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数列通项学案


个性化教案

常见数列通项公式求法
适用学科 适用区域 知识点
数学 新课标 数列的通项公式 等差等比数列数列的判断方法 等差中项,等比中项的应用 数列的前 n 项和公式 等差等比数列前 n 项和的性质

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

教学目标

1、掌握等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式, 并进行相关计算; 2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决 相应的问题. 3、了解等差数列与一次函数的关系.

教学重点 教学难点

关于数列的通项公式及相关计算; 通项公式求法的选择,构造法比较难

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教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容 1、数列的相关概念 2、等差等比数列的通项公式及前 n 项和 3、数列课本上的的递推公式及应用

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二、知识讲解
1.利用等差等比数列通项公式 等差数列:an=a1+(n-1)d 等比数列:an=a1×q^(n-1)

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例 1: 设 {an } 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1 , {bn } 是各项都为正数的等比数列, a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

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2.利用数列的前 n 项和, an ? ?

? a1 ? S1 , n ? 1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2

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例 2:各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk= 数列 ak 。

1 ak ak ?1 ( k ? N*),其中 a1=1.Z 求 2

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3.利用递推关系 3.1 递推关系 ?

?an ?1 ? an ? f ? n ? 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a 2 ? f ? 2? , 得

,an ? an? 1 ? f ? n ? 1 ? ,诸式相加,

an ? a1 ? ? f ? k ? ,即为累加法求数列通项公式。
k ?1

n ?1

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, 2, 3, ) 例 3:数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3
成公比不为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式.

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3.2

递推关系 ?

?an ?1 ? f ? n ? an 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,
n ?1

, an ? f ? n ?1? an?1 ,诸式相乘,得

an ? a1 ? f ? k ? ,即为累乘法求数列通项公式。
k ?1

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例 4:已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 S n ? 式。

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项公 2

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3.3

递推关系 ?

?an?1 ? pan ? q 其中 p, q, a 为常数且 p ? 1 ? a1 ? a

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ?

? ? q q q ? q ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ?1 p ?1 ? p ? 1? ? ?

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例 5:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3, 式。

求 {an } 的通项公

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3.4 递推关系 ?

?an ?1 ? pan ? f ? n ? 其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常数 ? a1 ? a
an?1 an f ? n ? ,对此采用 3. ? ? p n?1 p n p n?1

由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 pn?1 ,得 1 中所述的累加法可求。

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例 6: 在数列 ?an ? 中, 其中 ? ? 0 . 求 an 。 a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,

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3.5 递推关系 ?

?an?1 ? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ? 其中 p, q, a, b 为常数 ? a1 ? a , a2 =b

3.5.1 若 p ? q ? 1时, p ? 1 ? q ,即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ,知 ?an?1 ? an ? 为等 比数列,对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。

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例 7: 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ?

5 5 2 , an ? 2 ? an ?1 ? an , 求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

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4.利用倒数变形, an ?1 ?

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q

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例 8:已知数列 ?an ? 满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

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三、课堂运用
【基础】 1:等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .求数列 {an } 的通项 an 。

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2:实数列 {a n }是 等比数列, a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an } 的通项 an 。

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【巩固】
2 n ?1 1:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3 an ?

n , a ? N* .求数列 ?an ? 的通项。 3

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2:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项 an

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3:已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 ,且 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) ,

n ? N .求 ?an ? 的通项公式。

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【拔高】 1:数列 ?an ? 满足: a1 ?

3 3nan?1 ,且 an ? 2 2an?1 ? n ? 1

? n ? 2? ,求 an



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2:数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a , an ?1 ? 2a ?

a2 an

? a ? 0? ,求数列 ?an ? 的通项公式。

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课程小结
这节课主要复习数列求通项公式的方法,公式法,利用数列的前

n 项和,

? a ? S , n ?1 an ? ? 1 1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2 ,利用递推关系,利用倒数变形。方法

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课后作业
【基础】

1) an ? 1. 相关高考 1: 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,
通项公式。

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… . 求 {an } 的 2

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2:已知数列 ?an ? :3,5,7,9,…, 2n ? 1 ,…。另作一数列 ?bn ? ,使得 b1 ? a1 ,且 当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

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【巩固】
2 6 1:数列 ?an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an ?1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

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。 2:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ? 1 ,求 an 。

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【拔高】 1:已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的 中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,… (1)写出 xn 与 xn ?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , 并求出数列 ?an ? 的通项公式。

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