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浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


嘉兴市第一中学 2015 学年第一学期期中考试 高二数学 试题卷 命题: 满分分 ,时间分钟 一.选择题(每小题 3 分) 1. 若直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.异面 ) D.异面 2. 已知平面 ? 和直线 l ,则 ? 内至少有一条直线与 l ( A.平行 B.相交 C.垂直 ) D.平行或异面 审题: 2015 年 1

1 月

3. 正三棱锥 S ? ABC 的侧棱长和底面边长相等, 如果 E、F 分别为 SC,AB 的中点,那么异 面直线 EF 与 SA 所成角为 A.90
0

( )
0

B.60

C.45

0

D.30
0

0

4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是 A. ( )

1 2 ? 2 2

B. 2 ?

2

C. 1 ? 2

D. 1 ?

2 2

5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O?xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以 为( )

6. 已知棱长为 1 的正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,P,Q 是面对角线 A1C1 上的两个不同的动点.给 出以下四个结论: ①存在 P,Q 两点,使 BP⊥DQ; ②存在 P,Q 两点,使 BP,DQ 与直线 B1C 都成 45°的角; ③若 PQ=1,则四面体 BDPQ 的体积一定是定值; ④若 PQ=1,则四面体 BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值. 以上各结论中,正确结论的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

7. 设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶点的距 离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有( A.4 个 B.6 个 C. 10 个 D.14 个 )

8. 将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 2-1 的球叠为两层放在桌面上,上层只放一个较小的 球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是( 3 2+ 6 A. 3 B. 3+2 6 3 C. 2+2 6 3 ) 2 2+ 6 D. 3

二.填空题(前三题每空 2 分,后四题每空 3 分) 9. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ,若一球内切于该正方体,则正方体的边长与球的半径之比 为 ;若一球与该正方体的所有棱相切,则正方体的边长与球的半径之比为 ,它们的体

10.在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的表面积之比为 积之比为 .

11. 四 面 体 A ? BCD各 面 都 是 边 长 为 为

的全等三角形,则该四面体的体积 5 , 10 , 13 .

,顶点 A 到底面 BCD 的距离为

12. 点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,则 PB 与 AC 所成的角的大小是 13.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD.

其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号) 14.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点, 如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

15. 球 O 为边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球,P 为球 O 的球面上动点,M 为 B1C1 中点,

DP ? BM ,则点 P 的轨迹周长为

三.解答题(第 16-19 题每题 10 分,第 20 题 12 分)

16. 在边长为 5+ 2的正方形 ABCD 内以 A 为圆心画一个扇形,再画一个⊙O,它与 BC,CD 相 ⌒ 切,切点为 M,N.又与扇形的弧EF切于 K 点(如图) ,把扇形围成圆锥的侧面, ⊙O 为圆锥的底面, (1)求圆锥的母线长 (2)求圆锥的体积.
M C O B F K E D A

N

17.如图,S 是正方形 ABCD 所在平面外一点,且 SD⊥面 ABCD,AB=1,SB= (1)设 M 为棱 SA 中点,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小.



18. 如图,三棱柱 ABC?A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

19. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD.四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2,

∠CDA=45°. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP. ①若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30°,求线段 AB 的长; ②在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到 P、B、C、D 的距离都相等?说明理由.

20. 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AA 且 PC1 ? ?CC1 (0 ? ? ? 1) . 1 ? 2 AB ? 2 AD , (1)求证:对任意 0 ? ? ? 1 ,总有 AP ? BD ; (2)若 ? ?

???? ?

???? ?

1 ,求二面角 P ? AB1 ? B 的余弦值; 3

(3) 是否存在 ? , 使得 AP 在平面 B1 AC 上的射影平分 ?B1 AC ?若存在, 求出 ? 的值, 若 不存在,说明理由.

嘉兴市第一中学 2015 学年第一学期期中考试 高二数学 命题人: 一.选择题 DCCB ACCA 二.填空题 9.2:1, 2 :1 三.解答题 16.(1) 4 2 (2) 10.1:4,1:9 11. 2, 参考答案及评分标准 审核人

12 7

12. 60°

13.①④

14. 1

15.

4 5 ? 5

2 30 ? 3

(1)设扇形半径为 l,即 AE=AF=AK=l,圆 O 的半径为 R,即 OM=ON=OK=R,则 OC= 2R, 由题知 A,K,O,C 共线,于是 AK+KO+OC= 2(5+ 2)=5 2+2.即 l+( 2+1)R= π 5 2+2. 为使扇形和⊙O 能围成一个圆锥, 则圆周长等于扇形弧长, 即 2π R= l, 即 l=4R. 故 2

R= 2. l ? 4 2 (6 分)
1 2 30 2 2 2 (2)圆锥的高 h= l -R = 30,∴圆锥体积 V= π R h= π. (10 分) 3 3 17. (1)解:取 AB 中点 P,连接 MP,DP. 在△ABS 中,由中位线定理得 MP∥SB, ∴∠DMP 或其补角为所求. ∵ ,又
2 2 2



∴在△DMP 中,有 DP =MP +DM ,∴∠DMP=90°, 即异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. (5 分) (2)解:∵SD⊥底面 ABCD,且 ABCD 为正方形, ∴可把四棱锥 S﹣ABCD 补形为长方体 A1B1C1S﹣ABCD, 如图 2,面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角, ∵SC⊥BC,BC∥A1S,∴SC⊥A1S, 又 SD⊥A1S,∴∠CSD 为所求二面角的平面角.

在 Rt△SCB 中,由勾股定理得 SC= 在 Rt△SDC 中, 由勾股定理得 SD=1.



∴∠CSD=45°.即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45°. (10 分) 18. (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C.(4 分) (2)由(1)知 OC⊥AB, OA1⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B, 交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点,OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系 O?xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3), BB1 = AA1 =(-1, 3,0), A1C =(0,- 3, 3). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ? ? ?n· BC =0, ???? ? 则? ?n· BB1 =0. ?

? ?x+ 3z=0, 即? ?-x+ 3y=0. ?

可取 n=( 3,1,-1).

???? ? ???? ? n· A1C 10 ???? ? =- 故 cos?n, A1C ?= . 5 |n|| A1C |
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 .(10 分) 5 ,

19. (I)因为 又 又

平面 ABCD, 所以

平面 ABCD,所以 平面 PAD。 平面 PAD。 (3 分)

平面 PAB,所以平面

(II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A— xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则



中,DE=



设 AB=AP=t,则 B(t,0,0),P(0,0,t)由 AB+AD=4,得 AD=4-t, 所以 ,

(i)设平面 PCD 的法向量为 取 ,得平面 PCD 的一个法向量

,由 ,



,得



,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为

,得

解得

(舍去,因为 AD

),所以

(7 分)

(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 设 G(0,m,0)(其中 )









1+ ? 3 ? t ? m ? ? ? 4 ? t ? m ?
2

2

(1)

由 GD ? GP 得 由(1)、(2)消去 t,化简得

????

??? ?

,(2)

(3)

由于方程(3)没有实数根,所以在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。从而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。(10 分) 20. 解: (I)以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示 设 AB=1,则可得 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,C(0,1,0) ,

B1(1,1,2) ,C1(0,1,2) ,P(0,1,2-2λ ) ∴ ∴ , 可得 =0

,即对任意 0<λ <1,总有 AP⊥BD;…(4 分) ,得 ,

(II)由(I)及

设平面 AB1P 的一个法向量为

可得 ∴平面 AB1P 的一个法向量为

,解之得 , ,

又∵平面 ABB1 的一个法向量为

∴设二面角 P-AB1-B 的大小为θ ,可得 因此可得二面角 P-AB1-B 的余弦值为 …(8 分)

(III) 假设存在实数λ (0<λ <1)满足条件, 由题结合图形,只需满足 分别与 所成的角相等,

即 解得 所以存在满足题意的实数λ =

,约去 .





, 使得 AP 在平面 B1AC 上的射影平分∠B1AC. … (12 分)


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