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广州市2012届高三下一模调研数学(理)


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广东省广州市 2012 届高三下学期一模调研交流数学(理) 试题
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,办是锥体的高. 3

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A={x|l<x≤3},B={x|2≤x≤4},C={x|3<x≤4},则 A.A=(CuB)∩C C. C=(CuA)∩B 2.复数 z ? B. B=(CuA)∩C D. C=A∩B

2?i (i 是虚数单位)的虚部是 2?i
B. ? i

A.

4 i 5

4 5

C.

4 5

D. ?

4 5

3.函数 f ( x) ? log 2 A. 一、三象限 C. 一、二象限

1? x ( x ? 0) 的图象在 ? 1? x

B.二、四象限 D. 三、四象限

4.己知{an}(n∈N*)为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, 则{an}的首项 a1= A.14 B.16 C.18 D.20 5.已知命题 p:“sinα a=sinβ ,且 cosα =cosβ ” ,命题 q:“α =β ” 。则命题 p 是 命题 q 的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分与不必要条件 6.如图 1,正方体 ABCD-A'B'C'D'中,M、E 是 AB 的 三等分点,G、N 是 CD 的三等分点,F、H 分别是 BC、 MN 的中点,则四棱锥 A'-EFGH 的侧视图为

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7.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1、2、3、4、5、 6 的正方体玩具)先后抛掷 2 次,记第一次出现的点数为 m,记第二次出现的 点数为 n,向量 a ? (m ? 2,2 ? n), b ? (1,1), 则 a 和 b 共线的概率为
A.

1 18

B.

1 12

C.

1 9

D.

5 12

8.定义 A*B、B*C、C*D、D*A 的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、 (4),那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是

A. B*D、 A*D

B. B*D、 A*C

C. B*C、 A*D

D. C*D、 A*D

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9. ? (e x ? 2 x)dx =
?1 1



10.已知 e1 ? ( 3 ,?1), e2 ? ( ,

1 3 ), 若 a ? e ? (t 2 ? 3) ? e2 , b ? ?k ? e1 ? t ? e2 , 若 a ? b , 2 2

则实数 k 和 t 满足的一个关系式是
____. .
11.在△ABC 中,若 A=75°,B=45°,AB =6, 则 AC=



k ? t2 t 的最小值为

12.已知点 A(-l, 1)和圆 C: ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 4, 从点 A 发出的一束光线经过 x 轴

反射到圆周 C 的最短路程是__ 13.如图 2 所示的程序框图,其输出结果为

. .

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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 是△ABC 的 外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,
CD ? 2 7 ,AB=BC=3,则 AC=


? 2? 15. (坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点 A(1, ), B(3, ) ,O 是 3 3
极点,则△AOB 的面积等于 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2b cos2 ?x ? b (其中 b>0,ω >0)的最大值为 2,直线

x=x1、x=x2 是 y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|xl-x2|的最小值为
(1)求 b,ω 的值;
(2)若 f (a) ?

? 2

2 5? ,求 sin( ? 4a) 的值. 3 6

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17. (本小题满分 14 分) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重 (单位: 千克) 情况, 将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图 4) ,已知图中从左到右的 前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12。 (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体 数据,若从全省报考飞行员的同学中任选三人, 设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数,求 X 的 分布列和数学期望。

18. (本小题满分 14 分)



如图 5,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是正方形,AA1=2AB=2,E 是 DD1 上的一点. (1)求证:AC⊥B1D; (2)若 B1D⊥平面 ACE,求三棱锥 A-CDE 的体积; (3)在(2)的条件下,求二面角 D-AE-C 的平面角的 余弦值.

19. (本小题满分 12 分)

设双曲线 C1 的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点在 x 轴上且实轴长为 1.若曲线 C2 上

的点到双曲线 C1 的两个焦点的距离之和等于 2 2 ,并且曲线 C3: x 2 ? 2 py (p>0
是常数)的焦点 F 在曲线 C2 上。

(1)求满足条件的曲线 C2 和曲线 C3 的方程;
1 ? (2)过点 F 的直线 l 交曲线 C3 于点 A、B(A 在 y 轴左侧) ,若 AF ? FB ,求 3
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直线 l 的倾斜角。

20. (本小题满分 14 分)

a2、a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列{an}是递增的等差数列,数列

{bn}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? 1 ? bn (n ? N *) (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 Cn =an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

1 2

21(本小题满分 14 分)(注:本题第(2)(3)两问只需要解答一问,两问都答只计第 (2)问得分) 已知函数 f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数,且图像在点(e,f(g))处的切线斜率 为 3(为自然对数的底数) . (1)求实数 a、b 的值;
(2)若 k∈Z,且 k

?

f ( x) 对任意 x>l 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m>n>l(m,n∈Z)时,证明: (nmm ) n ? (mn n ) m

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理科数学参考答案
一、选择题 CDAD ACBB
-1

二、填空题 9.e-e

lO.t(t -3)-2k=0(3 分) ,-2(2 分)

2

11. 2 6

12.8

13.

6 7

14.

3 7 2

15.

3 3 4

三、解答题(以下解答供参考,等价或有效解答都要相应给分) 16.解:(1) f ( x) ? sin 2?x ? b cos 2?x ? 1 ? b sin(2?x ? ? ) ??2 分,
2

? ? ? ??3 分, 2 2? ? T? ? ,所以ω =1??4 分, 2? ?
T ? 2?
解 1 ? b ? 2 得 b ? ? 3 ??5 分,
2

因为 b>0,所以 b ? 3 ??6 分 由 f (a) ?

(2) f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
3

) ??7 分,

2 ? 1 得 sin(2? ? ) ? ??8 分, 3 3 3

5? 3? ? ? ? ? sin( ? 4? ) ? sin[ ? 2(2? ? )] ? ? cos 2(2? ? ) (或设 ? ? 2? ? ,则 2? ? ? ? 6 2 3 3 3 3 5? 3? 5? ? 4? ? ? 2? ,从而 sin( ? 4? ) ? ? cos 2? ) ??10 分 6 2 6

? ? 2 sin 2 (2? ? ) ? 1?11 分, 3
7 ? ? ??12 分. 9
17.解:(1)设报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 pl、p2、p3,则

? p2 ? 2 p1 ? p1 ? 0.125 ? ? ??3 分,解得 ? p2 ? 0.25 ??4 分 ? p3 ?3 p1 ? p ? 0.375 ? p ? p ? p ?(0.0375 ?0.0125 )?5?1 ? 3 ? 1 2 3
因为 p2 ? 0.25 ?

12 ??3 分,所以 n=48??6 分 n

1、由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为

p ? p3 ? (0.0375 ? 0.0125 ) ? 5 ?

5 5 ??8 分,所以 X ~ (3, ) ??9 分 8 8
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所以 p( X ? k ) ? C3 ( ) ( )
k k

5 8

3 8

3? k

, k ? 0,1,2,3 ??11 分

随机变量 X 的分布列为:

??13 分 则 EX ? 0 ?

27 135 225 125 15 5 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? (或 : EX ? 3 ? ? ) ?14 分 512 512 512 512 8 8 8

18.证明与求解: (方法一)(1)连接 AC,则 AC⊥BD??1 分, 因为 BB1⊥面 ABCD,所以,BB1⊥AC??2 分, 因为 BBl∩BD=B,所以 AC⊥平面 BB1D??3 分,所以 AC⊥B1D??4 分。 (2)连接 A1D,与(1)类似可知 A1D⊥AE??6 分, 从而

DE AD 1 1 1 1 1 ? , DE ? ??7 分,所以 VA?CDE ? ? ?1? ?1 ? ??8 分 AD AA1 2 3 2 2 12

(3)设 A1D∩AE=F,AC∩BD=O,B1D∩OE=G,连接 FG, 则 AE⊥FG??9 分, 由等面积关系知 DG ? ∠DFG 是二面角 D-AE-C 的平面角??10 分,

DO ? DE ? OE

2 ??11 分, 3

DF ?

DA ? DE 2 ? DG 5 ? ? ??l2 分,由(2)知 ?DGF ? , sin ?DFG ? ??13 分, 2 DF AE 6 5
6 ??14 分。 6

cos ?DFG ?

(方法二)以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系??1 分。 (1)依题意,D(O,O,O),A(l,O,0),C(O,l,O),B1(l,l,2)??3 分, 所以 AC ? (?1,1,0), DB1 ? (1,1,2) ??4 分, 所以 DB1. AC ? 0, DB1 ? L AC , AC ? B1 D ?5 分。 (2)设 E(O,0,a) ,则 AE ? (?1,0, a) ??6 分,因为 B1D⊥平面 ACE,

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AE ? 平面 ACE,所以 B1D⊥AE??7 分,所以 DB1 ? AE ? 0 ,所以-1+2a=0,
a? 1 1 1 1 1 ??8 分,所以 VA?CDE ? ? ?1? ?1 ? ??9 分 2 3 2 2 12

(3)平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? DC ? (0,1,0) ??10 分,平面 ACE 的一个法向量为

DB1 ? (1,1,2) ??12 分, 由图知,二面角 D-AE-C 的平面角的余弦值为
cos? ? n1.DB1 |n1|.|DB1| ? 1 6 ? ??14 分。 6 6

? b1 ? ? 3, 19.解:(1)双曲线 Cl 满足: ? a1 ??1 分, ?2a1 ? 1. ?
则 C1 ?

1 ? ?a1 ? 2 , ? 解得 ? ??2 分 ?b ? 3 ? ? ?1 2

a12 ? b12 ? 1 ,于是曲线 C1 的焦点 F1(-1,O)、F2(1,0)??3 分,

x2 y2 曲线 C2 是以 F1、F2 为焦点的椭圆,设其方程为 2 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) ??4 分, a2 b2
解?

?2a2 ? 2 2 , ?
2 2 ?a2 ? b2 ? 1. ?

得?

?a 2 ? 2 , ?b2 ? 1.

,即 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 ??5 分, 2

依题意,曲线 C3 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F(O,1)??6 分,
于是

p ? 1 ,所以 p=2,曲线 C3 : x 2 ? 4 y ??7 分 2

(2)由条件可设直线,的方程为 y=kx+l(k>0)??8 分,
由?

? x 2 ? 4 y, ? y ? k x ? 1.

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0, ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0,

由求根公式得: x1 ? 2k ? 2 k ? 1, x2 ? 2k ? 2 k ? 1 ??9 分,
2 2

? 由 AF ?

1 FB 得 ? 3x1 ? x2 ??10 分,于是 ? 3(2k ? 2 k 2 ? 1) ? 2k ? 2 k 2 ? 1 ,解得 3

k2 ?

1 ? 3 ??11 分,由图知 k>0, k ? ,直线 l 的倾斜角为 ??l2 分 3 6 3
2

20.解:(1)解 x -12x+27=0 得 x1=3,x2=9, 因为{an}是递增,所以 a2=3,a5=9??2 分,
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解?

?a5 ? a1 ? 4d ? 9 ?a1 ? 1 ??3 分,得 ? ,所以 an=2n-1??4 分 ?d ? 2 ?a2 ? a1 ? d ? 3
1 1 2 bn 中,令 n=l 得 b1 ? 1 ? b1 , b1 ? ??5 分, 2 2 3

在 Tn ? 1?

当 n>2 时, Tn ? 1 ?

1 1 1 1 bn , Tn?1 ? 1 ? bn?1 , 两式相减得 bn ? bn?1 ? bn ??6 分 2 2 2 2

1 2 bn 1 ? , {bn}是等比数列??7 分,所以 bn ? b1 ? ( ) n?1 ? n ??8 分 bn?1 3 3 3
4n ? 2 ??9 分 3n

(2) cn ? an ? bn ?

Tn ?

4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 ? ? ?? ? ? n ??10 分 1 2 3 3 3 3 3n?1 3 4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 ? ? ?? ? ? n?1 ??11 分 0 1 2 3 3 3 3n?2 3 4 4 4 4n ? 2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ??13 分 1 3 3 3 3

3Tn ?

两式相减得: 2Tn ? 2 ?

? 4?

4n ? 4 2n ? 2 ,所以 Tn ? 2 ? ??14 分 n 3 3n

21 解:(1)f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 a(-x)+(-x)ln|-x+b|=-(ax+xln|x+b|)??2 分,所以 ln|-x+b|=ln|x+b|,从而 b=0??3 分,此时 f(x)=ax+xln|x|,f'(x)=a+l+ln|x|??4 分, 依题意 f'(e)=a+2=3,所以 a=1??5 分
(2)当 x>l 时,设 g ( x) ?

f ( x) x ? x ln x x ? 2 ? ln x / ? ,则 g ( x) ? ?6 分 ( x ? 1) 2 x ?1 x ?1
1 ? 0 ,h(x)在(1,+∞)上是增函数??8 分 x

设 h(x)=x-2-lnx,则 h ( x) ? 1 ?
/

因为 h(3)=l-ln3<0, h(4)=2-ln4>0,所以 ? xo∈(3, 4),使 h(xo)=0??10 分, x∈(1, xo)时,h(x)<O,g'(x)<0,即 g(x)在(1,xo)上为减函数;同理 g(x)在(xo,+ ∞0)上为增函数??12 分,

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从而 g(x)的最小值为 g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 ??13 分 x0 ?1

所以 k<xo∈(3,4),k 的最大值为 3??14 分。
(3)要证 (nm ) ? (mn ) ,即要证 nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn????6 分,
m n n m

即 n(1-m)lnn>m(l-n)lnm,

n ln n min m ??8 分, ? n ?1 m ?1

设 ? ( x) ?

x ln x x ? 1 ? ln x / ,x>1??9 分,则 ? ( x) ? ??10 分 ( x ? 1) 2 x ?1
/

设 g(x)=x-l-lnx,则 g ( x) ? 1 ?

1 ? 0 ??11 分,g(x)在(1,+∞0)上为增函数??12 分, x

?x ? 1 ,g(x)> g(l)=l-l-lnl=0,从而 ? '(x)>O, ? (x)在(1,+∞o)上为增函数??
l3 分,
因为 m>n>l,所以 ? (n)< ? (m) ,

n ln n m ln m ? ,所以 (nmm ) n ? (mn n ) m ??14 分 n ?1 m ?1

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