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两角差的余弦公式


3.1.1 两角差的余弦公式
昌江矿区中学
一、教学目标 知识与技能目标: 理解两角差的余弦公式的推导过程;掌握两角差的余弦公式的初步应用。 过程与方法目标: 经历用三角函数线、 向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程, 体验和 感受数学发现和创造的过程,体会向量和三角函数间的联系。 情感态度与价值观: 体会探究的乐趣, 认识到世间万物的联系与转化, 养成用辨

证与联系的观 点看问题。创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与 意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数 学思想方法。 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角差的余弦公式及其应用; 2. 教学难点:两角差的余弦公式的推导。 三、学法与教学用具 1. 学法:启发式教学 四、教学设想: (一)导入: 1、 探究:你认为 ? ? ? ) ? cos? ? cos?正确吗? cos( 【设计意图】 :学生由于受思维定势的影响,往往以为此“分配律”成立, 通过特意设置这个思考问题,让学生深刻认识到这一习惯的结论的不正确性, 从而树立不能想当然,要理性思维的良好习惯。同时,让学生体会如何用反例 进行反驳。 【师生活动】 :教师——提出上述问题,并引导学生分析认识到,要验证 一个等式是否成立,可以先通过特例进行初步验证,有一个特例不成立,就可 断言结论不成立;若找不到反例,则可试着去证明它是成立的。
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2. 教学用具:多媒体

学生——尝试检验,取特殊角,进行验证。可知猜想是错误的! 教师—— 那么,如何用单角 ,?的正弦、余弦值正确表 cos(? ? ? )呢? ? 示 (二)探讨过程: 2、运用三角函数定义探索

cos( ? ? )公式 ?

【设计意图】 :通过提出用三角函数定义推导公式,学生会考虑单位圆上 如何做出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的三角函数线,教师利用投影或多媒体,积极引导 学生经历作角——找线——找等量关系的探索过程。 【师生活动】 :教师——数学上讲究从特殊到一般,从简单到复杂,对此 问题,我们也不妨先从 ? 、 ? 、 ? ? ? 三个角都为锐角的情形开始研究,我们 可以借用的工具有什么呢?回到基础,从定义开始。

位圆中,设 、?为锐角 且? ? ?,作出角 ? , 学生—— 建立直角坐标系,在单 ? , ?的终边, 并作出角? ? ?的余弦线。
教师——现在, 问题可转化为什么样的问题?只需要探究出来什么就可以 了呢? 学生——学生基本能够指出,问题转化为:如何用 ? 、 ? 的正弦、余弦 线来表示角 ? ? ? 的余弦线。在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角

? 的终边与单位圆的交点为 P1 , cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可
以用角 ? 的余弦线来表示, 教师——展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探 索 cos ?? ? ? ? 与 cos? 、 cos ? 、 sin ? 、 sin ? 之 间 的 关 系 , 由 此 得 到
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,认识两角差余弦公式的结构.

教师——教师通过展示图形,让学生通过观察猜测结论,肯定结论之后,具体推
广过程请同学们课下完成。

若?、?是任意的角, ? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ?还成立吗? cos( 3、能否用向量方法探究 cos ?? ? ? ? ? ?
【设计意图】 :通过多角度分析,培养学生的自主探究能力,使学生对向量的 坐标表示,向量的数量积有进一步的理解,同时,培养学生严谨的数学品质。 【师生活动】 :教师——思考:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,
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两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明?

学生——在平面直角坐标系 xOy 中作单位圆,以 Ox 为始边作角 ? 、 ? 、从而 写出交点 A、B 的坐标,由数量积坐标公式推导出 cos(? ? ? ) ,尝试推导过程。 教师——引导学生分析整个推理过程,是否有不严谨之处? 师生——依据向量数量积的概念,角 ? ? ? 也必须符合条件,因为 ? 、 ? 是任 意角, ? ? ? 也是任意角。引导学生分析,得出结论。 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处, 体会向量方法的作用与便利 之处. 4、归纳公式的结构特点。 【设计意图】 :使学生进一步熟悉公式,了解公式的结构特征,以便运用公式 解决一些问题或推导其他公式。 【师生活动】 师生——共同分析公式的结构特征: : (1) 任意角 (2) 同名积 (3) 符号反。 教师——此公式称为差角的余弦公式,简记为 C(? ?? ) 5、例 1 利用两角差的余弦公式求 cos15°的值。. 【设计意图】 :初步体验公式用法,增进对公式的理解,培养学生的自学能 力。 【师生活动】 :学生——求解过程独立完成。 教师——通过本例及思考题,点评: (1)公式的正用和逆用, (2)角的拆 分的多样性, (3)诱导公式的运用,并安排如下两个练习,来强化公式的记忆 和理解。

1 练习: . cos175

0

cos550 ? sin 1750 sin 550 ?
2 2

2. cos(? ? 210 ) cos(? ? 240 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 240 ) ?
答案: (1) ?

4 ? 5 6、例2,已知 sin ? ? ,? ? ( ,? ), cos ? ? ? , ?在第三象限,求 cos ? ? ?)的值。 ( 5 2 13

1 2

(2)

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【设计意图】 :进一步理解公式,掌握运用公式应注意的问题,明确思维 的有序性和表述的条理性是三角变换的基本要求。 【师生活动】 :学生——认真审题,求解问题,注意步骤。 教师——对于学生表述的步骤,是否规范作出必要的点评和要求。 点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.

4 5 ,? ? (0, ? ), cos ? ? ? , ?在第三象限, 5 13 求 cos(? ? ? )的值。 1 11 7、思考题: 已知?、?为锐角, cos ? ? , ? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 cos( 7 14
练习:已知 sin ? ? 【设计意图】 :培养学生灵活运用公式的能力,初步体会角的配凑技巧在三角 问题解决中的作用。 【师生活动】 :教师——引导学生比较公式,注意角 ? 与 ? 、? ? ? 间的关系。

? ( 学生——独立思考,不难得出 提示: ? ? ? ?) ?
教师——提问学生说出思路,最后点评: (1)需要构造角(2)需要研究角的 范围。 8、小结:本节课你有那些收获? (1)两角差的余弦公式。 (2)推导两角差的余弦公式的方法。 注意:已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该角所在的象限,从而确定该角的三角函数值符号 【设计意图】 :通过总结,使学生对本节课有一个全面的认识,提高学生的数 学思维能力,培养学生强烈的求知欲望。 【师生活动】 :师生——(1) cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? (2)法一:单位圆 作业设计: (1)课本:P127 1、2、3、4 任选两题 (2)探究 cos(α +β )的公式 法二:向量

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