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导数及其应用学习教材课件PPT


知 识 结 构 Ⅰ、导数的概念 Ⅱ、几种常见函数的导数公式 c? ? 0 (c为常数) (ln x) ?? 1 x (e x) ? ? ex (x n) ? ? nxn ?1 (n ? Q) (sin x) ? ? cos x ,(cos x) ? ? ? sin x ,(loga x) ? ? 1 loga e x , (a x) ? ? a x ln a Ⅲ、求导法则 Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义 ?处 就是曲线 y ? f(x)在点P ?x0 ,f(x0) 的切线的斜率. Ⅵ、导数的应用 1.判断函数的单调性 函数 y ? f(x)在点x0处的导数 f ( ? x0), 2.求函数的极值 3.求函数的最值 例2:用公式法求下列导数: (1)y= (2)y= 解(1)y′= x ? 2 (3x ? 1) 2 (3)y=ln(x+sinx) (4)y= log3 ( x 2 ? 1) e cos x 1 2x ? 1 ( x ? 2) 2 ? (3x ? 1) 2 ? x ? 2 ? 2 ? (3x ? 1) ? 3 2 (3x ? 1) 2 ? ? 6(3x ? 1) ? x ? 2 2 x?2 (2) (3) 1 1 ? cos x y? ? ? ( x ? sin x)? ? x ? sin x x ? sin x 2x 2x ? y ? 2e ? cos x ? e ? sin x (4) 2 x log3 e 1 2 y? ? 2 log3 e ? ( x ? 1)? ? x ?1 x2 ?1 例3、已知f (x) =2x2+3x f ?(1), f ?(0)= 解:由已知得: f ?(x)=4x+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=4+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=-2 ∴ f ?(0)= 4×0+3 f ?(1)=3×(-2)=-6 例4(2001文)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点 x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x) 的单调区间。 分析:f(x)在x=1处有极小值-1,意味着f(1)=-1 且f`(1)=0,故取点可求a、b的值,然后根据求 函数单调区间的方法,求出单调区间 。 略解: ? f (1) ? ?1 ?a? ? ' ? f (1) ? 0 1 3 ,b ? ? 1 2 单增区间为(-∞,-1/3)和(1,+∞) 单间区间为(-1/3,1) 练习巩固: 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在 原点相切,若函数的极小值为-4 (1)求a、b、c的值 (2)求函数的单调区间 答案(1)a=-3,b=0,c=0 (2)单增区间为(-∞,0)和(2,+∞) ? 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f ?(x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切, ∴ f ?(0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f ?(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a ? 2 ? 由已知 f ? ? 3 a ? ? ?4 ? ? 即 8 3 4 3 ? a ? a ? ?4 27 9 解得a=-3 小结: ?导数的应用主要表现在: 1. 利用导数的几何意义求切线的斜率; 2. 求函数的单调区间,只要解不等式f(x) >0或f(x)< 0即可; 3. 求函数f(x)的极值,首先求f `(x),在求f `(x)=

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