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数学必修一


高中数学必修 1

第一章 集合与函数 一、集合有关概念:

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫 元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是 或者不是这

个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一 个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需 比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图) : 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

5、 “属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 6、集合的分类: 1. 有限集 含有有限个元素的集合 2. 无限集 含有无限个元素的集合 3. 空集 不 含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就 说两集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2n. 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B, 即:A=B ? A ? B且B ? A

① 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 A ? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④ 如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1. 交集的定义: 一般地, 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集 合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x ∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪ φ = A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就 可以看作一个全集。通常用 U 来表示。
S? S) (2)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ,由 S 中 A

所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 。
CsA

记作: CSA ,即 CSA ={x | x ? S 且 x ? A} (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U

(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使 对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域 即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合 或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不 等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小 于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等 于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义 域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即 称这两个函数相等(或为同一函数) 。

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变 量和函数值的字母无关。 同 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都 应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域, 它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数 值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的 每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点(x, y), 均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法: A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法: 常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换: (1)将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相

?1? y ? a x与y ? a ? x ? ? ? ?a? (2) y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ? loga x与y ? ? loga x ? log 1 x

x

(3) y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x ? a) 左加右减; 上加下减

a

由 f(x)得到 f(x) ? a

(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路; C、提高解题的速度;发现解题中的错误。 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间 的数轴表示. 5.映射 定义:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对 应,那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法 则 f 是确定的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它 与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的 象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6、函数的表示法: 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意

判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个 交点。 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察 函数的特征; 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量 出函数值 补充一:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函 数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别 注明各部分的自变量的取值情况.注意: (1)分段函数是一个函数,不要把它 误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段 值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。 7.函数单调性 (1 ) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自 变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间;

如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个 区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2; 当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2)) 。 (2) 图象的特点

u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增

如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的 图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和 配方) ;4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定 的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性: 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关,其规律如下: 复合函数单调性:口诀:同增异减 注意: 1、 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间 和在一起写成其并集. (4)判断函数的单调性常用的结论

①函数 y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的单调性相反; ②当函数 y ? f ( x) 恒为正或恒有负时, ③函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? C (C 为常数)的单调性相同; ④当 C > 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相同; 当 C < 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相反; ⑤函数 f ( x) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 仍是增(减)函数; ⑥若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是增(减) 函数; 若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是减(增)函 数;
n n ⑦设 f ( x) ? 0 ,若 f ( x) 在定义域上是增函数,则 f ( x) 、k ?f ( x)(k ? 0) 、 f ( x)(n ? 1) 都

y?

1 f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的单调性相反;

1 是增函数,而 f ( x ) 是减函数.

8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就 叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x) 就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数 的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对 于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判 断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(- x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据 定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质 ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 . ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成 “一个奇函数 F ( x) 与 一个偶函数 G ( x) 的和(或差) ”.如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, 则
F ( x) ? f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) G ( x) ? 2 2 , .

⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个 ( f ( x) ? 0 , 定义域是关于原点对称的任意一个数集) . 9、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如 果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数 f[g(x)]的表达 式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可

用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p30 页) (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2) 利用图象求函数的最大(小)值; (3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:
n 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 =0。

n n 注意:(1) ( a ) ? a

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0 (2)当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
n

n

n

2.分数指数幂
n m ? 正数的正分数指数幂的意义,规定: a ? a (a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1) m n
m n

a

_

?

1
m n

(a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

a 正数的正分数指数幂的意义: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r s r ?s (1) a a ? a (a ? 0, r, s ? R) r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R) r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
2 2 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 [(1 ? 2) ] ? 1 ? 2而应= 2 ?1 1

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.即 a>0 且 a≠1
x

2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1

图 像 定义域 R , 值域(0,+∞)

(1)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 (2)在 R 上是减函数 性质 (3)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 (2)在 R 上是增函数 (3)当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1

图象特征 向 x 轴正负方向无限延伸 函数图象都在 x 轴上方 共性 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都 0<a<1 小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都

函数性质 函数的定义域为 R 函数的值域为 R+ 非奇非偶函数 过定点(0,1) 减函数 当 x>0 时,0<y<1;

当 x<0 时,y>1

大于 1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度 较慢; 自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都 a>1 大于 1 在第二象限内的图象纵坐标都 小于 1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增长速度 极快; 注意: 指数增长模型:y=N(1+p)x 指数型函数: y=kax 3 考点: (1)ab=N, 当 b>0 时,a,N 在 1 的同侧;当 b<0 时,a,N 在 1 的 异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利 用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插 进 1(=a0)进行传递或者利用(1)的知识。 (3) 求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子, 值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用 a1=a,用 x=1 去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记

增函数 当 x>0 时,y>1;

当 x<0 时,0<y<1

简写:y=kax

作: x ? log a N

( a— 底数, N— 真数, log a N — 对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0 且 a≠1;2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格 式. 2、两个重要对数:
log10 N记为lg N ; (2)自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N .

(1)常用对数:以 10 为底的对数, 3、对数式与指数式的互化
x ? loga N ? a x ? N

对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论: (1)负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0 特别地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 log N ?N (3) 对数恒等式: a (二)对数的运算性质 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
a

? loga M ? loga N a M ? N) 1、 log( 和

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数

2 、 数差

log a

M ? log a M ? log a N N
n

两个正数的商的对数等于这两个正数的对

(n ? R) 3 、 loga M ? n loga M 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的 对数 n 倍 说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,+∞)

4) 特别注意: loga MN ? loga M ? loga N

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N log c b lg b log a b ? ? ? a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0 ? log a lg a c 注意:换底公式

利用换底公式推导下面的结论 ① (二)对数函数
loga b ? 1 n log b n ? log a b logb a ② loga b ? logb c ? logc d ? loga d ③ am m

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x (a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域是(0,+∞) .

注意: (1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: y ? loga x ?1 , y ? loga x ? 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. (2) 对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1

2、对数函数的图像与性质:对数函数 y ? loga x (a>0,且 a≠1) 0 < a < 1
y

a > 1
y

0

(1,0)

x 0 (1,0) x

图 像 定义域: (0,+∞) 值域:R

过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0 性 在(0,+∞)上是减函数 质 当 x>1 时,y<0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0

重要结论:在 logab 中,当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+ ∞)内时,有 logab>0; 当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有 logab<0. 口诀:底真同大于 0(底真不同小于 0).

(其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 logab 的值) 3、如图,底数 a 对函数 y ? loga x 的影响。 规律: 4 考点: Ⅰ、logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab >0;当 a,b 在 1 的异侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握 利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也 不同利用(1)的知识不能解决的插进 1(=logaa)进行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ,用 y=1 去截图象得到对应的 底数。 Ⅴ、 y=ax(a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数, 图象关于 y=x 对称。 底大枝头低, 头低尾巴翘。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性

来判断. (2) (3) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常

用 1 和 0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数);(2) 作差比较 利用中间值(如:0,1.) ;(3) 变形后比

较;(4)

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都过点(1,1) ; (2)α >0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特别地,当α >1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α <1 时,幂 函数的图象上凸; (3)α <0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于+∞时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。 (实 质上是函数 y=f(x)与 x 轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点? 函数 y=f(x)有零点 3、零点定理:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有 f(a)f(b)<0,
?

那么函数 y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点 c,使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象 联系起来,并利用函数的性质找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点. 2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零 点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把 函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε ; ⑵求区间(a,b)的中点 c; ⑶计算 f(c), ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c))

③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复 ⑵~⑷ 三、函数的应用: (1)评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 (2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0) 指数函数:y=ax(a>1) 幂函数: y=xn( n?N*) 二次函数:y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x 指数型函数: y=kax(k>0,a>1) 对数函数:y=logax(a>1)

(3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区 间。 (4)二次函数模型: y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称 轴,看它在不在定义域内,在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对 称轴最近的点代进求最值。 (5)数学建模: (6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布 两个根都在(m,n )内 两 个 有 且 仅 有 一 个 在 x1∈(m,n) x2∈(p,q) (m,n)内

y

m

m

n

n

x

m

n p
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q) ? 0

q

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 2a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

f(m)f(n)<0

两个根都小于 K

两个根都大于 K

一个根小于 K,一个根 大于 K

y

k

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

x

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

f(k)<0


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