当前位置:首页 >> 数学 >>

高三立体几何复习


空间几何体的结构、三视图和直观图
1.多面体的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是 相邻两个四边形的公共边 成的多面体叫做棱柱. 提醒:有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,这些面围 成的几何体不一定是棱柱. ,并且每 ,由这些面所围

(2) 棱 锥 : 有 一 个 面 是

,其余各面都是有一个

的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.

(3)棱台:用一个

棱锥底面的平面去截棱锥, 的部分,这样的多面体叫做棱台.

2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由 绕其任一边所在直线旋转得到; 所在直线旋转

(2)圆锥可以由直角三角形绕其 得到;
1

(3)圆台可以由直角梯形绕 转得到,也可以由 (4)球可以由圆面绕 3.空间几何体的三视图 几何体的三视图有: 、侧视图、

所在直线旋 的平面截圆锥得到; 所在直线旋转得到.

.在

画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.

4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法,在斜二测画法中,原图形中平行 于坐标轴的线段,直观图中 直观图中 ;平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在 .

,平行于 y 轴的线段长度在直观图中

5.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是 线 (课前练习) 1.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等
2

,而中心投影的投影



)

2. 如图, 下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

3.在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示,则相应的侧视 图可以为( )

3

4、正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它 的 对 角 线 , 那 么 一 个 正 五 棱 柱 对 角 线 的 条 数 共 有 ( ) B.15 C.12 D.10

A.20

5、设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a,高为 h,求棱锥的侧棱长和斜 高.

例题 1、下列命题中,正确的是(

)

A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.棱台各侧棱的延长线交于一点

4

练习:下列说法中正确的是(

)

①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点,它们可能是正四面体的 4 个 顶点;②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台;③棱台 的侧面是等腰梯形;④棱柱的侧面是平行四边形. A.①④ C.①③ B.②③ D.②④

例题 2、某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的 是( )

5

A.8 C.10

B.6 2 D.8 2

练习 1:如图所示,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了 某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

6

2 、一个棱锥的三视图如图所示, 则该棱锥的表面积 ( 单位: cm2) 为 ( )

A.48+12 2 C.36+12 2

B.48+24 2 D.36+24 2

例题 3: 已知△ABC 的直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形, 求△ABC 的面积.

7

8

空间几何体的表面积与体积

1.一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的边长为 a,则球的表 面积为( A.4π a2 ) B.3π a2 C.2π a2 D . π a2

2 2.母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的面积是 π, 3 则该圆锥的体积为( A. 2 2 π 81 B. 8 π 81
9

) 4 5 C. π 81 D. 10 π 81

3.设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

A.9π+42 9 C. π+12 2

B.36π+18 9 D. π+18 2

4、已知圆台侧面的母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30° ,一个底面 的半径是另一个底面半径的 2 倍,求两底面的半径与两底面面积之 和.
5、如图所示,已知球 O 的面上有四点 A、B、C、 AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O D,DA⊥平面 ABC, 的体积等于________.

10

例题 1、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(

)

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

11

练习:若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 l 的扇形,则这个 圆锥的表面积与侧面积的比是( A.3∶2 B.2∶1 ) C.4∶3 D.5∶3

例题 2.

某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

)

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

12

已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6, BC=2 3,则棱锥 O—ABCD 的体积为________.

13

等体积法求距离 例 4、如图所示, 是半径为 a 的半圆, AC 为直径, E为 的中点,B 和 C 分别为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED,FB= 5a, (1)求证:EB⊥FD; (2)求点 B 到平面 FED 的距离

AEC

AC



用割补法求不规则几何体的体积 例 4、如图所示,已知 P 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 上的一 个动点,若四棱锥 P-BCC1B1 的体积为 V,则三棱柱 ABC-A1B1C1 的体 积为( ) A.2V B.3V 4V 3V C. 3 D. 2

14

[例 3]

如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC

上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积. 2.如图,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪 去△AOB,将剩余部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A(B)、 C、D、O 为顶点的四面体的体积是________.

15

空间中点、线、面的位置关系
1.空间点、直线、平面之间的位置关系

16

2.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 这个平面内. 在一个平面内,那么这条直线在

公理 2:过 推论:1、 2、 3、

的三点,有且只有一个平面.

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们 过该点的公共直线.

公理 4:平行于同一条直线的两条直线



定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角 .

课前练习: 1.(教材改编题)下列命题正确的个数为( )

①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等, 则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④ 如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2
17

D.3

2.若直线 l 不平行于平面α ,且 l?α ,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交

)

3.已知 a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

)

4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,线段 BB1 与线段 AD1 所成角的余弦值
为( ) 2 A. 3 3 B. 2 1 C.2 2 D. 2

例题 1:如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、 C1B1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线

18

例题 2:设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是________. ①若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面; ②若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线; ③若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; ④若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC.

练习 1: 如图所示, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别为棱 C1D1、 C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线. ④直线 MN 与 AC 所成的角为 60°. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号都填上).

19

2、l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

)

3、如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、 EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________

20

4.下列命题中错误的是(

)

A.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平行于平 面β B.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存在直线 垂直于平面β C.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么 l ⊥平面γ D.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内所有直线都垂直于平面 β

5.已知命题: “若 x⊥y,y∥z,则 x⊥z”成立,那么字母 x,y, z 在空间所表示的几何图形有可能是: ①都是直线; ②都是平面; ③x,y 是直线,z 是平面;④x,z 是平面,y 是直线.上述判断 中,正确的有____________(请将你认为正确的序号都填上).

21

三个空间角的复习
一、异面直线所成的角: 1、定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2、异面直线所成的角: (1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b,把 a′与 b′所成的 (2)范围:(0, ]. 叫做异面直线 a 与 b 所成的角.

例题 1、已知 ABCD—A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1 =2,求: (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积.

22

练习 1:直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1, 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° B.45° ) D.90°

C.60°

2.如图所示是三棱锥 D—ABC 的三视图,点 O 在三个视图中都是所在 边的中点,则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( )

A.

3 3

1 B. 2

C. 3

D.

2 2

23

二、直线与平面所成的角: (1)平面的一条斜线和它在 锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图: 所成的

(2)当直线与平面垂直和平行 (或直线在平面内)时,规定直线和平面 所成的角分别为 三、二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 成的图形叫做二面角. 所组

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面 内分别作 做二面角的平面角. 如图: 的两条射线,这两条射线所成的角叫

24

线、面平行、垂直的证明:
一:直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定 (1)定义:直线与平面 于平面. (2)判定定理: 若 图形: 符号语言: , 则 b∥α . ,则称直线平行

2.直线与平面平行的性质定理 若 图形: 符号语言: ,则 a∥b.

二:平面与平面平行 1.平面与平面平行的判定 判定定理:若 图形: 符号语言: ,则α ∥β

25

2.平面与平面平行的性质定理 若 图形: 符号语言: ,则α ∥β

思考: 1.如果两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线有哪 些位置关系? 2.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面一 定平行吗? 练习: 1.若直线 a 不平行于平面α ,则下列结论成立的是( A.α 内的所有直线都与直线 a 异面 B.α 内可能存在与 a 平行的直线 C.α 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面α 没有公共点 2、已知不重合的直线 a,b 和平面α , ①若 a∥α ,b?α ,则 a∥b; ②若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α ,a?α ,则 a∥α ; ④若 a∥b,a∥α ,则 b∥α 或 b?α . 上面命题中正确的是________(填序号).
26

)

3、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

例题 1:如图,在四棱台 ABCD—A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底 面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°. (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

27

练习:如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点, 在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证:AP∥GH.

28

例题 2、如图,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰 梯形, AB∥CD, 且 AB=2CD, 在棱 AB 上是否存在一点 F, 使平面 C1CF ∥平面 ADD1A1?若存在,求点 F 的位置;若不存在,请说明理由.

29

练习、如图,已知 ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E、B、F、D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F.

30

三、直线与平面垂直: (1)定义: 如果直线 l 与平面α 内的 直,则直线 l 与平面α 垂直. (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条 直,则该直线与此平面垂直. 图形: 符号语言: 直线都垂 直线都垂

(3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线 图形: 符号语言:

四、平面与平面垂直 (1)定义: 如果两个平面所成的二面角是 说这两个平面互相垂直. (2)判定定理: 一个平面过另一个平面的 直. 图形: 符号语言: , 则这两个平面垂 , 就

31

(3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内 直线与另一个平面垂直. 图形: 符号语言:



5、与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α ,b⊥α ? ;(2)a⊥α ,a⊥β ?

例题 1、如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 1 ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD. (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的 体积的比值.

32

练习:如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别 是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45°. (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)试问矩形 ABCD 满足什么条件时,PC⊥BD.

33

例题 2、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB= AD,∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

练习: 如图所示, 在斜三棱柱 A1B1C1— ABC 中, AB=AC, 侧面 BB1C1C ⊥底面 ABC.D 是 BC 的中点. (1)求证:AD⊥CC1; (2)若 AM=MA1,求证:平面 MBC1⊥侧面 BB1C1C

34

例题 3、如图所示,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2, AD = 4 , 将 △ CBD 使平面 EDB⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E—ABD 的侧面积. 沿 BD 折 起 到 △ EBD 的 位 置 ,

35

练习:如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

36

练习 1、如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB =60° , 面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D—PBC 的高. AB=2AD,PD⊥底

2、如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2, M 是棱 CC1 的中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

37


相关文章:
立体几何高三第一轮复习(含知识点)
立体几何高三第一轮复习(含知识点)_数学_高中教育_教育专区。立体几何知识点梳理一、空间几何体 1。多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的...
高三立体几何一轮复习教案
高三立体几何一轮复习教案 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 立体几何 1 空间几何体表面积与体积运算 一、空间几何体的分类 ? ?棱柱 ? ? ?多面体?棱锥 ?棱...
高考立体几何知识点总结(详细)
高考立体几何知识点总结(详细)_数学_高中教育_教育专区。高考立体几何知识点总结...高考立体几何知识点总结... 4页 免费 高三空间向量与立体几何... 4页 免费喜欢...
立体几何专题复习要点(分块)
立体几何专题复习要点(分块)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何复习要点基本几何体 1. 柱体 棱柱——有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每...
高三立体几何专题复习
因此在主体几何的总复习 中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能, 通过对问题的分析与概括, 掌握立体几何中...
上海高三立体几何复习教师版
上海高三立体几何复习教师版_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 上海高三立体几何复习教师版_数学_高中教育_教育专区。学员编号: 学员姓名...
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
文科立体几何知识点、方法总结高三复习_数学_高中教育_教育专区。立体几何知识点整理一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l α l // m ? ? m ? ? ...
高三一轮复习立体几何学案
高三理科数学复习导学案 长春市第一中学高三数学组 立体几何 第3讲编制: 空间点、直线、平面之间的位置关系审核:赵景春 审批: 日期: 一、复习目标: 1.理解空间...
第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何理科--第一轮
第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何理科--第一轮_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何题型总结(2015 版理科)重要定理:直线与平面垂直的判定定理:如果一...
2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案
2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学二轮专题复习 立体几何数学组:肖本贵 一、近几年高考考点分析 新...
更多相关标签: