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福建省厦门外国语学校2012届高三11月月考试题(数学文)


座位号

高三数学(文科)月考试卷(2011-11-10)
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则 圆台较小底面的半径为( ) (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 3 2.下列四个几何体中,每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是 ( )<

br />
A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 3.b2=ac 是实数 a,b,c 成等比数列的什么条件 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

? 4. 下列四个函数中,以 ? 为最小正周期,且在区间 ( , ?) 上为减函数的是( 2
(A) y ? sin 2 x (B) y ? 2 cos x (C) y ? ? tan x ( )

(D) y ? cos

x 2

5. 函数 y ? x ? 2sin x, x ?[ ? , ] 的图象是 2 2
y
?
?

? ?

y
?
2
?

?
2

?
2

?
2

?

?
3

3

O

x

O

x

(?)

( B)

y
?
?

y
?
2
?

?
2

?
2

?

?
6

6

?

?
3

?
3

?
2

O

x

O

x

( C)
2 2

(D)

6.已知非零向量 a、b 满足 a·b=0 且 3a ? b , 则a与b-a 的夹角为( A.

) D.

2? 3

B.

? 3

C.

5? 6

? 6

7.如图,在 ?ABC 中, | BA |?| BC | ,延长 CB 到 D,使

??? ?

??? ?

??? ???? ???? ? ??? ? ??? ? AC ? AD, 若AD ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的值是(



A.1 B.3 C.-1 D.2 8.已知三条不重合的直线 m、n、l 与两个不重合的平面 α、β,有下列命题: ①若 m∥n,n? α,则 m∥α;②若 l⊥α,m⊥β 且 l∥m,则 α∥β;③若 m? α,n? α, m∥β,n∥β,则 α∥β;④若 α⊥β,α∩β=m,n? β,n⊥m,则 n⊥α.其中正确的命题个 数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 k*s*5u 9.设某工厂生产总值月平均增长率为 p,则年平均增长率为( ) 12 A.p B.12p C.(1+p) D.(1+p)12-1 10.若正项等差数列{an}和正项等比数列{bn},且 a1=b1,a2=b2,公差 d>0,则 an 与 bn(n≥3)的 大小关系是( ) A.an>bn B.an≥bn C.an<bn D.an≤bn 11.三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,且长度分别为 3、4、5,则三棱 锥 P-ABC 外接球的表面积是 ( ) A. 20 2? B. 25 2? C. 50? D. 200?

12、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大 值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5

二、填空题(每小题 4 分,4 个小题共 16 分) 13、一个正方体的各定点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的表面 积为 .

14、如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,M、N、P、Q、R、S 分别是 AB、BC、C1D1 、C1C 、 1

A1B1 、 B1B 的中点,则下列判断:k*s*5u
(1)PQ 与 RS 共面; (2)MN 与 RS 共面; (3)PQ 与 MN 共面; 则正确的结论是_____

14 题

15.如图,在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,D 为棱 AA 的中点,若截面 1

A1

C1

?BC1 D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为



B1 D

A

C B 第(11)题

16. 已知 an ? 2 ? ( 1 ) n ,把数列 ?an ?的各项排成三角形状; 3

a1

a2
a5

a3
a7

a4

a6

a8
.

…… 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8)=

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,且 a2 ? 3 ,又 a4 , a5 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求使 an ? Sn 成立的所有 n 的值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC= PA=AC=a,PB=PD=

? , 3

2a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.

(I)证明 PA⊥平面 ABCD; (II)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin ? x cos ? x ?1 ? 2sin 2 ? x(? ? 0) ,且函数 f ( x ) 的最小正周 期为 ?. (1)若 x ? ? ?

? ? ? , ? ? ,求函数 f ( x) 的单调递减区间; ? 6 ?
1 ,把所 2

(2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 得到的图象再向左平移 区间 [0,

?
8

? 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 求函数 y ? g ( x) 在 6

] 上的最小值。k*s*5u

20. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? ?? x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ? ?0, ? . 2 2 2 2 ? 2?
3 ,求实数 ? 的值。 2

(1)求 a·b 及|a+b|; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | (? ? 0) 的最小值是 ?

21. (本题满分 12 分) 如图,已知 ABCD 为平行四边形, ?A ? 60? , AF ? 2 FB , AB ? 6 ,点 E 在 CD 上, EF // BC , BD ? AD , BD 交 EF 于点 N ,现将四边形 ADEF 沿 EF 折起,使点 D 在 平面 BCEF 上的射影恰在直线 BC 上. (Ⅰ) 求证: BD ? 平面 BCEF ; (Ⅱ) 求折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值; (Ⅲ) 求三棱锥 N ? ABF 的体积.

17.解

22.(本小题满分 14 分)

1 1 9 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 0) . 3 2 2 (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x) 的单调递增区间;
(Ⅱ)求证:曲线 y ? f ( x) 总有斜率为 a 的切线; (Ⅲ)若存在 x ? [?1, 2] ,使 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

高三数学(文科)月考试卷(2011-11-10) (答题卷)
一、选择题(每小题 5 分,12 个小题共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7 8 9 10 11 12

考号

二、填空题(每小题 4 分,4 个小题共 16 分)

13、 15、 班级座号 (请不要在密封线内答题)

14、 16、

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) k*s*5u

班级

姓名

18.(本题满分12分)

19. (本小题满分12分)

20. (本小题满分12分)

21. (本小题满分 12 分)

22. (本小题满分 14 分)

高三数学(文科)月考试卷(2011-11 ) (参考解答)
一、选择题(每小题 5 分,12 个小题共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B C A A 二、填空题(每小题 4 分,4 个小题共 16 分) 13.24 14. (1)(3) 、 15. 8 7 B 8 B 9 D 10 C 11 C 12 C

3

16. 8

3 2? ( 1 )89 3

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)因为 a4 , a5 , a8 成等比数列,
2 所以 a5 = a4a8 .

……………………………………2 分

设等差数列 {an }的公差为 d ,则

(a2 + 3d )2 = (a2 + 2d )(a2 + 6d ) .
因为 a2 = 3 , 所以 d + 2d = 0 . 因为 d ? 0 , 所以 d = - 2 . 所以 an = - 2n + 7 . (Ⅱ)由 an = - 2n + 7 可知: a1 = 5 . 所以 S n =
2

……k*s*5u……………4 分

………k*s*5u…………6 分 ……………………………………7 分

( a1 + an )n 2 (5 + 7 - 2n)n = = 6n - n 2 . 2
2

……………………………………9 分 ……………………………………11 分

由 an = Sn 可得: - 2n + 7 = 6n - n . 所以 n = 1 或 n = 7 . ……………………………………12 分

18.(Ⅰ)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ) 当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC,证明如下, 取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM//CE. ①

E M?


1 PE ? 2

ED ,
知 E 是 MD 的中点.

连结 FD,设 FD ? EC=N,则 N 为 FD 的中点. 连结 BD,设 BD ? AC=O,则 O 为 BD 的中点. 所以 BF//ON. ② 又 BF ? 平面 BFM,BF ? 平面 AEC,所以 BF//平面 AEC. 19.

20.

21.证明: (Ⅰ)EF⊥DN,EF⊥BN, ∴EF⊥平面 BDN, ∴BC⊥平面 BDN,∴BC⊥BD 设 D 在平面 BCEF 上的射影 O 在直线 BC 上 则 BC⊥BO ∴D 在平面 BCEF 上的射影 O 即为点 B,即 BD⊥平面 BCEF. (Ⅱ)在线段 BC 上取点 M,使 BM=FN,则 MN//BF ∴∠DNM 或其补角为 DN 与 BF 所成角。 又 MN=BF=2, DM= BD2 ? BM 2 ? 10 , DN ? 2 3 。

--------4 分

DN 2 ? MN 2 ? DM 2 3 ∴ cos ?DNM ? ? 2 DN ? MN 4
∴折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值为

3 。 4

(Ⅲ)∵AD//EF, ∴A 到平面 BNF 的距离等于 D 到平面 BNF 的距离, ∴ VN ? ABF ? V A? BNF ? VD ? BNF ?

1 3 S ?BNF ? BD ? 3 2
--------12 分

即所求三棱锥的体积为

3 . 2

22.(本小题满分 14 分)

1 3 9 解: (Ⅰ)当 a ? 3 时,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? . 3 2 2

f '( x) = x2 - 3x .
2 令 f '( x) = x - 3x > 0 , 解得 x < 0 或 x > 3 .

……………………………………2 分 ……………………………………3 分

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, 0) , (3, ??) . ……………………………………4 分 (Ⅱ) f '( x) = x - ax
2 令 f '( x) = x - ax = a ,即 x - ax - a = 0 .
2

2

因为 a > 0 , 所以 ? = a + 4a > 0 恒成立.
2 2

……………………………………6 分

所以方程 x - ax - a = 0 对任意正数 a 恒有解.……………………………………7 分 所以 曲线 y ? f ( x) 总有斜率为 a 的切线. ……………………………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知: f '( x) = x2 - ax . 令 f '( x) = x2 - ax = 0 ,解得 x1 = 0, x2 = a . . ……………………………………9 分

因为 a ? 0 ,所以当 0 < a < 2 时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表

x
f '( x)

- 1

(?1, 0)
+

0
0

(0, a )


a
0

( a, 2)
+ ↗

2

f ( x)

25 - 3a 6



9 2

27 - a 3 6

43 - 12 a 6

25 - 3a 27 - a 3 > 0, > 0, 因为 6 6
所以,对于任意 x ? [ 1, 2] , f ( x) > 0 .即此时不存在 x ? [?1, 2] ,使 f ( x) ? 0 成立. ……………………………………11 分 当 a ? 2 时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表

x
f '( x)

- 1

(?1, 0)
+

0
0

(0, 2)
-

2

25 - 3a 9 ↗ ↘ 6 2 25 - 3a 43 - 12a 3a - 6 = 0, 因为 6 6 2 43 - 12 a 所以,函数 f ( x) 在 [- 1, 2] 上的最小值是 . 6

f ( x)

43 - 12 a 6

因为存在 x ? [?1, 2] ,使 f ( x) ? 0 成立,

43 - 12a < 0. 6 43 . 所以, a > 12 43 所以 a 的取值范围是 ( , + 12
所以,

……………………………………13 分

).

……………………………………14 分


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