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珠海市2012-2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题


一、珠海市 1.已知全集 U ? R ,集合 A={y | y=2x,x∈R},则 CU A = A. ? C. (-∞,0] B.(0,+∞) D.R
开 始 n=12, i=1

2.已知 a,b 是实数,则“ ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

?a ? 2 ”是“ a ? b ? 5 ”的 ?b ? 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
是 n=3n+1

n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=5? 是 输出 i 结 束 (第 3 题图) 否

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m 5.已知是虚数单位,复数 A.

1 3 ? i 10 10

i = 3?i 1 3 B. ? ? i 10 10

C. ?

1 3 ? i 8 8

D. ?

1 3 ? i 8 8

6. 函数 y=sin (2x+ A.向左平移

π )的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 4
B.向右平移

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
则 2x+4y 的最小值是

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A.6 B.4 C. ? 2

D. ? 6

8. 对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) , 定义它们之间的一种 “距离” : ‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

二、填空题:

9.函数 y ?

sin x 的导函数 y ? ? x

. .

10.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团): 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 武术社 a 20

高一 高二

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, 按分层抽样的方法从社团成员中抽 取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________. 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C= y

?
3

, b ? 3 ,若△ABC 的面积为

3 3 ,则 c = 2


A F1 O

B

13.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的左、右 a 2 b2 焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 . 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中, 已知曲

F2

x

线 C1 : ?

?x ? t ? 2 ? x ? 3 cos ? , (为参数)与曲线 C2 : ? ,( ? 为参 ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 sin ?
.

(第 13 题图)
D

数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长为

15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙ 的两条 O 割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 . 16.(本小题满分 12 分)

C O P A B (第15题图)

13 设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角.(1)若 a·b= ,求 sinθ+cosθ 6 π 的值;(2)若 a∥b,求 sin(2θ+3)的值. 17.(本小题满分 12 分) 某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角 三角形,俯视图为直角梯形 (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ;

(3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP // 平面 CNB1 ,并求
4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8

BP 的值. PC

侧视图

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , ?AF1 F2 为 a2 b2
正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并 求出此时点 P 的坐标. 20.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2 (1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围; g ( x) 1 (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只 x e 有两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知函数 f ( x) ? 21.(本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: ( 3 )

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32
是 否 存 在 非 零 整 数

? (1 ?

?a 1 1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos n ?1 ? a1 a2 an 2 an ? 1

?



使







对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

一、选择题:CABD 二、填空题: 9.函数 y ?

AADB
. .

sin x 的导函数 y ? ? x

10.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q =

11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团): 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 武术社 a 20

高一 高二

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, 按分层抽样的方法从社团成员中抽 取 30 人 , 结 果 合 唱 社 被 抽 出 12 人 , 则 这 三 个 社 团 人 数 共 有 _______________. y 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=

?
3

, b ? 3 ,若△ABC 的面积为

3 3 ,则 c = 2
2 2


A F1 O

B

13.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 的左、右 2 a b 焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 .

F2

x

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中, 已知曲 线 C1 : ?

(第 13 题图)

?x ? t ? 2 ? x ? 3 cos ? , (为参数)与曲线 C2 : ? ,( ? 为参 ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 sin ?
.
D

数) 相交于两个点 A 、B , 则线段 AB 的长为

15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙ 的两条 O 割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 . 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= 6 ,求 sinθ+cosθ 的值; π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+3)的值.

C O P A B (第15题图)

17.(本小题满分 12 分) 某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18.(本小题满分 14 分)

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角 三角形,俯视图为直角梯形 (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP // 平面 CNB1 ,并求

BP 的值. PC

4 8 主视图 8 4 侧视图

19.(本题满分 14 分) 已 知 椭 圆

C



4 俯视图 8

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , ?AF1 F2 为 a2 b2
正三角形且周长为 6.(1)求椭圆 C 的标准方程及离心率;(2) O 为坐标原点, P 是 直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出此时点 P 的坐标. 20.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2 (1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围; g ( x) 1 (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只 x e 有两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知函数 f ( x) ? 21.(本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: ( 3 )

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32
是 否 存 在 非 零 整 数

? (1 ?

?a 1 1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos n ?1 ? a1 a2 an 2 an ? 1

?



使







对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.


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