? 2 ? x ? ? }

1 3

【解析】因为不等式

2 x-1 ? (3x ? 1) ? x-2 ?0? ? 0 ? (3x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,因此解集是 3x ? 1 3x ? 1

1 {x ? 2 ? x ? ? } 3
103.5 8

【解析】 由题意知每台机器运转 x 年的年平均利润为

y 25 y =18-(x+ ), 而 x>0, 故 ≤18 x x x

- 2 25 =8,当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 104. m ? 9 【解析】因为 q 是 p 的必要不充分条件,那么先分析命题 p,q 的真命题时 x 的解集,然后利 用集合的关系得到参数 m 的范围是 m ? 9 105. 4 【解析】

?x? y? ?x? y? 试题分析:因为 xy ? ? ? ,所以 xy ? 8 ? ?x ? y ? ? ? ? ? x ? y ? 4. ? 2 ? ? 2 ?
考点:基本不等式. 106. ?

2

2

1 2

【解析】 试题分析:做出可行域,

答案第 22 页,总 47 页

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可知当目标直线 z ? 2 x ? y 过直线 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 0 的交点 C( ? 函数取得最小值,代入目标函数的解析式, z min ? 2 ? ? ? 考点:简单线性规划 107. ?0,1? ? ?1, 2 7 ? ? ?4 , ? ? ? 【解析】取绝对值转化求解即可。 108. (3,8) 【解析】略 109.4 【解析】解 :因为 a2012 ? a2011 ? 2a2010 ∴q -q-2=0, ∴q=2,q=-1(舍去) ∵
2

1 1 , )时,目标 2 2

1 ? 1? 1 ?? ? ? . 2 ? 2? 2

? ? ?

2

? ? ?

am ? an ? 2a1

∴an am =a2 a2 ∴m+n=4 ∴

1 9 1 9 ? =1 /4 ( ? )(m+n)=1 /4 (10+n /m +9m /n )≥4 m n m n

110.4 【解析】 试题分析: 满足约束条件的可行域如图所示. 因为函数 z ? 2 y ? 3x , 所以 z A ? ?3 ,zB ? 2 ,

zc ? 4 ,即目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 4.

答案第 23 页,总 47 页

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考点:线性规划. 111.9 【解析】略 112.

3 2

【解析】

ab ?
试题分析:由正余弦定理得:

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 ? ac ? ? bc ? 2ab 2ac 2bc ,

ab 3ab 3ab 3 3 ? 2 ? ? , 2 2 2ab 2 即最大值为 2 . a ?b 化简得 a ? b ? 3c . 因此 c
2 2 2

考点:正余弦定理,基本不等式 113.-4 【解析】 试题分析: x ? 0 , ? ?( x ? ) ? ? x ? (? ) ? 2 (? x) ? (? ) ? 4 , 因此 x ? 即
x ? ?2 时取等号,即 x ?
4 的最大值为-4 x
4 x 4 x 4 x

4 4 当且仅当 x ? ? ?4 , x x

考点:基本不等式 114. 2 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 的 定 义 域 为 ?0 ,? 1 , 所 以 ?x

y?

x ?1

y2 ? x ? ?1

? x ? x 2? ? x1 ? ? x 1 ? ? 2? ? x 1 ? ??

? ? 1 ? ?? ?x

1 ? x ? ? ,因为 y 20 ,所以

ymax ? 2 。还可用导数求单调性再求最值。
考点:基本不等式。

115. 【解析】当 x>-1 时, 原不等式可化为 ax2 -x+2a-1<0, 由题意知该不等式的解集为空集, 结合二次函数的图象可知 a>0 且Δ =1-4a(2a-1)≤0,

答案第 24 页,总 47 页

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解得 a≥

;
2

当 x≤-1 时,原不等式可化为 ax +x+1+2a<0. 由题意知该不等式的解集为空集,结合二次函数的图象可知 a>0 且Δ =1-4a(2a+1)≤0,解得 a



.

综上可知,a≥ 116.3 【解析】略 117.5

.

【解析】 本题主要考查运用线性规划知识来求最值问题. 约束条件表示的平面区域为如图所 示.

作直线 l : 3x ? y ? 0 ,平移直线 l 到过点 B 时,目标函数取最大值 5.另解:线性规划问题 通常在边界点处取得最值,所以对对于选择填空题来说可以直接把边界点坐标代入来求. 118 . -1 0 【 解 析 】 由 不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 b 1 2 1 , ) ,得 a ? 0, ? ? ? , ? ? , 2 3 a 6 a 6

? a ? ?12, b ? ?2, a ? b ? ?10 .
119.18 【解析】 试题分析:由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6≥2 2xy +6,令 xy=t2 ,即 t= xy >0, 可得 t2 - 2 2t t-6≥0.即得到(t-3 2 )(t+ 2 )≥0 可解得 t≤- 2 ,t≥3 到 t>0,故解为 t≥3 2 ,所以 xy≥18.故答案应为 18 考点:本题主要考查了用基本不等式 a+b≥2 ab 解决最值问题的能力,以及换元思想和简

2 ,又注意

答案第 25 页,总 47 页

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单一元二次不等式的解法,属基础题 点评: 解决该试题的关键是首先左边是 xy 的形式右边是 2x+y 和常数的和的形式, 考虑把右 边也转化成 xy 的形式,使形式统一.可以猜想到应用基本不等式 a+b≥2 ab .转化后变 成关于 xy 的方程,可把 xy 看成整体换元后求最小值。 120.-6 【解析】 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ?3 ? 2 x ? y ? 9 ?? ? ?6 ? x ? 2 y ? 15 , ?6 ? x ? y ? 9 ??9 ? ? x ? y ? 6

故填-6 121. [?3,4] 【解析】解:因为

| x ? 3 | ? | x ? 4 |? 7 |? x ? 3 | ? | x ? 4 |?| 2m ? 1| 恒成立时,则 | 2m ? 1|? 7即可 ? m ? [?3, 4]
122.4 【解析】 123. 3 ? 2 2 【解析】略 124. (1 ?

2 2 ,1 ? ) 2 2

【解析】

3 ? 2 k ? 2k ? ? 1 ? 3 ? 2 x ? 1 ? x,? 0 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ,即 ? 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? ? 2

1 ? 2 k ? 2k ? ? 0 ? 2 2 ? 2 2 ? k ? 1? ? ?1 ? 2 ?? ?? ? k ? 1? 2 2 ,?1 ? 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? R ? ? ? 2
125. (??, ?1) 【解析】略 126. (1)-1

(2) (1,4)
2

【解析】:(1).圆的极坐标方程为:ρ=2sinθ,即:ρ =2ρsinθ, 化为直角坐标方程为 x2+y2=2y,即为 x2+(y-1)2=1. 表示以 C(0,1)为圆心,半径为 1 的圆. 线 l 的方程化为 x-x0=y, 若圆 C 被直线 l 平分,只需直线经过圆的圆心,所以 x0=-1
答案第 26 页,总 47 页

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故答案为:-1 (2).因为|x-m|<2,即-2< x-m<2,即 m-2<x< m+2; 由已知不等式|x-m|<1 成立的充分非必要条件是 2≤x≤3

即 2≤x≤3 是|x-m|<1 解集的子集,即 解得实数 m 的取值范围是(1,4) 故答案为:(1)-1;(2)(1,4). 127. m ? ? 【解析】

1 2

1 1 1 1 ? x ? 2 , 当 m ? 0 时, x ? ? 或 x ? 2 .因为不等式对一切 x m m m m 1 1 1 1 ≥4 恒成立,所以 ? ? x ? 2 不能满足,因此 m ? 0 且 4 ? 2 ,所以 m ? ? .本题恒成立 m m m 2 问题,从解不等式出发,利用解集形式得出不等关系. 考点:不等式恒成立. 128.4 【解析】
试题分析:当 m ? 0 时, ? 试题分析: 由 x ? y ? ( x ? y )( 时等号成立. 故答案为 4. 考点:均值不等式的应用. 129. ?1 ? 2,1 【解析】 试题分析:由不等式 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) ,得 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 2 ? x ? 3? ,
2 2

1 1 y x y x 当且仅当 x ? y ? 2 ? ) ? 2? ? ? 2?2 ? ? 4, x y x y x y

?

?

在 平 面 直 角 坐 标 系 中 用 虚 线 画 出 圆 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 2 , 再 作 出 虚 线 x ? 3 , 则
2 2

x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) 的可行域是由虚线 x ? 3 与此虚线的右半圆围成的区域
(不包括边界) , 又目标函数可 化为 y ? x ? z ,则当直线 y ? x ? z 过可行域的上顶点

A 3, 4?

?

2 时, 有 zmin ? 3 ? 4 ? 2 ? ?1 ? 2 , 当直线 y ? x ? z 与半圆相切于点 B 时,

?

?

?

目标函数 z 有最大值,将目标函数化为 x ? y ? z ? 0 ,则此时有

3? 4? z 12 ? ? ?1?
2

? 2 ,解得

zmax ? 1? z ? ?1不合题意? ,如图所示,所以正确答案为 ?1 ? 2,1 .

?

?

答案第 27 页,总 47 页

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y

y=x-zmin A(3,4+ 2 ) (3,4) y=x-zmax B y=x x =3

4

o 3
考点:直线与圆、线性规划. 130. ( ??,5] 【解析】

x

x?? 3 ??2 x ? 1, ? ?? 5 ?, ?3x ? 2, 则 f ( x )m i n? 5; 若 不 等 式 试 题 分 析 : 令 f ( x ) ? x ? 2? x ? 3 ?2 x ? 1, x? 2 ?
的解集为 ? ,则 a 的取值范围为 (??,5] . | x ? 2 |? |x ? 3 ? |a 考点:绝对值不等式的解法、恒成立问题. 131. {x | x ? ?

3 3 或x ? } 2 2

【解析】 试题分析:解答本题可利用“分段讨论法” ,也可利用“几何法” ,根据绝对值的几何意义, 结合数轴得,不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 的解集是 {x | x ? ?

3 3 或x ? } . 2 2

考点:绝对值不等式的解法 132.-6 【解析】 试题分析: 作出该不等式组表示的平面区域, 设直线 x ? y +5 ? 0 、x ? y ? 0 与直线 x ? 3 分

(3, 8 )、( B 3, ?) 3. 直 线 x ? y + 5 ? 0 与 直 线 x ? y ? 0 的 交 点 是 别 交 于 点 A、B , 则 A

5 5 C (? , ) .该不等式组表示的平面区域即为三角形 ABC 围成的平面区域. z ? 2 x ? 4 y 变 2 2
答案第 28 页,总 47 页

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形得 y ? ?

1 z 1 z x ? ,由图可知直线 y ? ? x ? 过点 B(3, ?3) ,此时在 y 轴上的截距最小, 2 4 2 4

从而 z 有最小值,最小值为 2×3+4×(-3)=-6. 考点:简单的线性规划 133.[e,7] 【解析】条件 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+lnc

可化为:

. 设

=x, =y, 则题目转化为: 已知

满足





=

,即求

的取值范围. 表示可行域中点 P(x,y)与原点(0,0)连线的斜率

作出 x,y 所在平面区域(如图) .

显然

在点 A(



)处取得,∴

=7,而



切线的斜率

设切点为 P(x0 , ∴由 =

) ,而过切点之切线斜率为 x0 =1 切点 P(1,e) ( )min =e



的取值范围是[e,7]

134. 【解析】 考点:简单线性规划的应用.

答案第 29 页,总 47 页

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y?0 ? ? 分析: 本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件 ? x ? y ? 0 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
画出满足约束条件的可行域, 分析 ω = 的取值范围.

y ?1 y ?1 表示的几何意义, 结合图象即可给出 ω = x ?1 x ?1

y?0 ? ? 解:约束条件 ? x ? y ? 0 对应的平面区域如下图示: ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
y ?1 表示可行域内的点(x,y)与点(-1,1)连线的斜率, x ?1 y ?1 1 由图可知 ω = 的取值范围是[- ,1), x ?1 2 1 故答案为:[- ,1). 2
ω= 135. [1,7] 【解析】略 136. [3,??) 【解析】略 137.

答案第 30 页,总 47 页

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即 F min (x)=10 ∴10 <10
a

a<1 ????10 分

∴a 的取值范围为(-∞,1) 【解析】略 138.

25 2
2 2

【解析】

1 1 1? ? 1? ? 【错解分析】 ? a ? ? ? ? b ? ? =a2 +b2 + 2 + 2 +4 a b a? ? b? ?
≥2ab+

2 +4 ab

≥4 ab ? ∴(a+

1 +4=8, ab

1 2 1 2 ) +(b+ ) 的最小值是 8. a b 1 ,第二 2

上面的解答中,两次用到了基本不等式 a2 +b2 ≥2ab,第一次等号成立的条件是 a=b= 次等号成立的条件是 ab=

1 ,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8 不是最小值。 ab 1 1 【正解】原式= a2 +b2 + 2 + 2 +4 a b 1 1 =( a2 +b2 )+( 2 + 2 )+4 a b 1 1 2 =[(a+b)2 -2ab]+[( + )2 - ]+4 a b ab 1 = (1-2ab)(1+ 2 2 )+4, a b a?b 2 1 1 1 1 1 由 ab≤( )= 得:1-2ab≥1- = , 且 2 2 ≥16,1+ 2 2 ≥17, 2 4 2 2 a b a b 1 25 1 ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当 a=b= 时,等号成立), 2 2 2 1 2 1 2 25 ∴(a + ) + (b + ) 的最小值是 。 a b 2
答案第 31 页,总 47 页

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【点评】 在应用重要不等式求解最值时, 要注意它的三个前提条件缺一不可即 “一正、 二定、 三相等” ,在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制 范围内。 139.略 【解析】略 140.略 【解析】 本试题主要是考查了不等式的证明的运用。 利用作差比较法是证明不等式的常用 最 重要的方法之一,再结合平方差公式得到结论。 141. (1)m>1 (2) 【解析】 试题分析:解: (1).由 1∈P 得: (2).由 m=3 得 P ? {x | 解得: ?1 ? x ? 3

? P ? {x | ?1 ? x ? m} (3) m ? 2

3? m ? 1 ,解得 m>1 2

4分

2x ? 2 2x ? 2 x ?3 ? 1} ,∵ ?1? ? 0 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 x ?1 x ?1 x ?1
7分 8分 9分

? P ? {x | ?1 ? x ? 3} (或 P=(-1,3))
(3). Q x ? 2 x ? 0 ? x( x ? 2) ? 0 ? 0 ? x ? 2
2

? Q ? {x | 0 ? x ? 2} (或 Q=[0,2])
又 m>0,所以

10 分

2x ? m ?1 x?m ?1? ? 0 ? ?1 ? x ? m x ?1 x ?1
12 分 13 分

11 分

? P ? {x | ?1 ? x ? m} (或 P=(-1,m))
由 Q=[0,2] ? P=(-1,m)得 m ? 2 考点:集合的运用 142.不等式解集为 (??,1)

点评:解决的关键是根据集合的概念和二次不等式的求解来得到,属于基础题。

1 2 1 x ,则 g ' ( x) ? f ' ( x) ? x ? 0 , g ( x) 在 R 上为减函数, 4 2 1 3 1 2 3 且 g (1) ? f (1) ? ? ,原不等式等价于 f ( x ) ? x ? , 4 4 4 4
【解析】设 g ( x) ? f ( x) ? 即 g ( x) ? g (1) ,所以 x ? 1 ,即原不等式解集为 (??,1) 143.(1) S ? ?x | ?2 ? x ? 5? ; (2) a ?[?5, ?3] . 【解析】 试题分析: (1)解分式不等式一般是把分式不等式转化为整式不等式来解,先把分式不等式

答案第 32 页,总 47 页

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化为

f ( x) f ( x) (注意使 f ( x ) , g ( x) 中各因式里 x 的最高次项系数为正) , ? 0 (或 ? 0) g ( x) g ( x) f ( x) ?0 g ( x)

然后等价转化为整式不等式 f ( x) g ( x) ? 0 (或 f ( x) g ( x) ? 0 ) ,但如果不等式是

(或

x?2 f ( x) ?0 等价转化为 ? 0 ), 转 化 后 注 意 g ( x) ? 0 . 本 题 中 不 等 式 x?5 g ( x)

( x ? 5 )x(?

? m ? a, ( 2 ?) ; 0 2 )注意结论 [a, b] ? [m, n] ? ? ?n ? b,

?m ? a, (a, b) ? (m, n) ? ? ?n ? b,

?m ? a, ?m ? a, 的区别. (a, b) ? [m, n] ? ? [a, b] ? (m, n) ? ? ?n ? b, ?n ? b,
试题解析:解 (1)因为 解得

x?2 ? 0 ,所以 ( x ? 5)( x ? 2) ? 0 . x?5

?2 ? x ? 5 ,∴集合 S ? ?x | ?2 ? x ? 5? .

(2)因为 S ? P ,所以 ?

?a ? 1 ? ?2, ?5 ? 2a ? 15,

解得 ?

?a ? ?3, 所以 a ?[?5, ?3] . ?a ? ?5.
( a ? b) 2 , 4b

考点: (1)分式不等式的解法; (2)子集的概念. 144.证明:因为 a ? b ? 0 ,要证 ( a ? b ) ?
2

只需证明 a ? b ?

a ?b . 2 b

????..????????????.4 分

即证 1 ?

a ?b ( a ? b )( a ? b ) a? b . ?????7 分 ? ? 2 b( a ? b) 2 b( a ? b) 2 b

即证 2 ? 1 ? 由已知, 1 ?

a a ,即 1 ? . b b
a 显然成立. ?????????????????????..10 分 b
2

( a ? b) 2 故 ( a ? b) ? 成立. 4b
(其它证法参照赋分)

??????????????????.12 分

答案第 33 页,总 47 页

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【解析】略

3 145. (Ⅰ) m ? 5 ; (Ⅱ) (??,?1] ? [ ? ?) . 2 【解析】
试题分析: (Ⅰ)根据 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | 2 x ? 3 | = 2(| x ? 1 | ? | x ? 而求得得不等式 f ? x ? ? m 成立的 m 的取值范围. ( Ⅱ ) 由 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | 2 x ? 3 | ?| 2 x ? 2 ? 2 x ? 3 | = | 4 x ? 1 | , 可 知 当 且 仅 当

3 |) 求出 f ? x ? 的最小值,从 2

? 2x ? 2?? 2x ? 3? ? 0

时有 2x ? 2 ? 2x ? 3 ? 4x ?1 ,从而 f ( x) ?| 4 x ? 1 | 成立. 解不等式 的取值范围.

? 2x ? 2?? 2x ? 3? ? 0 由此求得 x

试题解析: (Ⅰ)由 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | 2 x ? 3 | = 2(| x ? 1 | ? | x ?

3 |) ? 5 2
5分 7分

3分

?使得不等式 f ( x) ? m 成立的 m 的取值范围是 m ? 5
(Ⅱ)由 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | 2 x ? 3 | ?| 2 x ? 2 ? 2 x ? 3 | = | 4 x ? 1 |

所以 | 2 x ? 2 | ?|2x ? 3| =|4x ? 1| ,当且仅当 (2 x ? 2)(2 x ? 3) ? 0 时取等

9分

3 所以 x 的取值范围是 (??,?1] ? [ ? ?) 2
146.(1) x | x ? ?3, 或x ? 7 ;(2) a ? 1 【解析】

10 分

考点:1、绝对值不等式的性质;2、绝对值不等式的解法.

?

?

试题分析:(1)理解绝对值的几何意义, x 表示的是数轴的上点 x 到原点的距离;(2)对 x 分 类 讨 论 , 分 x ? ?3,?3 ? x ? 7, x ? 7 三 部 分 进 行 讨 论 ; (3) 掌 握 一 般 不 等 式 的 解法 :

?1? x ? a?a ? 0? ? x ? a或x ? ?a , ?2? x ? a?a ? 0? ? ?a ? x ? a .(4)对于恒成立的问
题 , 常 用 到 以 下 两 个 结 论 :( 1 ) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max ,( 2 )

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min .
试题解析:解: (1)当 a ? 1 时,原不等式可变为 | x ? 3 | ? | x ? 7 |? 10 , 可得其解集为 {x | x ? ?3, 或x ? 7}. 4分

|x ? 3 ? ( x ? 7) |? 10 对任意 x ? R 都成立. (2)因 | x ? 3| ? | x ? 7 |?
∴ lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? lg10 ? 1 对任何 x ? R 都成立.

答案第 34 页,总 47 页

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∵ lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? a 解集为 R .∴ a ? 1 考点: (1)含绝对值不等式的解法; (2)恒成立的问题. 147. (1) (?? , ) ? ( ,?? ).

8分

1 2

5 2

(2) [ , ].

1 5 2 2

【解析】 试题分析: (1)首先把含有绝对值的函数转化为分段函数,再解不等式; (2)利用绝对值 不等式的性质即可.

?3 ? 2 x, x ? 1, ? (1) f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2, ?2 x ? 3, x ? 2. ?
由 f ( x) ? 2 得 ? 解得 x ?

2分

? x ? 1, ? x ? 2, 或? ?3 ? 2 x ? 2, ?2 x ? 3 ? 2.
4分

1 5 1 5 或 x ? , 所以不等式的解集为 (?? , ) ? ( ,?? ). 2 2 2 2

(2)?

a ?b ? a ?b a

?

a ?b?a ?b a

? 2, ? f ( x) ? 2.

6分

1 5 1 5 或 x ? , ? f ( x) ? 2 的解为 ? x ? . 2 2 2 2 1 5 8分 ?所求实数 x 的范围为 [ , ]. 2 2
? f ( x) ? 2 的解为 x ?
考点:分段函数;绝对值不等式的性质,绝对值不等式的解法. 148. (1) 详见解析;(2)1 【解析】 试题分析: (1) 根据一般形式的柯西不等式证明. (2) 根据基本不等式可得 a ? b ? 2 ab . 可将 a ? b ? c ? 3 转化为 3 ? 2 ab ? c ? 2 c ? c ,转化为关于 c 的一元二次不等式. 试题解析:证: (1)∵ ( a ? b ? c ) 2 ? (a ? b ? c)(1 ? 1 ? 1) 代入已知

a?b?c ? 3

? ( a ? b ? c )2 ? 9
当且仅当

a ? b? c ?3
5分

a ? b ? c ? 1 ,取等号。

(2)由 a ? b ? 2 ab 得 2 ab ? c ? 3 ,若 c ? ab ,则 2 c ? c ? 3 , 所以 c ? 1 , c ? 1 ,当且仅当

?

c ?3
10 分

??

c ?1 ? 0 ,

?

a ? b ? 1 时, c 有最大值 1。

考点:1 柯西不等式;2 基本不等式. 149 . (Ⅰ) A

B ? ? ??,3?

?5, ??? .
答案第 35 页,总 47 页

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(Ⅱ) a ? b ? ?3 . 【 解 析 】 ( 1) 先 分 别 解 二 次 不 等 式 得 到 集 合 A, B, 再 根 据 并 集 的 定 义 求 A (2 ) 先 求 出 A

B.

B ,则集合 A B 对应区间的两个端点值就是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根,

再根据韦达定理求出 a,b 进而求出 a+b. 解:(Ⅰ)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A ? ? ?1,3? .???? 2 分 由 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 得 x ? 2 或 x ? 5 ,所以 B ? ? ??,2?

(5, ??) .???? 4 分

? A B ? ? ??,3?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A

?5, ??? .

????6 分

B ? ? ?1,2? ????7 分

则不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 ? ?1, 2? ,即 x 2 ? ax ? b ? 0 的根为 ?1, 2 ,????9 分

? ??1 ? 2 ? ?a, ?? ? a ? ?1,b ? ?2 ,????11 分 ? ?? ?1? ? 2 ? b.
即 a ? b ? ?3 .???? 12 分 【答案】 (1) A ? (C R B) ? {x | 3 ? x ? 5 (2) m ? 4 }; 【解析】 试 题 分析 : ( 1 ) 先 代 入 m ? 3 , 解 不 等 式 求 出 集 合 A,B , 再 由 集 合 的 运 算 求 得

A ? (C R B) ? {x | 3 ? x ? 5} ; ( 2 ) 由 A ? {x | ?1 ? x ? 5} 和

A ? B ? ?x ? 1 ? x ? 4 ?可得方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 的两根为-1 和 4,故由根与系数关系可
得 m ? 4 .注意等价转化. 试题解析:(1)当 m ? 3 时, A ? {x | ?1 ? x ? 5} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} , (2)由 A ? {x | ?1 ? x ? 5} ,又 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4

?

?,故可得方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 的

两根为-1 和 4,故由根与系数关系可得 m ? 4 . 考点:1 分式不等式的解法;2.一元二次不等式的解法;3.集合运算 151.解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?3 ? 0 ,等价于

?x ? 1 ? ?3 ? 2 x ? 3
故函数



?1 ? x ? 2 ? ?1 ? 3

?x ? 2 ? 2x ? 3 ? 3 或? ,解之为 x ? 0 或 x ? ? 或 x ? 3 ,
{x | x ? 0 或 x ? 3} .

f ? x?

的定义域是

(Ⅱ)当

1? x ?

7 4 时, f ? x ? ? ln[ x ? 4 ? m(2 ? x)] , f ? x ? ? 0 恒成立等价于

答案第 36 页,总 47 页

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x ? 4 ? m(2 ? x) ? 1恒成立,即

m?

5? x 7 [1, ] 2 ? x 在 4 上恒成立,
tmax ? 1 ? 3 7 ?2 ? 13 , 4



t?

x ?5 7 3 ?1? [1, ] x?2 x ? 2 在区间 4 是增函数,所以

所以, m ? 13 ,故实数 m 的取值范围 [13, ? ?) . 【解析】略 152 .

1 1 3 ? 的最小值为 + 2 2a b 2 1 1 1 1 3 b a ? ? ( ? )(a ? b) ? ? ? , 然后再 2a b 2a b 2 2a b

【 解析 】 本 题的 解 决 的基 本 思 路 是 利用基本不等式求解即可. ∵ a ?b ?1 ∴

1 1 a?b a?b 3 b a ? ? ? ? ? ? 2a b 2a b 2 2a b


又 ∵ a, b 为 正 数

b a b a b a ? ?2 ? ? 2 ( 当 且 仅 当 ? , 即 2a b 2a b 2a b


a? 2? 1 b,? ? 2 时,等号成立) 2
153. ( 1) x ?

1 1 3 ? 的最小值为 + 2 2a b 2 。

5 ; ( 2) ? 5 ? a ? 0 . 2

【解析】 试题分析:本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质及恒成立问题等数学知识,考 查学生的转化能力和计算能力.第一问,将函数化为分段函数,再解不等式;第二问,利用 不等式的性质先求 | x ? a | ? | x ? 4 | 的最大值,再解 | a ? 4 |? 5? | a ? 1| 这个绝对值不等式即 可.

?5, x ? 4 ? 试题解析:①∵ f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ? 2 x ? 3, ?1 ? x ? 4 , ??5, x ? ?1 ?
∴由 f ( x) ? 2 得 x ?

5 .(4 分) 2

②因为 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 4 |?| x ? a | ? | 4 ? x |?| ( x ? a) ? (4 ? x) |?| a ? 4 | , 要使 f ( x) ? 5? | a ? 1| 恒成立,须使 | a ? 4 |? 5? | a ? 1| , 即 | a ? 4 | ? | a ? 1|? 5 ,解得 ?5 ? a ? 0 .(7 分) 考点:1.绝对值不等式的解法;2.不等式的性质.
答案第 37 页,总 47 页

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154.-

1 <m≤3 5

【解析】解: (1)当 m2 -2m-3=0,即 m=3 或 m=-1 时, ①若 m=3,原不等式解集为 R ②若 m=-1,原不等式化为 4x-1<0 ∴原不等式解集为{x|x<
2

1 =,不合题设条件. 4
?? 1 ? m ? 3 ? 即? 1 ? ?m?3 ? ? 5

(2)若 m -2m-3≠0,依题意有
2 ? ?m ? 2 m ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ?? ? (m ? 3) ? 4(m ? 2m ? 3) ? 0

1 <m<3 5 1 综上,当- <m≤3 时,不等式(m2 -2m-3)x2 -(m-3)x-1<0 的解集为 R. 5
∴- 155.解: 氧气瓶中氧气的体积 V= V圆柱 ? V圆台 ? ? ?102 ? 50 ? ? ?10?

1 ?4 ? 20 ? 100 ? ? 5413? ? 16997 (cm 3) ? 17 L. 3
2

设潜入水下 a 米过程中的每分钟需氧量为 Q,则 Q=k v , 因当速度为 1 m/分时,每分钟需氧量 0.2 L,所以 k=0.2, 故来回途中需氧量为 a ×0.2 v + a ?

0.2 ,v ? ?0,p ? ,则在湖底的工作时间为 v

1 ? 0.2a ?? 0.2 ? 17 ? ? 0.2av ? ? 0.2av ? ? 0.4a, ??, ? 0.4 ? v ?? v ?
当且仅当, v =1 时取等号. 所以①当 p≥1 时,

1 ? 0.2a ?? ? 的最大值是 42.5- a . 17 ? ? 0.2av ? ?, ? 0.4 ? v ?? ? ?

②当 p<1 时, v ? ?0,p? , ?v ? p ? 1 ,vp ? p 2 ? 1 ,

? ? vp ? 1 ? 1 ? 0.2a ?? a 1 ? 0.2a ?? ? ? 0.2ap ? 17 ? ? 0.2av ? ?? - ?17 ? ? ? ? ? p ? v ?? ? ? ? ? vp ? ? ? 0, p ?? 2 0.4 ? v ?? 0.4 ? ? ? ? ?
即当 v ? p 时,在湖底的工作时间的最大值为

? 1 ? 0.2a ?? ??, 0.2ap ? ?17 ? ? ? 0.4 ? p ? ? ??

因此,当 p≥1 时,潜水员在湖底最多能工作 42.5- a 分钟; 当 p<l 时,潜水员在湖底最多能工作

? 1 ? 0.2a ?? ??, 0 . 2 ap ? 分钟. ?17 ? ? ? 0.4 ? p ? ? ??

【解析】略
答案第 38 页,总 47 页

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156. (1) ? x | ?1 ? x ? 【解析】

? ?

1? (2) ?x | x ? 2或x ? 3?. ?; 2?
1 2

试题分析: (1) 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x 2 ? ∴原不等式的解集为 ? x | ?1 ? x ? (2)原不等式可变形为 即 ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ∴原不等式的解集为 x | x ? 2或x ? 3

? ?

1? ? 2?

6

x?3 ?0 x?2

?

?

13

考点:一元二次不等式、方式不等式的解法。 点评:简单题,此类问题,高考多在小题之中出现,难度较小。基本思路是转化成简单的一 元二次不等式求解。优选“因式分解法” 。 157.解:记 f (m) ? mx ? 2x ? m ?1 ? ( x ?1)m ?1 ? 2x,( m ? 2) ………2 分
2 2

其图象是以 (?2, f (?2)), (2, f (2)) 为端点的线段?????4 分

f (m)

0 恒成立, 等价于
2

? f (?2) 0 , 即 ??2 x ? 2 x ? 3 0 ……………8 分 ? 2 ? ? f (2) 0 ? 2x ? 2x ?1 0

? ?x ? ?? ? ? ?
?

?1 ? 7 ?1 ? 7 或x …………… 10 分 2 2 1? 3 1? 3 x 2 2
x 1? 3 2
? ? ? 2 x 1? 3 ? ? …………… 12 分 ? 2 ? ?

?1 ? 7 2

? ?1 ? 7 故:所求 x 的取值范围是? ? x

【解析】同答案 158. 【解析】证明: (1) f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2? ? 1 ? p ? q ? 9 ? 3 p ? q ? 2(4 ? 2 p ? q) ? 2 (2)反证:假设 f ?1? , f ? 2 ? , f ? 3? 都小于
1 2

1 1 1 那么 2 ? f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2? ? f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2? ? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

矛盾,所以假设不成立,即 f ?1? , f ? 2 ? , f ? 3? 中至少有一个不小于

1 2

答案第 39 页,总 47 页

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159. (1) f (2) ? 1 ; (2) x ? ?1,??? . 【解析】 试题分析:本题主要考查函数的单调性、利用函数的单调性解不等式等基础知识,考查学生 的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 计算能力. 第一问, 令 m ? n ? 1, 即可求出 f (1) ?

1 , 2

而 f (1) ? f (2 ? ) ,再展开,即可求出 f ( 2) 的值;第二问,利用函数单调性的定义,利用 已知表达式,判断函数 f ( x ) 的单调性,而 f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ? 3x) ? 式可以转化为 f ( x2 ? 3x) ? f (4) ,再利用函数的单调性解不等式. 试题解析: ( 1) f (1) ? f (1) ? f (1) ? 得 f (2) ? 1 (2)任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

1 2

1 ,所以原不等 2

1 1 1 1 1 ,所以 f (1) ? , 而 f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? 解 2 2 2 2 2

x2 1 )? x1 2

因为 x1 , x2 ,所以

x2 x 1 ? 1 ,则 f ( 2 ) ? , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 x1 x1 2
1 3 ? 2 2

所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数, 因为 f (4) ? f (2) ? f (2) ? 所以 f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 3x) ?
2

1 ?2 2

3 即 f ( x ? 3 x) ? ? f (4) 2
2

? x?0 ? 所以 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1,??? ? x 2 ? 3x ? 4 ?

考点:函数的单调性、利用函数的单调性解不等式. 160. (1) { x | x ? ?1 或 x ? 3} (2)0.25 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)当 z ? 1 时, y ? ?1 ?

x ,从而 | x ? 2 | ? | x |? 4 . 2

2分

① 当 x ? 0 时, 2 ? x ? x ? 4 ,解得 x ? ?1 ;② 当 0 ? x ? 2 时, 2 ? x ? x ? 4 ,无解; ③ 当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? 4 ,解得 x ? 3 .综上, x 的取值范围是 { x | x ? ?1 或 x ? 3} 6 (Ⅱ)∵ x ? 2 y ? 3 z ? 1 , x ? 0, y ? 0, z ? 0 , ∴ 4u ? (
4y2 x2 9z 2 ? ? )[( x ? 1) ? ( 2 y ? 1) ? ( 3 z ? 1)] ? ( x ? 2 y ? 3z )2 =1, x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1

∴ u?

1 . 4

10 分

答案第 40 页,总 47 页

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2y x 3z 1 1 1 1 1 ? ? , 即 x ? 2 y ? 3z ? , x ? , y ? , z ? 时 , um i n ? . x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1 3 3 6 9 4

12 分 考点:不等式的运用 点评:主要是考查了不等式的求解,以及均值不等式的运用,属于中档题。 161. ? x | x> ? 4 ?

? ? ? ?

58 2

, 或x< ? 4 ?

58 ? ? 2 ? ?

?

【解析】 试题分析:将一元二次函数化简整理成 ax 2 ? bx ? c 的形式,先求方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两 根,根据其图像写出原不等式的解。 试题解析:解答:∵ 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? 4 ? x ? 2 ? ? 15<0 ,
2

∴ 2 x 2 ? 1 ? 4 x 2 ? 4 x ? 4 ? 15<0 , ∴ ?2 x 2 ? 16 x ? 3 ? 0 ,∴ 2 x 2 ? 16 x ? 3>0 . 5分

?

? ?

?

∵ x1,2 ?

?16 ? 16 ? 4 ? 2 ? 3 2? 2

2

? ?4 ?
58 2

58 2



∴不等式的解集为 ? x | x> ? 4 ?

? ? ? ?

, 或x< ? 4 ?

? 58 ?
2 ? ?

?.

10 分

考点:一元二次不等式。 162.解:原不等式 ?

ax ? 1 ? a ? 0 ? ( x ? 1)( ax ? 1 ? a) ? 0 x ?1

????2 分

(1)当 a ? 0时, 原不等式 ? x ? 1, 不合题意 ????4 分

a ?1 ) ? 0 ,不合题意 ????6 分 a a ?1 a ?1 ) ? 0 ? x ? 1或x ? (3)当 a ? 0时, 原不等式 ? ( x ? 1)( x ? ??10 分 a a a ?1 ? 2, 即a ? ?1 故依题意有: a 综上所述得: a ? ?1 ??????12 分
(2)当 a ? 0时, 原不等式 ? ( x ? 1)( x ? 【解析】略 163.证明见解析 【解析】证明:∵ ∴ n?

n(n ? 1) ? n 2 ? n

1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

n(n ? 1) ?

2n ? 1 2

答案第 41 页,总 47 页

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∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? 本题利用 n ?

n(n ? 1) (n ? 1) 2 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) , ∴ ? an ? 2 2 2

n(n ? 1) ?

2n ? 1 ,对 an 中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列, 2

达到化简的目的。 164.x>

1 2 或 x≤ 2 5

【解析】略 165. (1)[-2,4]; (2) (-3,5) . 【解析】 试题分析: (1)根据绝对值的意义,数轴上的-2 和 4 对应点到-1、3 对应点的距离之和正好 等于 6,从而求得 f(x)≤6 的解集. (2)由绝对值的意义可得,f(x)的最小值为 4,再 由 4>|a-1|,求得 a 的范围. 试题解析:解: (1)由绝对值的意义可得函数 f(x)=|x+1|+|x-3|表示数轴上的 x 对应点 到-1、3 对应点的距离之和,而-2 和 4 对应点到-1、3 对应点的距离之和正好等于 6,故不 等式 f(x)≤6 的解集为[-2,4]. (2)由绝对值的意义可得,f(x)的最小值为 4,再根据关于 x 的不等式 f(x)>|a-1| 恒成立, 可得 4>|a-1|,-4<a-1<4,解得-3<a<5,故要求的 a 的范围是(-3,5) . 考点:绝对值不等式的解法. 【答案】原不等式可化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 (1)当 a ? 0 时, (??,2) (2)当 a ? 0 时, ( ,2) (3)当 a ? 0 时, 当 0 ? a ? 1 时, ( ?? ,2) ? ( ,?? ) 当 a ? 1 时, (??,2) ? (2,??) 当 a ? 1 时, ( ?? , ) ? ( 2,?? ) 综上所述:当 a ? 0 时, ( ,2) ;

2 a

2 a

2 a

2 a

当 a ? 0 时, (??,2) ; 当 a ? 1 时, (??,2) ? (2,??)

当 0 ? a ? 1 时, ( ?? ,2) ? ( ,?? ) ; 当 a ? 1 时, ( ?? , ) ? ( 2,?? ) 【解析】 略 167.同下 【解析】 (1)A ? 1 ?

2 a

2 a

1 2 ?1

?

1 3? 2

??

1 n ? n ?1

答案第 42 页,总 47 页

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=1?

?

2 ?1 ?

? ? 3 ? 2 ?? ?? ? ? ?

n ? n ?1 ? n
2 2 ?1 ? 2 3? 2 ?? 2 n ? n ?1

?

(2) A ?

2 2 2 2 2 ? ? ? ? ??? 1? 0 2 2 2 2 3 2 n

? 21?

? ?

2 ?1 ?

3 ? 2 ? ??

?

n ? n ?1 ? 2 n

??

A?
? 2 2 ?1 ? 2

2 2 2 2 ? ? ??? 2 2 2 2 3 2 n
? 2 4? 3 ??? 2 n ?1 ? n

3? 2

?2

??

2 ?1 ?

? ? 3 ? 2 ?? ?
?
3

4 ? 3 ??

? ?

n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 2 .

??

∴ 2 n ?1 ? 2 ? A ? 2 n

168. (1) B ? 【解析】

; (2) 3 .

试题分析: (1)由已知, 2b cos B ? c cos A ? a cos C ,利用正弦定理,将边 b,c,a 代换 成 sin B,sin C,sin A ,再利用两角和正弦公式求 B ; (2)设 AC 边上的中点为 E ,利用三 边 a,b,c 用余弦等量将中线 BE 表示出来,再用基本不等式求最小值. (1)由题意得: 2b cos B ? c cos A ? a cos C , 2 sin B cos B ? sin C cos A ? sin A cos C ,

2 sin B cos B ? sin B , 1 ? sin B ? 0, ? cos B ? , B ? . 2 3 (2)设 AC 边上的中点为 E ,
2 由余弦定理得: BE ?

2( AB 2 ? BC 2 ) ? AC 2 4
2

?

a ? c ? ac (a ? c) ? ac 16 ? ac ? ? ? 4 4 4
2 2

16 ? (

a?c 2 ) 2 ? 3, 4

当 a ? c 时取到”=”所以 AC 边上中线长的最小值为 3 . 考点:1、正弦定理;2、余弦定理;3、两角和与差的正弦公式;4、基本不等式. 169 . 见解析。 【解析】 本小题采用作差比较法,然后对差值分解因式,再辨别每个因式的符号从而得出差值 的结果为大于或等于零,从而证出结论.

答案第 43 页,总 47 页

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证明:∵

m3 n3 m3 ? n3 n3 ? m3 m 3 ? n 3 ?m ? n ? 2 2 ? ?m ?n ? ? ? n m n m nm
n 均为正整数,

?

?

?

?m ? n?2 ?m 2 ? m n ? n 2 ? ,又 m,
n



m3 n3 ? ? m2 ? n2 . n m

170. (1) 【解析】 (2) (3)

171.详见解析 【解析】 试题分 析: 利用 分析 证明 法要 证

a2 ?

1 1 1 ? 3 > a ? ? 3 ,只需 证 a 2 ? 2 ? 3 > 2 a a a
2

a?

1 ? 3 ∵ a >0 ∴两边均大于 0 a

∴只需证 ( a ?

1 1 ? 3)2 > (a ? ? 3) 2 ,即证 2 a a

a2 ?

1 3 1 1 1 1 1 ? (a ? ) ,即证 a 2 ? 2 ? (a 2 ? 2 ? 2) 即证 a 2 ? 2 ? 1 ,由于显然成立, 2 a a 3 a a 3 a

即可证明.

答案第 44 页,总 47 页

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试题解析:证明:要证 a ?
2

1 1 1 1 ? 3 > a ? ? 3 ,只需证 a 2 ? 2 ? 3 > a ? ? 3 2 a a a a
2

∵ a >0 ∴两边均大于 0

∴只需证 ( a ?

1 1 ? 3)2 > (a ? ? 3) 2 , 2 a a

即证 a ?
2

1 3 1 1 1 1 1 ? (a ? ) ,即证 a 2 ? 2 ? (a 2 ? 2 ? 2) 即证 a 2 ? 2 ? 1 2 a a 3 a a 3 a

显然成立∴原不等式成立 考点:分析法证明法. 172.a +
2

16 的最小值是 16. b( a ? b) 16 16 =[ (a-b)+b]2 + b( a ? b) b( a ? b)
16 16 ≥2 4(a ? b)b ? =16. b( a ? b) b( a ? b)

【解析】a2 +

≥4(a-b) ·b+

当且仅当 ? ∴a2 +

?a ? b ? b ?a ? 2 2 ? ,即 ? 时,等号成立. 4 ? ? b? 2 ?(a ? b)b ? b(a ? b) ? ?

16 的最小值是 16. b( a ? b)

173. ? , ? . 9 8 【解析】解: (1) A ? ? x 2 ?

?7 7? ? ?

? ?

x?7 ? ? x ?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,??? x?2 ? ? x?2 ?
b 1 或x ? ? , 2 a

(2) ?2 x ? b??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ?

b ? 0? ?3 1 ? ? 1? ?b ? ?a ? ? ? 2 即 B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? ,故有 ? ?? 2 a? ?2 ? ? ?? 2 ? ? 1 ? 0 ?0 ? b ? 6 ? ? a ?
174.略 【解析】(方法一)证明: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0
答案第 45 页,总 47 页

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所以上式≥0。即有 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 (方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 175.(1) [?

3 5 , ] 2 2

(2) [1, 2]

【解析】 试题分析: (1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段 法即把 x 分为 (?? ?1),[?1, 2],(2, ??) 三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集, 而绝对 值的定义,即 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ( a ? 0) 表示在数轴上点 x 到-1 和 a 的距离之和,利用数 轴即可得到相应的解集 (2)首先由区间的 a ? 2 ,再根据 x 的范围去掉绝对值,剩下即为恒成立问题,再利用分离参 数法分离 x 与 a,求出 x 一边的最值即可.解得 a 的范围. 试题解析: (1)由题得 a=2, f ( x) ? 4 ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上 x 与-1 之间的距离,|x-2|是 x 与 2 之间的距 离 . 故利用数轴法可以求的 f ( x) ? 4 ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? 0 ? ? 的解集为 [?

3 5 ? x ? , 综上 f ( x) ? 4 2 2

3 5 , ]. 2 2
5 2

法二.零点分段法,分为一下三种情况 ①当 x>2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 ? 2 x ? 1 ? 4 ? x ?

②当-1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 ? 3 ? 4 ? x ? R ③当 x<-1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 ? ?2 x ? 1 ? 4 ? x ? ? 综上 f ( x) ? 4 的解集为 [?

3 2

3 5 , ]. 2 2

答案第 46 页,总 47 页

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( 2 )由题得 x ? [a, 2](a ? 0) , 所以 0 ? a ? 2 且 f ( x) ? 4 ? 2 x ? 1 ? a ? 4 ? a ? 2 x ? 3 , 即 a ? 2 x ? 3 在区间 [ a , 2]上恒成立, 所以 a ? (2 x ? 3) max ? a ? 1 , 综上 a 的取值范围为

[1, 2] .
考点:绝对值不等式 恒成立问题

答案第 47 页,总 47 页


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