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丰台区2015年高三年级第二学期统一练习(二)数学(理科)


丰台区 2015 年高三年级第二学期统一练习(二) 数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2015.5

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知 A ? {x x ? 1} , B ? {x x2 ? 2x ? 0} ,则 A ? B ? (A

) {x x ? 0 或 x ? 1} (B) {x 1 ? x ? 2} (C) {x x ? 0 或 x ? 1} (D) {x x ? 0}

2. “a=0”是“复数 z ? a ? bi (a,b∈R)为纯虚数”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 所围成的封闭图形的面积为 (A)

22 3

(B)

28 3

(C)

32 3

(D)

34 3

4.函数 f ( x ) ? ? (A) 1 ? ?? (C) 1 ? ?

? x ? 1, x ? 0, ? 的所有零点的和等于 ? ?2 cos x ? 1, ?2 ? ? x ? 0
3? 2 ? (D) 1 ? 2
(B) 1 ?

3

3 正视图

1

5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左视图面积为 (A) 6 (C) 3

2

? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 俯视图 ? 6.平面向量 a 与 b 的夹角是 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,如果 AB ? a ? b , AC ? a ? 3b , 3 ???? D 是 BC 的中点,那么 AD ?
(A)

9 2 3 (D) 2
(B)

2

3

(B) 2 3

(C) 3

(D) 6

7.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 5 天计算)生产 A,B,C 三种产品共 15 吨(同一时间段内只能生产一种产品) ,已知生产这些产品每吨 所需天数和每吨产值如下表: 产品名称 天 A B C

1 2

1 3

1 4

产值(单位:万元) 则每周最高产值是 (A) 30

4

7 2
(C) 47.5

2

(B) 40

(D) 52.5

8.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ,与 准线 l 交于点 B ,且 AK ⊥ l 于 K ,如果 | AF |?| BF | ,那么 △ AKF 的面积是 (A) 4 (B) 3 3 (C) 4 3 (D) 8

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知正实数 x , y 满足 xy ? 3 ,则 2 x ? y 的最小值是 10.直线 l 的斜率是 ?1 ,且过曲线 ? 方程是
. ;如果 f ( x ) 的导函



? x ? 2 ? 2cos ? , ( ? 为参数)的对称中心,则直线 l 的 ? y ? 3 ? 2sin ?

11.已知函数 f ( x ) ?

1 sin 2 x ? 3 cos2 x ,则 f ( x ) 的最小正周期是 2 ? 数是 f ?( x ) ,则 f ?( ) ? . 6

开始

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

S ? 0,n ?1

P D C E B

1 S?S? n( n ? 1)
否 输出 S 结束

A

n ? 20


O

n ? n ?1
13. 如图所示, △ ABC 内接于⊙ O ,PA 是⊙ O 的切线,PB ? PA ,BE ? PE ? 2 PD ? 4 , 则 PA ? _____, AC ? . 14. 已知非空集合 A , B 满足以下四个条件: ① A ? B ? {1,2,3,4,5,6,7} ;② A ? B ? ? ;③ A 中的元素个数不是 A 中的元素;④ B 中的元素个数不是 B 中的元素. (ⅰ)如果集合 A 中只有 1 个元素,那么 A ? ______; (ⅱ)有序集合对( A , B )的个数是______.

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, A ? 30 , BC ? 2 5 ,点 D 在 AB 边上,且 ?BCD 为锐角,CD ? 2 , △ BCD 的面积为 4. (Ⅰ)求 cos ?BCD 的值; (Ⅱ)求边 AC 的长.
?

16.(本小题共 13 分) 长时间用手机上网严重影响着学生的健康, 某校为了解 A, B 两班学生手机上网的时长, 分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数 据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字) .如果学生平均每 周手机上网的时长超过 21 小时,则称为“过度用网”. A班 B班 (Ⅰ)请根据样本数据,分别估计 A,B 两班的学生平均每周上网时 长的平均值; (Ⅱ)从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据 为“过度用网”的概率; (Ⅲ)从 A 班、B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度 用网”的学生人数为 ? ,写出 ? 的分布列和数学期望 E? . 9 3 4 1 0 7 0 1 2 3 1 1 6 2 5 7

17.(本小题共 14 分) 如图所示,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , BD ? AC 于 O , 且 AA 1 ? OC ? 2OA ? 4 ,点 M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)如果过 A1 , B1 , O 的平面与底面 ABCD 交于直线 l ,求证: l / / AB ; (Ⅱ)当 M 是棱 CC1 中点时,求证: AO ? DM ; 1

? ,当 (Ⅲ)设二面角 A 1 ? BD ? M 的平面角为
2 5 cos ? ? 时,求 CM 的长. 25
B1

A1 D1

C1 A B O M D

C

18.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 10 , an ? ?

?2an ?1 ,

n ? 2k ,

? ?1 ? log 2 an ?1 , n ? 2k ? 1

(k ? N* ) ,其前 n 项和为

Sn .
(Ⅰ)写出 a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求 Sn 的最大值.

19.(本小题共 14 分)

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,其两个焦点与短轴的一个顶点是正 a b
三角形的三个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)动点 P 在椭圆 C 上,直线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 N, PM ? l 于点 M ( M , N 不重合) ,试问在 x 轴上是否存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点,如果存在, 求定点 T 的坐标;如果不存在,说明理由.

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln ax ? 1 ( a ? 0 ). x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)如果关于 x 的方程 ln x ? 1 ? bx 有两解,写出 b 的取值范围(只需写出结论) ;
* (Ⅲ)证明:当 k ? N 且 k ? 2 时, ln

k 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ln k . 2 2 3 4 k

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2015 年高三年级第二学期数学统一练习(二)


答案 D

学(理科)参考答案
5 C 6 A 7 D 8 C B C A

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 题号

一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 6 12. 10. x ? y ? 5 ? 0 13.4; 5 2 11. ? ; ?1 14. {6} ;32

21 22

注:第 11,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S ?BCD ?

1 BC ? CD ? sin ?BCD ? 4 , 2

所以 sin ?BCD ?

2 5 . 5
以 .
2 2 2

因为 ?BCD 为锐角, 所

c ?BCD ?

?

2 5

2

?

5

???????? o 6分

5

(Ⅱ)在 ?BCD 中,因为 DB ? CD ? BC ? 2CD ? BC ? cos?BCD , 所以 DB ? 4 . 因为 DB ? CD ? BC ,
2 2 2

所以 ?CDB ? 90? .

所以 ?ACD 为直角三角形.
? 因为 A ? 30 , 所以 AC ? 2CD ? 4 , 即 AC ? 4 .

????????

13 分 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)A 班样本数据的平均值为

1 (9 ? 11 ? 13 ? 20 ? 24 ? 37) ? 19 , 6

由此估计 A 班学生每周平均上网时间 19 小时; B 班样本数据的平均值为 由 此 估 计 时. B

1 (11 ? 12 ? 21 ? 25 ? 27 ? 36) ? 22 , 6
22 小

班 学 生 每 周 平 均 上 网 时 间 ????????2 分

(Ⅱ) 因为从 A 班的 6 个样本数据中随机抽取 1 个的数据, 为“过度用网”的概率是

1 , 3

所以从 A 班的样本数据中有放回的抽取 2 个的数据, 恰有 1 个数据为“过度用网” 的 概 率 为
1 P ? C2 (

1 ? 3

?



)

2 3

(

???????

4 9

)

?5 分 (Ⅲ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.

P(? ? 0) ?

2 2 C4 C3 2 ? , 2 2 C6 C6 25

P(? ? 1) ?

1 1 2 2 1 1 C4 C2C3 ? C4 C3C3 26 , ? 2 2 C6 C6 75

2 2 2 2 1 1 1 1 C2 C3 ? C4 C3 ? C4 C2C3C3 31 , P(? ? 2) ? ? 2 2 C6 C6 75 2 1 1 1 1 2 2 2 C2 C3 C2 C3C3 ? C4 C2C3 11 1 , P ( ? ? 4 ) ? ? . ? 2 2 2 2 C6 C6 75 C6 C6 75

P(? ? 3) ?

? 的分布列是: ?
P 0 1 2 3 4

2 25

26 75

31 75

11 75

1 75
??????

E? ? 0 ?
??13 分

2 26 31 11 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 25 75 75 75 75 3

17.(本小题共 14 分)

证明: (Ⅰ)因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱柱,所以 A1 B1 BA 是平行四边形.

所以 A1 B1 // AB . 因为 A1 B1 ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , 所以 A1 B1 // 平面 ABCD . 因为平面 A1 B1O ? 平面 ABCD ? l ,
B1 z A1 D1

所以 l // A1 B1 . 所以 l // AB .??????4 分 (Ⅱ)因为 DB ? AC 于 O ,如图建立空间直角坐标系. 因为 AA 1 ? 4 ,且 OC ? 2 AO ? 4 ,
B A O C1 M D y

所以 O(0,0,0) , C (4,0,0) , A( ?2,0,0) ,
C

A1 (?2,0,4) .
因为 M 是棱 CC1 中点,所以 M (4,0,2) . 设 D(0, b,0) ,所以 DM ? (4, ?b,2) , OA 1 ? (?2,0,4) . 所以 DM ? OA 1 ? ?8 ? 0 ? 8 ? 0 . 所以 AO ? DM . 1 ????????8 分

x

???? ?

????

(Ⅲ)设 D(0, b,0) , B(0, c,0) ,平面 A1BD 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 又因为 A 1D ? (2, b, ?4) , A 1B ? (2, c, ?4) ,

???? ?

????

?? ???? ? ?m ? A1 D ? 0 ?2 x ? by ? 4 z ? 0 ? ?? 所以 ? ?? ???? . 2 x ? cy ? 4 z ? 0 m ? A B ? 0 ? ? ? 1
因为 b ? c ,所以 y ? 0 ,令 z ? 1 ,则 x ? 2 ,所以 m ? (2,0,1) . 设 M (4,0, h) ,所以 MD ? (?4, b, ?h) , MB ? (?4, c, ?h) . 设平面 MBD 的法向量为 n ? ( x1, y1, z1 ) ,

??

???? ?

????

?

? ???? ? ? n ? MD ? 0 ??4 x1 ? by1 ? hz1 ? 0 ? ?? 所以 ? ? ???? . ? 4 x ? cy ? hz ? 0 n ? MB ? 0 ? 1 1 1 ? ?
因为 b ? c ,所以 y1 ? 0 ,令 z1 ? 1,则 x1 ? ?

? h h ,所以 n ? ( ? ,0,1) . 4 4

又因为 cos ? ?

2 5 , 25

?? ? ?? ? 2 5 2 5 m?n 所以 cos ? m, n ? ? ,即 ? ? ?? ? 25 25 n m
解得 h ? 3 或 h ?

1?

h 2

h2 5? ?1 16



7 . 6
7 6

所以点 M (4,0,3) 或 M (4, 0, ) . 所 以

CM ? 3
????????14 分



7 CM ? . 6
18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 10 , 所以 a2 ? 2a1 ? 210 ,

a3 ? ?1 ? log2 a2 ? ?1 ? log2 210 ? 9 ,
a4 ? 29 ? 512 .
??3 分 (Ⅱ)当 n 为奇数时, an ? ?1 ? log2 an?1 ? ?1 ? log2 2 即 an ? an?2 ? ?1 . 所以 {an } 的奇数项成首项为 a1 ? 10 ,公差为 ?1 的等差数列. 所以当 n 为奇数时, an ? a1 ? ( 当 n 为偶数时, an ? 2 所以
an?2

??????

? an?2 ?1 ,

n ?1 21 ? n ) ? (?1) ? . 2 2

an ?1 ? 2

21?( n ?1) 2

?2

11?

n 2



? 11? n 2 ? 2 , n ? 2k , an ? ? (k ? N* ) 21 ? n ? , n ? 2k ? 1. ? 2
(Ⅲ)因为偶数项 an ? 2
11? n 2

????????10 分

? 0 ,奇数项 an ?

21 ? n 为递减数列, 2

所以 Sn 取最大值时 n 为偶数. 令 a2k ? a2k ?1 ? 0 ( k ? N ), 即 2
*

11? k

?

21 ? 2k ? 1 ? 0. 2

所以 2

11?k

? k ? 11 .

得 k ? 11 .

所以 Sn 的最大值为 S22 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) ? (10 ? 9 ? ?? 0) ? 2102 .
10 9 1 0

??????? ?13 分 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的焦距 2c ? 2 , 所以 c ? 1 . 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形, 所以 b ? 3c ? 3 , a ? b2 ? c2 ? 2 . 所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????????4 分

(Ⅱ)假设存在点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点. 设 P( x0 , y0 ) , T (t ,0) , PM 的中点为 S . 因为 PM ? l 于点 M ( M , N 不重合) ,且 ?PTN 的平分线过 S , 所以 ?PTS ? ?STN ? ?PST . 又因为 S 为 PM 的中点,

1 PM . 2 1 2 2 即 ( x0 ? t ) ? ( y0 ? 0) ? x0 ? 4 . 2
所以 PT ? PS ? 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 y0 ? 3(1 ?
2 2 x0 ), 4

代入上式可得 2 x0 (1 ? t ) ? (t 2 ? 1) ? 0 . 因为对于任意的动点 P, ?PTN 的平分线都过 S , 所以此式对任意 x0 ? (?2, 2) 都成立. 所以 ?

?1 ? t ? 0
2 ?t ? 1 ? 0



解得 t ? 1 . 所以存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点, 此 时 定 点 的 T







(

.1

,

0

)

????????14 分

20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)函数的定义域为 {x x ? 0}.

ln ax ? 1 , x ? ln ax 所以 f ?( x) ? . x2
因为 f ( x ) ?

1 . a 1 1 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增; a a 1 1 当 x ? ( , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( , ?? ) 上单调递减. a a 1 x? 所 以 当 时 a 1 f ( 最大值 ? x ) ? . f( ) a ???????? 6分 a 0 ? b ?1 l x? n ? ( Ⅱ ) 当 时 , 方 程
因为 a ? 0 ,所以当 f ?( x) ? 0 时, x ? 解. (Ⅲ)由(Ⅰ)得 ????????8 分



b 1 有x



ln x ? 1 1 ? 1 ,变形得 1 ? x ? ln ,当 x ? 1 等号成立.所以 x x

1 ? ln 2 , 2 2 3 1 ? ? ln , 3 2 1?
??

1?


k ?1 k ? ln , k k ?1
以 得 到 当

k ? N*



k?2





1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? ? ln k . ????????10 分 2 3 4 k ln x ? 1 ? 1 ,变形得 ln x ? x ? 1 ,当 x ? 1 等号成立.所以 由(Ⅰ)得 x 3 3 ln ? ? 1 , 2 2 4 4 ln ? ? 1 , 3 3 5 5 ln ? ? 1 , 4 4
??

ln

k ?1 k ?1 ? ?1, k k

* 所以得到 当 k ? N 且 k ? 2 时, ln

又因为 ln

k k ?1 ? ln , 2 2

k ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? . 2 2 3 4 k







k ? N*



k?2





l

k 1 ? n 2

2

?

1 k 3

?

1

1 k . ???????? ? l ? n 13 ? 分 4

?

?

?

?

?

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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