数列通项学案

个性化教案

常见数列通项公式求法
适用学科 适用区域 知识点
数学 新课标 数列的通项公式 等差等比数列数列的判断方法 等差中项，等比中项的应用 数列的前 n 项和公式 等差等比数列前 n 项和的性质

适用年级 课时时长（分钟）

高三 60

教学目标

1、掌握等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式， 并进行相关计算； 2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决 相应的问题． 3、了解等差数列与一次函数的关系．

教学重点 教学难点

关于数列的通项公式及相关计算； 通项公式求法的选择，构造法比较难

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教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 1、数列的相关概念 2、等差等比数列的通项公式及前 n 项和 3、数列课本上的的递推公式及应用

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二、知识讲解
1．利用等差等比数列通项公式 等差数列：an=a1+（n-1)d 等比数列：an=a1×q^(n-1)

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例 1： 设 {an } 是等差数列， 且 a1 ? b1 ? 1 ， {bn } 是各项都为正数的等比数列， a3 ? b5 ? 21 ，

a5 ? b3 ? 13 ，求 {an } ， {bn } 的通项公式。

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2．利用数列的前 n 项和， an ? ?

? a1 ? S1 , n ? 1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2

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例 2：各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk＝ 数列 ak 。

1 ak ak ?1 ( k ? N*),其中 a1=1.Z 求 2

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3．利用递推关系 3．1 递推关系 ?

?an ?1 ? an ? f ? n ? 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a 2 ? f ? 2? , 得

,an ? an? 1 ? f ? n ? 1 ? ，诸式相加，

an ? a1 ? ? f ? k ? ，即为累加法求数列通项公式。
k ?1

n ?1

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， 2， 3， ） 例 3：数列 ?an ? 中， a1 ? 2 ， an?1 ? an ? cn （ c 是常数， n ? 1 ，且 a1，a2，a3
成公比不为 1 的等比数列．求 ?an ? 的通项公式．

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3．2

递推关系 ?

?an ?1 ? f ? n ? an 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,
n ?1

, an ? f ? n ?1? an?1 ，诸式相乘，得

an ? a1 ? f ? k ? ，即为累乘法求数列通项公式。
k ?1

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例 4：已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ，其前 n 项和 S n ? 式。

1 ? n ? 1? bn ，求数列 ?bn ? 的通项公 2

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3．3

递推关系 ?

?an?1 ? pan ? q 其中 p, q, a 为常数且 p ? 1 ? a1 ? a

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ，整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ，所以 ? p ?1? ? ? q ， 即? ?

? ? q q q ? q ? ，从而 an?1 ? ，所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ?1 p ?1 ? p ? 1? ? ?

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例 5：已知数列 {an } 中， a1 ? 2 ， an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) ， n ? 1, 2,3, 式。

求 {an } 的通项公

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3．4 递推关系 ?

?an ?1 ? pan ? f ? n ? 其中 p, a 为常数且 p ? 1 ， f ? n ? 为非常数 ? a1 ? a
an?1 an f ? n ? ，对此采用 3. ? ? p n?1 p n p n?1

由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 pn?1 ，得 1 中所述的累加法可求。

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例 6： 在数列 ?an ? 中， 其中 ? ? 0 ． 求 an 。 a1 ? 2，an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ，

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3．5 递推关系 ?

?an?1 ? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ? 其中 p, q, a, b 为常数 ? a1 ? a , a2 =b

3．5．1 若 p ? q ? 1时， p ? 1 ? q ，即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ，知 ?an?1 ? an ? 为等 比数列，对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。

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例 7： 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ?

5 5 2 , an ? 2 ? an ?1 ? an ， 求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

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4．利用倒数变形， an ?1 ?

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q

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例 8：已知数列 ?an ? 满足： an ?

an?1 , a1 ? 1 ，求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

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三、课堂运用
【基础】 1：等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，a1 ? 1 ? 2，S3 ? 9 ? 3 2 ．求数列 {an } 的通项 an 。

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2：实数列 {a n }是 等比数列, a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列，求数列 {an } 的通项 an 。

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【巩固】
2 n ?1 1：设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3 an ?

n ， a ? N* ．求数列 ?an ? 的通项。 3

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2：数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ， a1 ? 1 ， an?1 ? 2Sn (n ? N* ) ．求数列 ?an ? 的通项 an

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3：已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 ，且 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) ，

n ? N ．求 ?an ? 的通项公式。

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【拔高】 1：数列 ?an ? 满足： a1 ?

3 3nan?1 ，且 an ? 2 2an?1 ? n ? 1

? n ? 2? ，求 an

。

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2：数列 ?an ? 满足： a1 ? 2a ， an ?1 ? 2a ?

a2 an

? a ? 0? ，求数列 ?an ? 的通项公式。

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课程小结
这节课主要复习数列求通项公式的方法，公式法，利用数列的前

n 项和，

? a ? S , n ?1 an ? ? 1 1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2 ，利用递推关系，利用倒数变形。方法

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课后作业
【基础】

1) an ? 1. 相关高考 1： 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0，，
通项公式。

3 ? an ?1 ，n ? 2， 3， 4，… ． 求 {an } 的 2

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2：已知数列 ?an ? ：3，5，7，9，…， 2n ? 1 ，…。另作一数列 ?bn ? ，使得 b1 ? a1 ，且 当 n ? 2 时， bn ? abn?1 ，求数列 ?bn ? 的通项公式。

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【巩固】
2 6 1：数列 ?an ? 中，设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an ?1 ? 3 ，求数列 ?an ? 的通项公式。

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。 2：数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ? 1 ，求 an 。

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【拔高】 1：已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ，其中 x1 ? 0 ， x2 ? a(a ? 0) ， A3 是线段 A1 A2 的 中点， A4 是线段 A2 A3 的中点，…， An 是线段 An?2 An?1 的中点，… （1）写出 xn 与 xn ?1 , xn?2 之间的关系式（ n ? 3 ） 。 （2）设 an ? xn?1 ? xn ，计算 a1 , a2 , a3 ， 并求出数列 ?an ? 的通项公式。

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