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2.2.4


2.2.4 平面与平面平行的性质定理

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

复习1:平面和平面的位置关系 1、平面和平面有哪几种位置关系?
1)两平面平行 2)两平面相交

没有公共点 有一条公共直线

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必修2 第二章

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点、直线、平面之间的位置关系

复习2:面面平行的判定定理
定理中的线与线、线与面应直线和平面平行的判定定 理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该 直线与此平面平行.(线线平行,线面平行) 具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互 相平行。 平面和平面平行的判定定理是:一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (线面平行,则面面平行) 定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必 须相交,且两条直线都平行于另一个平面。 线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,交线具有什么位置关系?

D1

C1 B1

A1
D

C

A
必修2 第二章

B
点、直线、平面之间的位置关系

平面与平面平行的性质定理
定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行。
符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,a∥b

简述:面面平行→线线平行
例1.如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β , α ∩γ =a,β ∩γ =b,求证:a∥b 证明: ∵α ∩γ =a,β ∩γ =b ∴a?α ,b?β ∵α ∥β ∴a,b没有公共点, 又因为a,b同在平面γ 内, 所以,a∥b
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

几个重要结论
1、若两个平面互相平行,则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面; 2、平行于同一平面的两平面平行; 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个

平面平行; 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

1.若平面α∥平面β,直线a?α,点 B∈β,过点B的所有直线中( D ) A.不一定存在与a平行的直线 B.存在无数条与a平行的直线 C.只有两条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 解析:由直线a和点B可以确定一个平面γ , γ ∩β =b,则b就是唯一的一条满足条件 的直线.故选D. 答案: D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.下列命题正确的是( ) A.夹在两个平行平面间的线段长相等 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.一条直线上有两点到一个平面的距离相 等,则这条直线与这个平面平行 D.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行 解析:对于A,必须是平行线段才相等,所以A错; B错;对于C,直线与平面可能平行,也可能相交; 对于D,过一点可作无数条直线与已知平面平行. 答案: D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

D

3.夹在两个平面间的三条线段,它们平行且 相等,则两平面的位置关系为________. 解析: 平行或相交,如图

答案:

平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系

必修2

定理的应用
例2、求证:夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D

α

A

C

β

B

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文 字语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明 过程。
例2.已知:如图,α∥β,AB∥CD, A∈α ,D∈α , B∈β ,C∈β , α
D

A

求证:AB=CD 证明: ∵AB//CD, B β ∴ 过AB,CD可作平面γ, 且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD. ∵ α//β,所以 BD//AC. ∴ 四边形ABDC是平行四边形. ∴ AB=CD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

C

例3: P是长方形ABCD所在平面外的一点,AB、 PD两点M、N满足AM:MB=DN:NP。 求证:MN∥平面PBC。
N D E A M B C P

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点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用
例4、 如图:a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D 是α 上的点 ,线段AB、AC、AD交于E、F、G点,若BD=4, CF=4,AF=5,求EG.
B C D

a

α

E

F

G

A

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
1.如图,已知α ∥β ,点P是平面α 、β 外的一点(不在 α 与β 之间),直线PB、PD分别与α 、β 相交于点A、B 和C、D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4 cm,AB=5 cm, PC=3 cm,求PD的长. (3)若点P在α 与β 之间,试在(2)的条件下求CD的长.

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

解析: (1)证明:∵PB∩PD=P, ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.又 α∥β,∴AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD, PA PC ∴ = . AB CD 4 3 ∴ =CD. 5 15 27 ∴CD= .∴PD=PC+CD= (cm). 4 4

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点、直线、平面之间的位置关系

(3)由(1)得 AC∥BD, PA PC ∴△PAC∽△PBD.∴PB=PD, PA PC 即 =PD. AB-PA 4 3 3 ∴ =PD,∴PD= . 4 5- 4 3 15 ∴CD=PC+PD=3+ = (cm). 4 4

必修2

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点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上, 点M在B1C上,且CM=DN, 求证:MN∥平面AA1B1B.

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

证明: 如图,作 MP∥BB1, 交 BC 于点 P,连接 NP, CM CP ∵MP∥BB1,∴ =PB, MB1 ∵BD=B1C,DN=CM,∴B1M=BN, CM DN CP DN ∵ =NB ,∴PB= NB, MB1 ∴NP∥CD∥AB, ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又∵MN?面 MNP. ∴MN∥平面 AA1B1B.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证:E、F、B、D四点共面; (2)求证:面AMN∥面EFBD.
A1

D1
N M

E F B1

C1

D

C

A
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

B

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线面平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系


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