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函数的对称性、奇偶性与周期性习题(2013.07.20)


函数的对称性、奇偶性与周期性习题
一.求函数值: 1.函 数 f (x) 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ( f (5)) ? ____ 2.设定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) f ( x ? 2) ? 13 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( ) 13 2 A.13 B .2 C. D. 2 13 3.已知定义在

R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) ? ___ 4. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有 5 x f ( x? 1) ? (1 x ) f (x,则 f ( f ( )) 的值是( ? ) ) 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 5、已知 f (x) 是 R 上的偶函数, x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立, f(1)=2, f(2011)= 对 若 则 6、函数 f (x) 在 R 上有定义,且满足 f (x) 是偶函数,且 f ? 0 ? ? 2005 , g ? x ? ? f ? x ? 1? 是奇
函数,则 f ? 2005 ? 的值为 7. 已 知 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) ? f ( 2 ? x) , 当 ? 2 ? x ? 0 时 , f ( x ) ? 2 x 则

f ( x ? 2) ?

1 f ( x) , 若 f (1) ? ?5, 则

f (2 ? log 2 3) ? ____
8.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 的值为( C A.-1 ) B. 0

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

C.1

D. 2

, 9.在数列 {xn}中,已知x1 ? x2 ? 1 xn ? 2 ? xn ?1 ? xn (n ? N *), x100 = 则
10. 设 f (x) 是 R 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) ? ( ) A. 0.5 B. ? 0.5 C. 1.5 D. ? 1.5 二.比较函数值大小: 1.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( D ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

2. 已知定义为 R 的函数 f ?x ? 满足 f ?? x ? ? ?f ?x ? 4? ,且函数 f ?x ? 在区间 ?2 , ? ? ? 上单调递增.如 果 x 1 ? 2 ? x 2 ,且 x 1 ? x 2 ? 4 ,则 f ?x 1 ? ? f ?x 2 ? 的值( ) A. 恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负

三.确定函数图象与 x 轴交点的个数及与 x 轴交点横坐标和的问题 1.设函数 f (x) 对任意实数 x 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ?

f (7 ? x)且f (0) ? 0, 判断函数 f (x) 图象在区间 ?? 30,30? 上与 x 轴至少有 ___ 个交点. 2.定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数, 又是周期函数, 是它的一个正周期, 若方程 f ( x) ? 0 T 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能是( )
A 0 B 1 C 3 D 5 3.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 ?0,2? 上是增函数,若方程

f ( x) ? m?m ? 0 ? 在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x ? x2 ? x3 ? x4 ? ____
4、已知函数 y ? f (x) 对一切实数 x 满足 f (2 ? x) ? f (4 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 有 5 个实根, 则这 5 个实根之和为( ) A、5 B、10 C、15 D、18

三、求函数解析式 1.设 f (x) 是定义在 R 上的函数, ?x ? R 均有 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,求当 1 ? x ? 3 时, f (x) 的解析式 _______ 2.设 f (x) 是定义在 (??,??) 上以 2 为周期的周期函数,且 f (x) 是偶函数,在区间 ?2,3? 上, f ( x) ? ?2( x ? 3) 2 ? 4. 求 x ? ?1,2? 时, f (x) 的解析式 ________ 3.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2,0? 时, f ( x) ? ?2 x ? 1 ,则
当 x ? ?4,6? 时求 f (x) 的解析式 ________

四.判断函数奇偶性、对称性及周期性 1、 设函数 y ? f (x) 的定义域为 R, 且满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , y ? f (x) 的图象关于______ 则 对称。 2、设 y ? f (x) 的定义域为 R,且对任意 x ? R ,有 f (1 ? 2 x) ? f (2 x) ,则 y ? f (2 x) 图象关 于__________对称, y ? f (x) 关于__________对称。 3、设函数 y ? f (x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 ________ 4.函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( D ) (A) f ( x) 是偶函数 (B) f ( x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (D) f ( x ? 3) 是奇函数

5.对于 y ? f (x) , x ? R ,若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 均成立,则 f (x) 为

____
6.设 f(x)是定义在 R 上的函数, 且满足 f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x), f(x) 则 是( ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 7、 函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 那么 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)的图象之间 (D ) A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称


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