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广西桂林十八中2014届高三第六次月考数学理试题


桂林十八中 11 级高三第六次月考试卷

数 学(理 科)
注意:①本试卷共 2 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请分别用 2B 铅笔填涂选择题的答案、黑色水性笔解答第Ⅱ卷。必须在答题卡上答题,否则不得 分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2?i 1.已知 i 是虚数单位,则 ? 1? i 1 3 3 1 1 3 3 1 A. ? i B. ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2
2.集合 M ? {x | log 2 x ? 1} , N ? {x | x ? 9} ,则 M ? N ?
2

A. (1,3) 3.命题“若 ? ? A.若 ? ?

B. (1,3]

C. [2,3]

D. (2,3]

?
2

,则 sin ? ? 1 ”的逆否命题是 B.若 ? ?

?
2

,则 sin ? ? 1

?
2

,则 sin ? ? 1

C.若 sin ? ? 1 ,则 ? ?

?
2

D.若 sin ? ? 1 ,则 ? ?

?
2

4.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长为 2 5 ,右焦点 F 到渐近线的距离为 5 ,则 C 的方程为 a 2 b2
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 5 5

x2 y 2 ? ?1 20 5

C.

x2 y 2 ? ?1 25 5

D.

x2 y 2 ? ?1 5 25

5.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 900 , AC ? AA1 ? 2 2 , AB ? 2 , M 为 BB1 的 中点,则 B1 与平面 ACM 的距离为 A. 3 B. 2

C.

2 2

D. 1

6.已知定义在 R 上以 2 为周期的奇函数 f ( x) 满足当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x ? A.不存在 B. ?

1 ,则 f (?3) ? f (0) ? x

10 3

C.

8 3

D. ?2

7.已知 S n 是等比数列 ?an 的前 n 项和,如果 a3 ? a6 ? 2 , a4 a5 ? ?8 ,且 a3 ? a6 ,则

?

S9 ? S6

C. ?3 D. ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.设 x, y ? R ,向量 a ? ( x, ?1) , b ? (1, y ) , c ? (4, ?2) ,且 a ? c, b ? c ,则 a ? b ? A. 4 B. 3 A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10

9.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? 2sin x ? cos x 取得最大值,则 cos ? ? A.

5 5

B.

2 5 5

C. ?

5 5

D. ?

2 5 5

10.已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 的距离等于 A.

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点, P 是 C 上一点,若 PF1 ? 2 PF2 ,则 P 到左准线 8 4
C.

16 3

B.

16 2 3

8 3

D.

8 2 3

11.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且每个盒子中的小球个数 都不同,则不同的放法共有( ) A.15 种 B.18 种 C.19 种 D.21 种 12.已知球的直径 SC ? 4 , A, B 是该球球面上的两点, AB ? 3 , ?ACS ? ?BCS ? 30 ,则三棱锥
0

S ? ABC 的体积为
A.

3 3

B. 3

C. 2 3

D. 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? x? y?4?0 ? 13.设实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
m? 2 ? 的展开式中 x 的系数为 60,则正实数 m ? __________ x? ? ? 15.将函数 y ? sin(2 x ? ? )( ? ? ) 的图象向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可 6 2
14.二项式 ? x ? 能值等于 16.设函数 f ( x) 满足 f (e ) ? x ? e ,若对 x ? (0, ??) 都有 a ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围是
x x

? ?

6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , S 为 该 三 角 形 的 面 积 , 且

2sin B ? 2sin 2 B ? cos 2 B ? 3 ? 1 .
(I)求角 B 的大小; (II)若 B 为锐角, a ? 6 , S ? 6 3 ,求 b 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, an ? 0 ,且 S n ? (I)求证数列 ?an ? 是等差数列;
2 an ? an (n ? N *) 2

(II)设数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2 , bn ?1 ? 2bn ? an ,求证:数列 ?bn ? n ? 1? 是等比数列. 19. (本小题满分 12 分)已知 ABC ? A1 B1C1 是底面边长为 2 的正三棱柱, O 为 BC 的中点. (Ⅰ)设 A1O 与底面 A1 B1C1 所成的角的大小为 ? ,二面角 B ? AO ? B1 的大小为 ? , 求证: tan ? ?

3 tan ? ;

(Ⅱ)若点 C 到平面 AB1C1 的距离为

3 ,求正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高. 2

20.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个围棋队各派出三名选手 A 、 B 、 C 和 a 、 b 、 c 并按 A 、 B 、 C 和 a 、 b 、 c 的出场顺序进行 擂台赛(擂台赛规则是:败者被打下擂台,胜者留在台上与对方下一位进行比赛,直到一方选手全部被打 下擂台比赛结束) ,已知 A 胜 a 的概率为

3 ,而 B 、 C 和 a 、 b 、 c 五名选手的实力相当,假设各盘比赛 5

结果相互独立. (Ⅰ)求到比赛结束时共比赛三盘的概率; (Ⅱ)用 ? 表示到比赛结束时选手 A 所胜的盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

21. (本小题满分 12 分)设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以
2

F 为圆心, FA 为半径的圆 F 与 l 切于 B 点,且 ?ABF 的面积为 2 .
(Ⅰ)求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)过 B 作直线与抛物线 C 交于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点,是否存在常数 m ,使 立?若存在,求常数 m 的值;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln 1 ? x 2 ? ax 2 (Ⅰ) 讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ) 证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

FM FN

?

y1 ? m 恒成 m ? y2

?

?

? a ? 1? .

1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ln(n ? 1) (n ? N *) 2 3 n

桂林十八中 11 级高三第六次月考试卷答案

数 学(理 科)
一.选择题:
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A 11 B 12 A

二.填空题:
13. 14 14. 2 15.

? 6

16. [?1, ??)

三.解答题: 17.解: (I)∵ cos 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ??????1 分
由 2sin B ? 2sin B ? cos 2 B ? 3 ? 1 ? sin B ?
2

3 ??????3分 2

在三角形中,则 B ?

? 2? 或B ? .??????5 分 3 3
? , 3

(II)∵ B 为锐角,∴ B ?

由 a ? 6 , S ? 6 3 得, ? 6c sin
2 2 2

1 2

? ? 6 3 ,∴ c ? 4 ,??????7分 3

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 36 ? 16 ? 24 ? 28 ,??????9分 ∴b ? 2 7 ??????10 分

2 an ? an 18.(I)证明:由 S n ? (n ? N *) 知, 2 当 n ? 1 时, 2a1 ? a12 ? a1 ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 0 (舍去)?????1分
2 当 n ? 2 时, 2 S n ? an ? an ?????① 2 2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ?????②?????2分 2 2 ①-②得, 2an ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ?1 ? ( an ? an ?1 )( an ? an ?1 ) ?????4分

又∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 1 ,?????5分 ∴ ?an ? 是以1为公差,首项等于1的等差数列;??????6 分 (II)证明:由(I)知 an ? n ,则 bn ?1 ? 2bn ? n ,?????7 分 设 cn ? bn ? n ? 1 ,则 cn ?1 ? bn ?1 ? (n ? 1) ? 1 ? (2bn ? n) ? n ? 2 ? 2(bn ? n ? 1) ? 2cn ?????10 分

又∵ c1 ? b1 ? 1 ? 1 ? 4 ?????11 分 ∴数列 ?cn ? 是以4为首项,2为公比的等比数列,即数列 ?bn ? n ? 1? 是等比数列.?????12 分 19. 解: (Ⅰ)设正三棱柱的高为 h , ∵ AA1 ? 平面A1 B1C1 , 平面 ABC ? 平面A1 B1C1 , ∴ A1O 与底面 A1 B1C1 所成的角大小等于 A1O 与底面 ABC 所成的角大小,即 ?AOA1 ? ? ,则 tan ? ?

AA1 h ,???2 分 ? AO 3

∵ AB ? AC , O 为 BC 的中点,∴ AO ? BC , 又∵ 平面BB1C1C ? 平面ABC ,交线是 BC , AO ? 平面ABC ,∴ AO ? BB1C1C , ∴ ?BOB1 是二面角 B ? AO ? B1 的平面角,即 ?BOB1 ? ? ,则 tan ? ? ∴ tan ? ?

BB1 ? h ,????5 分 BO
??? ?

3 tan ? ?????6 分

(Ⅱ) 设 O 为 BC 的中点,如图建系,则 AB1 ? (? 3,1, h) , C1 B1 ? (0, 2, 0) , CA ? (1, 3, 0) ,??8 分

????

?????

? ???? ? ? ? n ? AB1 ? 0 设平面 AB1C1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ???? ?????9 分 ? ? ?n ? C1 B1 ? 0 ? ?? 3 x ? y ? hz ? 0 ? 即? ,取 n ? (h, 0, 3) ?????10 分 ? ?y?0 ??? ? ? CA ? n h 3 ? ∴ 点 C 到平面 AB1C1 的距离为 d ? ,?????11 分 ? ? 2 n 2 h2 ? 3

解得 h ? 1 ?????12 分 20.解: (I)设到比赛结束时共比赛三盘为事件 M ,再设在这比赛过程中, A 胜出为事件 A , a 胜出为事 件a 则 P ( M ) ? P ( A ? a ) ? P ( A) ? P (a ) ?

3 3 3 2 2 2 7 , ??????5 分 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 25

(II)由题意知 ? 可能的取值为 0,1,2,3,??????6 分 则 P (? ? 0) ?

3 2 6 3 2 2 18 3 3 27 2 , P (? ? 1) ? ? ? , P (? ? 2) ? ( ) ? ? , P (? ? 3) ? ( ) ? , 5 5 25 5 5 125 5 125 5

∴ ? 的分布列如下:

?
P(? )

0
2 5

1
6 25

2
8 125
??????10 分

3
27 125

? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1?
21.解: (Ⅰ) F (0,

2 5

6 18 27 147 .??????12 分 ? 2? ? 3? ? 25 125 125 125

p p ) , l : y ? ? ??????1 分 2 2
p ) , AF ? BF ? p ? r , 2

由圆的切线性质得 FB ? l ,可得 B (0, ?

由抛物线性质得 A 到 l 的距离等于 AF ? p ,则 ?FAB 是等腰直角三角形,??????3 分 又因为 ?FAB 的面积为 2 ,则

1 1 FA ? FB ? p 2 ? 2 , 2 2
2 2

∵ p ? 0 ,∴ p ? 2 ,从而圆 F 的方程为 F : x ? ( y ? 1) ? 4 .??????5 分 (Ⅱ)设直线 MN 的方程是: y ? kx ? 1 ( k 必存在) ,??????6 分 联立方程组 ?
2

? y ? kx ? 1 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 2 ? x ? 4y
2

∴ ? ? 16k ? 16 ? 0, 即k ? 1 ,且 x1 x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 4k , 则 y1 y2 ?
2 x12 x2 ? ? 1 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 ??????8 分 4 4

由抛物线性质得 FM ? y1 ? 1, FN ? y2 ? 1 ??????9 分 若存在常数 m ,使

FM FN

?

y1 ? m y ? 1 y1 ? m ? 恒成立,则 1 m ? y2 y2 ? 1 m ? y2

? ( y1 ? 1)(m ? y2 ) ? ( y2 ? 1)( y1 ? m) ? m( y1 ? y2 ? 2) ? 2 y1 y2 ? ( y1 ? y2 )
? 4mk 2 ? 4k 2 对任意的 k 2 ? 1 都成立,??????11 分
因此存在常数 m ? 1 ,使
2

FM FN

?

y1 ? m 成立.??????12 分 m ? y2

22.解: (Ⅰ)令 t ? x , g (t ) ? ln(1 ? t ) ? at (t ? 0, a ? 1) ∵ g '(t ) ?

1 ?a 1? t

' ①当 0 ? a ? 1 时,对任意 t ? [0, ??) 都有 g (t ) ? 0 ? g (t ) 是 [0, ??) 上的增函数,

由于当 x ? [0, ??) 时, t ? x 是增函数,当 x ? (??, 0] 时, t ? x 是减函数,
2 2

由复合函数的单调性知, f ? x ? ? ln 1 ? x 2 ? ax 2 在 (??, 0] 单调递减,在 [0, ??) 单调递增;???2分
' ②当 a ? ?1 ,对任意 t ? (0, ??) 都有 g (t ) ? 0 ? g (t ) 是 [0, ??) 上的减函数,

?

?

从而 f ? x ? ? ln 1 ? x 2 ? ax 2 在 (??, 0] 单调递增,在 [0, ??) 单调递减;??????3 分

?

?

1 a ?1 1 a ?1 , g '(t ) ? ?a ?0?0?t ?? ?a?0?t ?? 1? t a 1? t a a ?1 a ?1 则 g (t ) ? ln(1 ? t ) ? at 在 [0, ? ] 递增,在 [? , ??) 递减 a a a ?1 a ?1 ] 和 [0, ? 从而 f ? x ? ? ln ?1 ? x 2 ? ? ax 2 在区间 (??, ? ? ] 单调递增, a a
③当 ?1 ? a ? 0 时,则 g '(t ) ? 在区间 [ ?

a ?1 a ?1 , ??) 和 [? ? , 0] 单调递减; ??????5 分 a a a ?1 a ?1 ] 和 [0, ? ] 单调递增, a a

综上所述,①当 a ? ?1 时, f ( x) 在 (??, 0] 单调递增,在 [0, ??) 单调递减; ②当 ?1 ? a ? 0 时,从而 f ( x) 在区间 (??, ? ? 在区间 [ ?

a ?1 a ?1 , ??) 和 [? ? , 0] 单调递减; a a

③当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (??, 0] 单调递减,在 [0, ??) 单调递增;??????6 分 (Ⅱ) 证明:①当 a ? ?1 时,由(Ⅰ)知, g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0, ??) 单调递减, 令x?

1 1 1 1 1 ,有 g ( ) ? g (0) ,即 ln(1 ? ) ? ? 0 ? ? ln( n ? 1) ? ln n (n ? N *) n n n n n
1 1 1 ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) ??????9 分 2 3 n

累加得 1 ? ②当 a ? ?

1 1 时,由(Ⅰ)知, g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0,1] 单调递增, 2 2 1 1 1 1 1 ?0? ? ln(n ? 1) ? ln n (n ? N *) 令 x ? ,有 g ( ) ? g (0) ,即 ln(1 ? ) ? n n 2n 2n n
累加得 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ln(n ? 1) 2 3 n

??????11 分

从而 ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ln(n ? 1) 对任意 n ? N * 都成立.??????12 分 2 3 n

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ax (Ⅰ) 讨论 f ? x ? 的单调性;

? a ? 1? .

(Ⅱ) 证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ln(n ? 1) (n ? N *) 2 3 n 1 ax ? a ? 1 解: f '( x) ? ?a ? 1? x 1? x
①当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? (?1, ??) 都有 f '( x) ? 0 ? f ( x) 是 (?1, ??) 上的增函数,???2分
' ②当 a ? ?1 ,对任意 t ? (0, ??) 都有 g (t ) ? 0 ? g (t ) 是 [0, ??) 上的减函数,

从而 f ? x ? ? ln 1 ? x 2 ? ax 2 在 (??, 0] 单调递增,在 [0, ??) 单调递减;??????3 分

?

?

1 a ?1 1 a ?1 , g '(t ) ? ?a ?0?0?t ?? ?a?0?t ?? 1? t a 1? t a a ?1 a ?1 则 g (t ) ? ln(1 ? t ) ? at 在 [0, ? ] 递增,在 [? , ??) 递减 a a a ?1 a ?1 ] 和 [0, ? 从而 f ? x ? ? ln ?1 ? x 2 ? ? ax 2 在区间 (??, ? ? ] 单调递增, a a
③当 ?1 ? a ? 0 时,则 g '(t ) ? 在区间 [ ?

a ?1 a ?1 , ??) 和 [? ? , 0] 单调递减; ??????5 分 a a a ?1 a ?1 ] 和 [0, ? ] 单调递增, a a

综上所述,①当 a ? ?1 时, f ( x) 在 (??, 0] 单调递增,在 [0, ??) 单调递减; ②当 ?1 ? a ? 0 时,从而 f ( x) 在区间 (??, ? ? 在区间 [ ?

a ?1 a ?1 , ??) 和 [? ? , 0] 单调递减; a a

③当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (??, 0] 单调递减,在 [0, ??) 单调递增;??????6 分 (Ⅱ) 证明:①当 a ? ?1 时,由(Ⅰ)知, g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0, ??) 单调递减, 令x?

1 1 1 1 1 ,有 g ( ) ? g (0) ,即 ln(1 ? ) ? ? 0 ? ? ln( n ? 1) ? ln n (n ? N *) n n n n n
1 1 1 ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) ??????9 分 2 3 n

累加得 1 ? ②当 a ? ?

1 1 时,由(Ⅰ)知, g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0,1] 单调递增, 2 2 1 1 1 1 1 ?0? ? ln(n ? 1) ? ln n (n ? N *) 令 x ? ,有 g ( ) ? g (0) ,即 ln(1 ? ) ? n n 2n 2n n
累加得 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ln(n ? 1) 2 3 n

??????11 分

从而 ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ln(n ? 1) 对任意 n ? N * 都成立.??????12 分 2 3 n


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