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【步步高】2016高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教师用书 理 苏教版


§2.3

函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=- 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数 2.周期性

f(x),那么函数 f(x)是奇函数

关于原点对称

(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值 时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做函数 f(x)的最小正周期. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × ) )

(2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.( √

(3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ ) (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2.( √ ) ?x-2??x+a? (5) 函数 f(x) 在定义域上满足 f(x + a) =- f(x)(a>0) ,则 f(x) 是周期为 2a 的周期函 数.( √ ) (6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 016)=0.( √ )

x

1 2 1.(2013·山东改编)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(-1)=

x

________. 答案 -2 解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.
1

2.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 答案 1 3

2

解析 依题意 b=0,且 2a=-(a-1), 1 1 ∴a= ,则 a+b= . 3 3 3 .(2014·四川 ) 设 f(x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[- 1,1) 时, f(x) =
? ?-4x +2, -1≤x<0, ? ?x, 0≤x<1, ?
2

3 则 f( )=________. 2

答案 1 解析 函数的周期是 2, 3 3 1 所以 f( )=f( -2)=f(- ), 2 2 2 1 1 2 根据题意得 f(- )=-4×(- ) +2=1. 2 2 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 解析 画草图如图所示,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为 (-1,0)∪(1,+∞).

题型一 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x -x; (2)f(x)=(x+1)
?x +x, ? (3)f(x)=? 2 ?-x +x, ?
2 3

1-x ; 1+x

x<0, x>0.

解 (1)定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x) -(-x)=-x +x=-(x -x) =-f(x), 所以函数为奇函数. 1-x (2)由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x
2
3 3 3

∵函数定义域不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数. (3)当 x>0 时,-x<0,f(x)=-x +x, ∴f(-x)=(-x) -x=x -x =-(-x +x) =-f(x); 当 x<0 时,-x>0,f(x)=x +x, ∴f(-x)=-(-x) -x=-x -x =-(x +x)=-f(x). 所以对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 均有 f(-x)=-f(x). ∴函数为奇函数. 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇 函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (1)若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则下列命题正确的 是________. ①f(x)与 g(x)均为偶函数; ②f(x)为偶函数,g(x)为奇函数; ③f(x)与 g(x)均为奇函数; ④f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 -3,则 f(-2)=________. 答案 (1)② (2)-1 解析 (1)由 f(-x)=3 +3 =f(x)可知 f(x)为偶函数,由 g(-x)=3 -3 =-(3 -3 ) =-g(x)可知 g(x)为奇函数. (2)∵f(2)=2 -3=1. 又 f(x)为奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=-1.
2 -x

x

-x

x

-x

x

x

-x

x

x

-x

3

题型二 函数周期性的应用 例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) ; 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)=________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 则 f(105.5)=______. 答案 (1)336 (2)2.5 解析 (1)利用函数的周期性求解. ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) , 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,
2 2

1 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x, f?x?

f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)+f(2 016) 2 016 =1× =336. 6 又 f(2 016)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)=336. (2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] =- 1 1 =- =f(x). f?x+2? 1 - f?x?

故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质. 对函数周期性的考查, 主要 涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. (2)求函数周期的方法

4

(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数, 且满足 f(1)=1, f(2)=2, 则 f(3)-f(4) =________.

? 5? (2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?- ?=________. ? 2?
1 答案 (1)-1 (2)- 2 解析 (1)由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知

f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,
∴f(3)-f(4)=-1. (2)∵f(x)是周期为 2 的奇函数,

? 5? ? 5 ? ? 1? ?1? ∴f?- ?=f?- +2?=f?- ?=-f? ? ? 2? ? 2 ? ? 2? ?2?
1 ? 1? 1 =-2× ×?1- ?=- . 2 ? 2? 2 题型三 函数性质的综合应用

?1? 例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 的取值 ?3?
范围是________. (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若 a =f(-25),b=f(11),c=f(80).则 a、b、c 的大小关系为________.

?1 2? 答案 (1)? , ? ?3 3?

(2)a<c<b

解析 (1)偶函数满足 f(x)=f(|x|),根据这个结论,

?1? ?1? 有 f(2x-1)<f? ??f(|2x-1|)<f? ?, ?3? ?3?
1 进而转化为不等式|2x-1|< , 3

5

?1 2? 解这个不等式即得 x 的取值范围是? , ?. ?3 3?
(2)由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期,

f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11),即 a<c<b.
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未 知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:①f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).②若奇函数在

x=0 处有意义,则 f(0)=0.
(1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)= ________. (2)(2013·天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递 增.若实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是________.
2
2

?1 ? 答案 (1)-3 (2)? ,2? ?2 ?
解析 (1)∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1) -(-1)]=-3. (2)由题意知 a>0,又 log 1 a=log2a =-log2a.
2
-1 2 2

∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(log2a)=f(-log2a)=f( log 1 a).
2

∵f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),
2

∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). 又因 f(x)在[0,+∞)上递增. ∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,

?1 ? ∴a∈? ,2?. ?2 ?

忽视定义域致误

6

k-2 典例:(1)若函数 f(x)= x在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k·2
? ?x +1,x≥0, (2) 已知函数 f(x) = ? ?1,x<0, ?
2

x

则满足不等式 f(1 - x )>f(2x) 的 x 的取值范围是

2

________. 易错分析 (1)解题中忽视函数 f(x)的定义域,直接通过计算 f(0)=0 得 k=1. (2)本题易出现以下错误: 由 f(1-x )>f(2x)得 1-x >2x,忽视了 1-x >0 导致解答失误.
2 2 2

k-2 k·2 -1 解析 (1)∵f(-x)= , -x= x 1+k·2 2 +k
∴f(-x)+f(x) ?k-2 ??2 +k?+?k·2 -1?·?1+k·2 ? = x x ?1+k·2 ??2 +k? = ?k -1??2 +1? . x x ?1+k·2 ??2 +k?
2 2 2x

-x

x

x

x

x

x

由 f(-x)+f(x)=0 可得 k =1, ∴k=±1.
?x +1,x≥0, ? (2)画出 f(x)=? ? ?1,x<0
2 2

的图象,

由图象可知,若 f(1-x )>f(2x),
?1-x >0, ? 则? 2 ?1-x >2x, ?
2

?-1<x<1, 即? ?-1- 2<x<-1+ 2,
得 x∈(-1, 2-1). 答案 (1)±1 (2)(-1, 2-1) 温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时,应高度关注:①对变量所在区间的讨论;②保证各段上同 增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系;③弄清最终结果取并集还是交集.

方法与技巧 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是 函数具有奇偶性的一个必要条件.
7

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题: ①求函数值;②求解析式;③求函数解析式中参数的值;④画函数图象,确定函数单调性. 3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数. f?x? f?x? 失误与防范 1.f(0)=0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件. 2.判断分段函数的奇偶性要有整体的观点,可以分类讨论,也可利用图象进行判 断 .

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.(2013·广东改编)定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2sin x 中,奇函 数的个数是________. 答案 2 解析 由奇函数的定义可知 y=x ,y=2sin x 为奇函数. 2.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则 f(7)等于 ________. 答案 -2 解析 f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.
? ?x +1,x>0, 3.(2014·福建改编)已知函数 f(x)=? ? ?cos x,x≤0,
2 2 3 3

x

2

则下列结论正确的是________.

①f(x)是偶函数; ③f(x)是周期函数; 答案 ④

②f(x)是增函数; ④f(x)的值域为[-1,+∞).

?x +1,x>0, ? 解析 函数 f(x)=? ? ?cos x,x≤0

2

的图象如图所示,由图象知只有④正确.

8

4.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 则________. ①f(3)<f(-2)<f(1); ②f(1)<f(-2)<f(3); ③f(-2)<f(1)<f(3); ④f(3)<f(1)<f(-2). 答案 ① 解析 由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2), 又 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1).

f?x2?-f?x1? <0, x2-x1

2?x 2 2 2 5.定义两种运算:a ? b= a -b ,a?b= ?a-b? ,则 f(x)= 是________. 2-?x?2? ①奇函数; ③既奇又偶函数; 答案 ① 解析 因为 2 ? x= 4-x ,x?2= ?x-2? , 4-x 4-x 4-x 所以 f(x)= = = , 2 2 -?2- x ? x 2- ?x-2? 该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2], 且满足 f(-x)=-f(x). 故函数 f(x)是奇函数. 6.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案 - -x-1 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,
2 2 2 2 2

②偶函数; ④非奇非偶函数.

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 1 7.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增函数,且 f( )=0,则不等式 3

f(x)>0 的解集为________.
1 1 答案 {x|x> 或 x<- } 3 3 1 解析 由已知 f(x)在 R 上为偶函数,且 f( )=0, 3
9

1 ∴f(x)>0 等价于 f(|x|)>f( ), 3 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 1 1 1 ∴|x|> ,即 x> 或 x<- . 3 3 3 1 8.已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015) 4 =________. 答案 1 4

1 解析 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得 f(0)= , 2 令 x=1,y=1 时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0), 1 解得 f(2)=- , 4 令 x=2,y=1 时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=- , 2 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= , 4 4 2 4

f(8)=- ,f(9)=- ,?
可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)= . 4 1 方法二 ∵f(1)= , 4 4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y), 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)= cos x, 2 3 1 ?π ? 1 ∴f(2 015)= cos? ×2 015?= . 3 2 ? ? 4 9.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,

1 4

1 2

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,
10

∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π ) =-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,

?1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4. ?2 ?
-x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx, 所以 m=2. (2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增. 结合 f(x)的图象知?
? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?
2 2 2 2 2

是奇函数.

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 1.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+ g(x)= a -a + 2(a>0,且
x
-x

a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=________.
答案 15 4
11

解析 ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a -a +2,① ∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a -a +2,② 15 2 -2 由①②联立,g(2)=a=2,f(2)=a -a = . 4 2a-3 2.设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值 a+1 范围是________. 2 答案 -1<a≤ 3 解析 函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1). 由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2), 由 2a-3 2 ≤-1,解得-1<a≤ . a+1 3
-2 2 2 -2

3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当

x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是________. 答案 ①② 解析 在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t, 则有 f(t+2)=f(t), 因此 2 是函数 f(x)的周期,故①正确; 当 x∈[0,1]时,f(x)=2 是增函数, 根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数, 根据函数的周期性知,函数 f(x)在(1,2)上是减函数, 在(2,3)上是增函数,故②正确; 在区间[-1,1]上,f(x)的最大值为 f(1)=f(-1)=2,
x

f(x)的最小值为 f(0)=1,故③错误.
4.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1-

m2)<0 的实数 m 的取值范围.
解 ∵f(x)的定义域为[-2,2].
12

?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2, ?

解得-1≤m≤ 3.①

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m )=f(m -1)? 1-m>m -1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数 m 的取值范围是[-1,1). 5. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.
2 2 2

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