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平面向量的概念及其线性运算学案


平面向量的概念及其线性运算导学案
邛崃二中 秦家德 考纲解读: 1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几 何表示。 2、掌握向量的加分、减法的运算,并理解其几何意义。 3、掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。 4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。 考情剖析: 从近几年的高考试题来看,向量的线性运算,共线问题是高

考的热点,尤其向量 的线性运算出现的频率较高,多以选择题,填空题的形式出现,属于中低档题。 回归教材,夯实基础 复习教材《必修 4》第 80 页至 89 页然后填空: 1.向量的有关概念 定义 向量 向量的模 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 平行向量 (共线 向量) 思考探究 1: 两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同? 表示法

2.

向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 加法 求两个 向量 和 的运算 ________________法则

a ?b ?
(2)结合律:

____________法则
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(a ? b ) ? c ?

减法

求a与b的 相反向量 -b 的和 的运算 定义

a ?b ?
__________法则

向量 法则(或几何意义) (1)|λa|=_____________ 求实数 λ 与向量 a 的积的 运算 (2)(2)当λ>0 时, λa 与 a 的方 运算律 运算

? ( ?a ) ?

向__________; (3)当λ<0 (? ? ? )a = 时, λa 与 a 的 方 向

数乘

? (a + b ) ?
____________; (4)当λ=0 时,λa=_______.

3.共线向量定理 向量 a (a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得_______________. 思考探究 2: 如果 | a ? b |?| a ? b | ,你能给出以 a , b 邻边的平行四边形的形状吗? 典型例题:
【例 1】给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; → → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为 平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确的序号是________.

题型一:平 平面向量的概念辨析 (2013 年上海高考题改编) 探究提高: (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。 (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。 (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关。 (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象 移动混为一谈。 (5)非零向量 a 与

a a 的关系是: 是 a 方向上的单位向量。 |a | |a |
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变式训练 1:
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且 a 与 b 方向相同,则 a=b; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反; → → (6)若向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点 在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8) 任一向量与它的相反向量不相等. 答案:

题型二:向 向量的线性运算 (教材 P89 例 7 改编)
【例 2】在△ABC 中,D, E 分别为 BC, AC 边上的中点, G 为 BE 上 → → → → 一点,且 GB=2GE, 设AB=a, AC=b,试用 a, b 表示AD, AG.

探究提高: (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的 相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应 的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.

变式训练 2:(2013 年陕西高考题改编)
在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 → → → G 点,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AG.

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题型三:平面向量共线问题(教材 P89 例 6 改编)
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b, BC=2a+8b, CD=3(a-b), 求证:A, B, D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

探究提高: (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a , b 共线是指存在不全为零的实数 ?1 ,?2 , 使 ?1a ? ?2b ? 0 成立; 若 ?1a ? ?2b ? 0 当且仅当 ?1 ? ?2 ? 0 时成立,则向量 a , b 不共线。 变式训练 3:
【2013 年高考四川卷】如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? =________.

感悟与提高: 1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能, 也是向量坐标形式的基础. 2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如 AB / /CD 且 AB 与 CD 不共线,则 AB∥CD;若 AB / / BC ,则 A, B, C 三点共线 3.解决向量的概念问题要注意两点: 一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向; 二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 4.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误。 作业大礼包,亲,不可以拒收哦! 1、教材 P92 习题 B 组,做在书上; 2、《练习册》课时作业 26; 3、《小题狂做》基础过关 20。

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