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2.3 数学归纳法


2.3 数学归纳法
一、解答题(共 10 小题;共 130 分) 1. 数列 an 满足 a1 = 1,an = an ?1 + 3n ?1 (n = 2,3,4, ?). (1) 求 a2 ,a3 ; (2) 用数学归纳法证明:an = 2. 已知数列 an = S4 = 81 . (1) 观察上述结果,猜想计算 Sn 的公式; (2) 用数学归纳法证明所提猜想. 3

. 已知函数 f n n ∈ ? 满足条件:(1)f 2 = 2;(2)f xy = f x ? f y ;(3)f n ∈ ?;(4)当 x > y 时, 有f x >f y . (1) 求 f 1 ,f 3 的值; (2) 由 f 1 ,f 2 ,f 3 的值,猜想 f n 的解析式; (3) 证明你猜想的 f n 的解析式的正确性. 4. 数列 an 中,a1 = ? ,an = Sn +
3 2 1 Sn 80 8n 2n ?1 2 × 2n+1
2

3n ?1 2


8 24 25 9

n ∈ ? ,其前 n 项和为 Sn .经计算得 : S1 = ,S2 =

,S 3 =

48 49



+ 2(n ≥ 2).

(1) 求 S1 ,S2 ,S3 ; (2) 猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想. 5. 设 n ∈ ?,f n = 5n + 2 × 3n ?1 + 1. (1) 当 n = 1,2,3,4 时,计算 f n 的值; (2) 你对 f n 的值有何猜想?证明你的猜想. 6. 设 f n = 1 + 2 + 3 + ? + n , 是否存在关 于自然数 n 的函数 g n ,使等 式 f 1 + f 2 + ? + f n ? 1 = g n ? f n ? 1 对于 n ≥ 2 的一切自然数都成立?并证明你的结论. 7. 求证:1 ? + ? + ? +
2 3 4 1 1 1 1 2n ?1 1 1 1

?

1 2n

=

1 n+1

+

1 n+2

+?+

1 2n

,其中 n ∈ ?.

8. 对于任意正整数 n,判断 2n 与 n2 的大小,并加以证明. 9. 是否存在常数 a , b , c 使等式 1 n2 ? 12 + 2 n2 ? 22 + 3 n2 ? 32 + ? + n n2 ? n2 = an4 + bn2 + c 对一切正整数 n 都成立?并证明你的结论. 10. 平面上有 n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点.证明:这 n 条直线将 平面分成 2 n2 + n + 2 个部分.
1

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答案
第一部分 1. (1) 因为 a1 = 1,所以 a2 = 3 + 1 = 4,a3 = 32 + 4 = 13. (2) (i)当 n = 1 时,a1 =
31 ?1 2

= 1,结论成立.
3k ?1 2

(ii)假设当 n = k 时,结论成立,即 ak = ak+1 = ak + 3k = 即当 n = k + 1 时,结论也成立. 根据(i)和(ii)知,an = 2. (1) 猜想:Sn =
3n ?1 2
2

,那么

3k ? 1 3k ? 1 + 2 × 3k 3k+1 ? 1 + 3k = = . 2 2 2

对任何 n ∈ ? 都成立. n ∈ ?
8 32 ?1 32

2n+1 2 ?1 2n+1

(2) 证明: 1 当 n = 1 时,左 = S1 = 9,右 = 2 假设当 n = k 时猜想成立,即 Sk = 那么 Sk+1 = Sk + ak+1 =
2k+1 2 ?1 2k+1
2

= 9,猜想成立.

8

2k+1 2 ?1 2k+1 8 k+1
2

k ∈ ?
2

+

2k+1 2 × 2k+3

? 1 2k + 3 2 + 8 k + 1 2k + 1 2 2k + 3 2 2k + 1 2 2k + 3 2 ? 2k + 3 2 + 8 k + 1 = 2k + 1 2 2k + 3 2 2k + 1 2 2k + 3 2 ? 2k + 1 2 = 2k + 1 2 2k + 3 2 = 2k + 1 =
2k+3 2 ?1 2k+3
2

2



即当 n = k + 1 时猜想也成立. 根据 1 和 2 可知,猜想对 ?n ∈ ? 都成立. 3. (1) f 2 = f 2 × 1 = f 2 ? f 1 , 又 f 2 = 2, f 1 = 1. f 4 = f 2 ? 2 = f 2 ? f 2 = 4,2 = f 2 < f 3 < f 4 = 4,且 f 3 ∈ ? , f 3 = 3. (2) 由 f 1 = 1,f 2 = 2,f 3 = 3,猜想 f n = n n ∈ ? . (3) 用数学归纳法证明: (i)当 n = 1 时,f 1 = 1,函数解析式成立. (ii)假设 n = k 时,f k = k,函数解析式成立. ①若 k + 1 = 2m m ∈ ? ,f k + 1 = f 2m = f 2 ? f m = 2m = k + 1. ②若 k + 1 = 2m + 1 m ∈ ? ,f 2m + 2 = f 2 m + 1 2m = f 2m < f 2m + 1 < f 2m + 2 = 2m + 2. 所以 f 2m + 1 = 2m + 1 = k + 1.即当 n = k + 1 时,函数解析式成立. = f 2 ? f m + 1 = 2 m + 1 = 2m + 2,

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综合①②可知,f n = n n ∈ ? 成立. 4. (1) 因为 n ≥ 2 时,an = Sn ? Sn ?1 , 所以 Sn ? Sn ?1 = Sn + S + 2,
n

1

Sn ?1 +

1 Sn

+ 2 = 0(n ≥ 2),
1

Sn = ? S

n ?1 +2

(n ≥ 2).
2 3 1 S 1 +2

所以 S1 = a1 = ? ,S2 = ?
n+1

= ? ,S3 = ?
4

3

1 S 2 +2

=? .
5

4

(2) 猜想 Sn = ? n+2,下面用数学归纳法证明: (i)当 n = 1 时,S1 = ? 3 = ? 1+2,猜想正确. (ii)假设当 n = k 时猜想正确,即 Sk = ? k+2,那么 Sk+1 = ? 1 1 k+1 +1 = ? k+1 =? , Sk + 2 k+1 +2 ? +2
k+2 n+1 n+2 k+1 2 1+1

这表明当 n = k + 1 时猜想也正确,根据(i)(ii)可知对任意 n ∈ ? ,Sn = ? (2) 猜想:当 n ∈ ? 时,f n = 5n + 2 × 3n ?1 + 1 能被 8 整除. 证明如下: (i)当 n = 1 时,f 1 = 8 能被 8 整除,结论成立. (ii)假设当 n = k 时,结论成立,即 f k 能被 8 整除,那么 f k+1



5. (1) f 1 = 8 = 8 × 1,f 2 = 32 = 8 × 4,f 3 = 144 = 8 × 18,f 4 = 680 = 8 × 85.

= 5k+1 + 2 × 3k + 1 = 5 × 5k + 6 × 3k ?1 + 1 = 5k + 2 × 3k ?1 + 1 + 4 5k + 3k ?1 = f k + 4 5k + 3k ?1 .

这里,5k 和 3k ?1 均为奇数,它们的和 5k + 3k ?1 必为偶数,从而 4 5k + 3k ?1 能被 8 整除. 又依归纳假设,f k 能被 8 整除,所以 f k + 1 能被 8 整除,即当 n = k + 1 时,命题也成立. 根据(i)和(ii)知,命题对任何 n ∈ ? 都成立. 6. 当 n = 2 时,由 f 1 = g 2 ? f 2 ? 1 ,得 g 2 = f
f 1 2 ?1

= 2. = 3,猜想 g n = n n ≥ 2 .

当 n = 3 时,由 f 1 + f 2 = g 3 ? f 3 ? 1 ,得 g 3 = 下面用数学归纳法证明:

f 1 +f 2 f 3 ?1

当 n ≥ 2 时,等式 f 1 + f 2 + ? + f n ? 1 = n f n ? 1 恒成立. (i)当 n = 2 时,由上面计算可知,等式成立. (ii)假设 n = k(k ∈ ? 且 k ≥ 2) 时,等式成立,即 f 1 + f 2 + ? + f k ? 1 = k f k ? 1 k ≥ 2 成立. 那么当 n = k + 1 时, f 1 + f 2 +?+ f k? 1 + f k =k f k ?1 +f k = k+1 f k ?k

1 ?k k+1 = k+1 f k+1 ?1 , = k+1 f k+1 ? 所以当 n = k + 1 时,等式也成立.
第 3 页(共 5 页)

由(i)(ii)知,对一切 n ≥ 2 的自然数 n,等式都成立, 故存在函数 g n = n,使等式成立. 7. (i)当 n = 1 时,左边 = 1 ? = ,右边 =
2 2 1 2 1 3 1 1 1 1+1 1 4

= ,等式成立.
2 1 2k ?1

1

(ii)假设当 n = k 时,等式成立,即 1 ? + ? + ? +

?

1 2k

=

1 k+1

+?+

1 2k

,那么

1 1 1 1 1 1 1 1 ? + ? + ?+ ? + ? 2 3 4 2k ? 1 2k 2 k + 1 ? 1 2 k + 1

1 1 1 1 1 1 1 = 1? + ? +?+ ? + ? 2 3 4 2k ? 1 2k 2k + 1 2 k + 1 1 1 1 1 1 = + + ?+ + ? k+1 k+2 2k 2k + 1 2 k + 1 1 1 1 1 1 = +?+ + + ? k+2 2k 2k + 1 k+1 2 k+1 1 1 1 1 1 = + + ?+ + + k+1 +1 k+1 +2 2k 2k + 1 2 k + 1

即当 n = k + 1 时,等式也成立. 根据(i)和(ii)知,等式对任何 n ∈ ? 都成立. 8. 当 n = 1 时,21 > 12 ;当 n = 2 时,22 = 22 ;当 n = 3 时,23 < 32 ; 当 n = 4 时,24 = 42 ;当 n = 5 时,25 > 52 ;当 n = 6 时,26 > 62 . 由此可以猜想:当 n = 3 时,2n < n2 ;当 n ≠ 3 时,2n ≥ n2 . 事实上,根据上述分析,只要证明当 n ≥ 5 时,2n > n2 ,证明如下: (i)当 n = 5 时,已证,结论成立. (ii)假设当 n = k 时,结论成立,即 2k > k 2 ,那么 2k+1 = 2 × 2k > 2k 2 = k 2 + k 2 . 因为,当 k ≥ 5 时,k 2 ? 2k + 1 = k ? 1 即当 n = k + 1 时,命题也成立. 根据(i)和(ii)知,命题对任何 n ≥ 5 且 n ∈ ? 都成立. 9. 分别令 n = 1,2,3 可得 a + b + c = 0, 16a + 4b + c = 3, 81a + 9b + c = 18, 解得 1 1 a = , b = ? , c = 0. 4 4 以下用数学归纳法证明 1 n2 ? 12 + 2 n2 ? 22 + 3 n2 ? 32 + ? + n n2 ? n2 1 1 = n4 ? n2 4 4 1 2 = n n+1 n?1 . 4
2

? 2 > 0,所 以

2k+1 > 2k 2 = k 2 + k 2 > k 2 + 2k + 1 = k + 1 2 ,

(i)当 n = 1 时,左边 = 右边 = 0,结论成立. (ii)假设当 n = k 时,结论成立,即 1 1 k 2 ? 12 + 2 k 2 ? 22 + 3 k 2 ? 32 + ? + k k 2 ? k 2 = k 2 k + 1 k ? 1 . 4

第 4 页(共 5 页)

则 1 k + 1 2 ? 12 + 2 k + 1 2 ? 22 + 3 k + 1 2 ? 32 + ? + k k + 1 2 ? k 2 + k + 1 = 1 k 2 ? 12 + 2 k2 ? 22 + ? + k k 2 ? k 2 + 1 2k + 1 + 2 2k + 1 + ? + k 2k + 1 1 2 k k+1 = k k + 1 k ? 1 + 2k + 1 4 2 k k+1 = k k ? 1 + 2 2k + 1 4 1 = k+1 2 k+1 +1 k+1 ?1 . 4 这表明当 n = k + 1 时等式也成立. 根据(i),(ii)可知对任意 n ∈ ?,结论成立. 因此,当 a = 4,b = ? 4,c = 0 时,题给等式对一切正整数 n 都成立. 10. (i)当 n = 1 时,1 条直线将平面分成 2 部分,又
1 2 1 1

k+1

2

? k+1

2

12 + 1 + 2 = 2,结论成立.
1

(ii)假设当 n = k 时,结论成立,即 k 条直线将平面分成 2 k 2 + k + 2 部分,那么,当 n = k + 1 时, 第 k + 1 条直线与前面的 k 条直线都相交,有 k 个交点,这 k 个交点将这条直线分成 k + 1 段,且每一 段将原有的平面分成两个部分. 所以,当 n = k + 1 时,这 k + 1 条直线将平面分成的部分为 1 2 1 k +k+2 + k+1 = k+1 2 2 即当 n = k + 1 时,结论也成立. 根据(i)和(ii)知,该结论对任何 n ∈ ? 都成立.

2

+ k+1 +2 .

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