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河南省中原名校2017届高三上学期第一次质检数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年河南省中原名校高三(上)第一次质检数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x∈R|x2+x﹣2<0},B={x| A.[﹣1,1] B. (﹣1,1) C.[﹣1,1) ≤0},则 A∩B=( D. (﹣1,1] , ) ,sinx )

2.已知命题 p:f(x)=ax(a>0 且 a≠1)是单调增函数:命题 q:? x∈( >cosx,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨¬q C.¬p∧¬q D.¬p∧q 3.函数 y=log A. (﹣x2+x+6)的单调增区间为( C. (﹣2,3) )﹣1,则 f( D.﹣2 ) D. )=( )

B.

4.若函数 f(tanx)=cos(2x+ A.0 B.
2

C.

5.设曲线 y=x +1 在点(x,f(x) )处的切线的斜率为 g(x) ,则函数 y=g(x)cosx 的部分 图象可以为( )

A.

B.

C.

D.

6.已知 f(x+1)为偶函数,且 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,a=f(2) ,b=f(log32) , c=f( ) ,则有( )

A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 7.已知等比数列{an}为递增数列,a2﹣2,a6﹣3 为偶函数 f(x)=x2﹣(2a+1)x+2a 的零点, 若 Tn=a1a2…an,则有 T7=( ) A.128 B.﹣128 C.128 或﹣128 D.64 或﹣64 8.已知函数 f(x)=cos(x+ 的图象( ) ) ,则要得到其导函数 y=f′(x)的图象,只需将函数 y=f(x)

A.向右平移 C.向右平移

个单位 个单位

B.向左平移 D.向左平移

个单位

24

个单位

Z

9.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n) ,若 f(x)在区间 2 [m ,n]上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为( )
n

A.

B.

C.

D.

r

10.已知函数 f(x)=4x3+2mx2+(m﹣ )x+n(m,n∈R)在 R 上有两个极值点,则 m 的 取值范围为( A. (﹣1,1)
O

) B. (1,2) C. (﹣∞,1)U(2,+∞)
H

D. (﹣∞,1)U(1,+∞)

11.已知直线 y=mx 与函数 f(x)=

的图象恰好有 3 个不同的公共点,

则实数 m 的取值范围是( ) A. B. ( ,4) ( ,+∞) C. ( 12.已知直线 y=a 分别与函数 y=ex+1 和 y=
b

D. ,5) ( ,2 ) 交于 A,B 两点,则 A,B 之间的最短距
0

离是( A.



G

B.

C.

D.

z

二、填空题(本大题共 4 各小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=cos2x+sinx(x∈( ,π)的值域是

C



P

14.定积分


1

﹣x)dx=



u

15.给出下列命题: (1)“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; (2)“a=2”是“函数 f(x)=|x﹣a|在区间[2,+∞)为增函数”的充要条件; (3)“m=3”是“直线(m+3)x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 相互垂直”的充要条件; (4)设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1.b= ,则“A=30°” 是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号) 16.设函数 f(x)=(2x﹣1)ex﹣ax+a,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则实数 a 的取值范围是 .
C / O T 7 A

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.设命题 p:函数 y=loga﹣1[(a﹣3)x﹣1]在其定义域上为增函数,命题 q:函数 y=ln[(3a
O

﹣4)x2﹣2ax+2]的定义域为 R. (1)若命题“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围;
j

w

(2)若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知向量 =(sinx,﹣cosx) , =( cosx,cosx) ,设函数 f(x)= ? . (1)求函数 f(x)在(0,π)上的单调增区间; (2)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)=0,sin (A+C)= sinC,C= ,求边 a 的长. 19. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视, 某企业现有设备下每日生产总成本 y (单 2 位:万元)与日产量 x(单位:吨)之间的函数关系式为 y=2x +(15﹣4k)x+120k+8,现为 了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为 k 万元,除尘后当 日产量 x=1 时,总成本 y=142. (1)求 k 的值; (2)若每吨产品出厂价为 48 万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最 大利润为多少?
= =

20.函数 f(x)=

,g(x)=f(x﹣1)+1,an=g( )+g( )+g( )+…+g(

) ,

n∈N* (1)求函数{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 在 I 上是减函

21.若函数 f(x)是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 h(x)=

数,则称 y=f(x)是 I 上的“单反减函数”,已知 f(x)=ex+x,g(x)=x+lnx+ . (1)判断 f(x)在(0,+∞)上是否是“单反减函数”,并说明理由; (2)若 g(x)是[ ,+∞)上的“单反减函数”,求实数 a 取值范围. 22.设函数 f(x)=lnx﹣ax2(a∈R) . (1)若函数 f(x)有极大值为﹣ ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若有 f(m)=f(n) ,m<n,证明:m+n>4a.

2016-2017 学年河南省中原名校高三(上)第一次质检数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x∈R|x2+x﹣2<0},B={x| A.[﹣1,1] B. (﹣1,1) C.[﹣1,1) ≤0},则 A∩B=( D. (﹣1,1] )

【考点】交集及其运算. 【分析】确定出 A,B,找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解:由 x2+x﹣2<0 解得﹣2<x<1,所以 A=(﹣2,1) , 由 ≤0,解得﹣1<x≤2,所以 B=(﹣1,2],

所以 A∩B=(﹣1,1) , 故选:B 2.已知命题 p:f(x)=ax(a>0 且 a≠1)是单调增函数:命题 q:? x∈(



) ,sinx

>cosx,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨¬q C.¬p∧¬q D.¬p∧q 【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的单调性与 a 的取值有关,即可判断出真假; 命题 q: 利用三角函数的单调性即可判断出真假. 再利用复合命题真假的判定方法即可得出. x 【解答】解:命题 p:f(x)=a (a>0 且 a≠1)的单调性与 a 的取值有关,0<a<1 时,函 数 f(x)单调递减,可知是假命题; 命题 q:? x∈( , ) ,sinx>cosx,是真命题.

则下列命题为真命题的是: (¬p)∧q. 故选:D. (﹣x2+x+6)的单调增区间为( C. (﹣2,3)

3.函数 y=log A.

) D.

B.

【考点】复合函数的单调性. 【分析】令 t=﹣x2+x+6>0,求得函数的定义域,且 y= 上的减区间.再利用二次函数的性质可得结论. 【解答】解:令 t=﹣x2+x+6>0,则﹣2<x<3,故函数的定义域为(﹣2,3) ,且 y= , ,本题即求函数 t 在(﹣2,3)

故本题即求函数 t 在(﹣2,3)上的减区间. 利用二次函数的性质可得 t=﹣x2+x+6>0 在定义域(﹣2,3)上的减区间为( ,3) , 故选:A.

4.若函数 f(tanx)=cos(2x+ A.0 B. C.

)﹣1,则 f( D.﹣2

)=(



【考点】函数的值. 【分析】f( )=f(tan )=cos( )﹣1, )﹣1 )﹣1,由此能求出结果.

【解答】解:∵f(tanx)=cos(2x+ ∴f( )=f(tan )=cos(

=cosπ﹣1 =﹣1﹣1 =﹣2. 故选:D. 5.设曲线 y=x2+1 在点(x,f(x) )处的切线的斜率为 g(x) ,则函数 y=g(x)cosx 的部分 图象可以为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】先研究函数 y=g(x)cosx 的奇偶性,再根据在某点处的函数值的符号进一步进行 判定. 【解答】解:g(x)=2x,g(x)?cosx=2x?cosx, g(﹣x)=﹣g(x) ,cos(﹣x)=cosx, ∴y=g(x)cosx 为奇函数,排除 B、D. 令 x=0.1>0. 故选:A. 6.已知 f(x+1)为偶函数,且 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,a=f(2) ,b=f(log32) , c=f( ) ,则有( )

A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】利用函数 y=f(x+1)为偶函数得到 f(﹣x+1)=f(x+1) ,可以得到函数关于 x=1 对称,然后利用当 x≥1 时,函数的单调性比较大小. 【解答】解:函数 y=f(x+1)为偶函数,则 f(﹣x+1)=f(x+1) , ∴函数 y=f(x)关于 x=1 对称, ∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递减, ∴f(x)在区间(﹣∞,1)上单调递增, 则 f(2)=f(0) , ∵0< <log32, ∴f(0)<f( )<f(log32) , 故 a<c<b, 故选:D. 7.已知等比数列{an}为递增数列,a2﹣2,a6﹣3 为偶函数 f(x)=x2﹣(2a+1)x+2a 的零点, 若 Tn=a1a2…an,则有 T7=( ) A.128 B.﹣128 C.128 或﹣128 D.64 或﹣64 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由偶函数的性质得 f(x)=x2﹣1,由韦达定理求出 ,由等比数列的性质得

a4=

=2,再由等比数列的性质能求出 T7.

【解答】解:∵f(x)=x2﹣(2a+1)x+2a 为偶函数, ∴2a+1=0,解得 2a=﹣1,即 f(x)=x2﹣1, ∵等比数列{an}为递增数列,a2﹣2,a6﹣3 为偶函数 f(x)=x2﹣1 的零点, ∴由韦达定理,得: ,

解得



(舍) ,

∴a4=

=2,

∵Tn=a1a2…an, ∴T7=a1×a2×…×a7= 故选:A. .

8.已知函数 f(x)=cos(x+ 的图象( A.向右平移 C.向右平移 ) 个单位 个单位

) ,则要得到其导函数 y=f′(x)的图象,只需将函数 y=f(x)

B.向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先对函数求导,利用诱导公式可得 y=f′(x)=cos(x+ 移变换的规律即可得解. 【解答】解:∵f(x)=cos(x+ ∴函数 y=f′(x)=﹣sin(x+ ) , + ) , + ) ,利用三角函数平

)=cos(x+

∴只需将函数 y=f(x)的图象向左平移 故选:B.

个单位即可得到其导函数 y=f′(x)的图象.

9.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n) ,若 f(x)在区间 2 [m ,n]上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为( ) A. B. C. D.

【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】利用函数的单调性可得∴| m= ,经检验满足条件, 当 log2n=2 时,n=4,m= ,经检验不满足条件. 【解答】解:由题意得﹣log2m=log2n, 在(1,+∞)上是增函数, ∴| ∴当| 足条件. 当 log2n=2 时,n=4,m= ,此时,f(x)在区间[m2,n]上的最大值为| 足条件. 综上,n=2,m= . |=4,不满 |=2,或 log2n=2. |=2 时,n= ,n=2,m= .此时,f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2,满 =n,函数 f(x)=|log2x|在(0,1)上是减函数, |=2,或 log2n=2,当| |=2 时,n= ,n=2,

故选 C.

6 558 76 4

10.已知函数 f(x)=4x3+2mx2+(m﹣ )x+n(m,n∈R)在 R 上有两个极值点,则 m 的 取值范围为( ) A. B. D. (﹣1,1) (1,2) C. (﹣∞,1)U(2,+∞) (﹣∞,1)U(1,+∞) 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,问题转化为导函数 f′(x)=0 有 2 个不相等的实数根,根据二次 函数的性质求出 m 的范围即可. 【解答】解:f′(x)=12x2+4mx+m﹣ , 若 f(x)在 R 上有两个极值点, 则 f′(x)=0 有 2 个不相等的实数根, ∴△=16m2﹣48(m﹣ )>0, 解得:m>2 或 m<1, 故选:C.

11.已知直线 y=mx 与函数 f(x)=

的图象恰好有 3 个不同的公共点,

则实数 m 的取值范围是( ) A. B. D. ( ,4) ( ,+∞) C. ( ,5) ( ,2 ) 【考点】函数的图象. 【分析】做出 f(x)的函数图象,判断直线与 f(x)相切时的斜率即可得出 m 的范围. 【解答】解:做出 f(x)的函数图象如图所示:
6 5 87 6 4

由图象可知当 m≤0 时,y=mx 与 f(x)只有一个交点,不符合题意; 设直线 y=kx 与 y=f(x)的图象相切, 则方程 0.5x2+1﹣kx=0 只有一解, ∴△=k2﹣2=0,解得 k= 或 k=﹣ (舍) . ∴当 m> 时,y=mx 与 f(x)有 3 个交点. 故选 B. 12.已知直线 y=a 分别与函数 y=ex+1 和 y= 离是( ) A. B. C. D. 交于 A,B 两点,则 A,B 之间的最短距

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】首先求出 AB 两点的坐标,后作差构造新函数 h(a)=a2﹣lna+2,利用函数单调性 求 h(a)的最小值. 【解答】解:已知直线 y=a 分别与函数 y=ex+1 和 y= 交于 A,B 两点 x+1 ∴e =a>0? x=lna﹣1; ? x=a2+1; ∴AB 两点之间的距离为:a2+1﹣lna+1=a2﹣lna+2 令 h(a)=a2﹣lna+2 h'(a)=2a﹣ =

由 h'(a)=0,得 a= ∴当 0<a< 当 a> 时,h'(a)<0,h(a)单调递减;

时,h'(a)>0,h(a)单调递增; )=

∴h(a)≥h( 故选:D
65587 64

二、填空题(本大题共 4 各小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=cos2x+sinx(x∈( ,π)的值域是 [1, ] .

【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】将 f(x)=cos2x+sinx 转化为:f(x)=﹣(sinx﹣ )2+ ,结合题意即可求得其值 域. 【解答】解:由 f(x)=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣(sinx﹣ )2+ , ∵x∈( ,π) ,

∴sinx∈(0,1],可得:sinx﹣ ∈(﹣ , ], ∴可得: (sinx﹣ )2∈[0, ]. ∴f(x)=﹣(sinx﹣ )2+ ∈[1, ]. 故答案为:[1, ].

14.定积分



﹣x)dx=



【考点】定积分. 【分析】根据的定积分的几何意义,所围成的几何图形的面积是的四分之一,计算即可. 【解答】解: ( ﹣x)dx 表示如图所示的阴影部分的面积,根据定积分的几

何意义可得,



﹣x)dx= π×12=



故答案为:



15.给出下列命题: (1)“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; (2)“a=2”是“函数 f(x)=|x﹣a|在区间[2,+∞)为增函数”的充要条件; (3)“m=3”是“直线(m+3)x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 相互垂直”的充要条件; (4)设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1.b= ,则“A=30°” 是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 (1) (4) (写出所有真命题的序号) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 【分析】利用等比数列的定义以及充要条件的有关定义判断出(1)对;通过举反例判断出 (2)不对;通过举反例说明(3)不对;利用三角形的正弦定理以及有关的充要条件的定义 判断出(4)对. 【解答】解:对于(1)若“数列{an}为等比数列”,则

所以

,所以“数列{anan+1}为等比数列”.

反之,若“数列{anan+1}为等比数列”成立,例如数列 1,3,2,6,4,12,8…满足数列{anan+1} 为等比数列, 但数列{an}不为等比数列 所以“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;故(1)对; 对于(2) ,例如 a=1 时,f(x)在区间[2,+∞)为增函数,所以)“a=2”不是“函数 f(x) =|x﹣a|在区间[2,+∞)为增函数”的充要条件,故(2)不对; 对于(3) ,当 m=0 时,两直线的方程分别为 3x﹣2=0 及﹣6y+5=0 垂直,所以“m=3”不是“直 线(m+3)x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 相互垂直”的充要条件;故(3)不对; b= 对于 (4) , 因为 a=1. 所以 B=60°或 120°, , 若 A=30°”成立, 由正弦定理得 , 所以 ,

反之,若“B=60°”成立,由正弦定理得



,因为 a<b,所以 A=30°

所以 A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件.故(4)对; 故答案为(1) (4) . 16.设函数 f(x)=(2x﹣1)ex﹣ax+a,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则实数 a 的取值范围是 [ ,1) .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】首先令 g(x)=(2x﹣1)ex,h(x)=a(x﹣1) ,判断 g(x)的单调性.因为存在 x 唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0.即(2x0﹣1)e <a(x0﹣1) .所以结合图形知:

【解答】解:令 g(x)=(2x﹣1)ex,h(x)=a(x﹣1) , x x x ∵g'(x)=(2x﹣1)e +2e =(2x+1)e , ∴当 x<﹣ 时,g'(x)<0,则函数 g(x)在(﹣∞,﹣ )上单调递减; 当 x>﹣ 时,g'(x)>0,则函数 g(x)在(﹣ ,+∞)上单调递增; 而 g(﹣1)=﹣3e﹣1,g(0)=﹣1; 因为存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0. 即(2x0﹣1)ex<a(x0﹣1) . 所以结合图形知:

即:

,解得

≤a<1;

故答案为:[

,1) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.设命题 p:函数 y=loga﹣1[(a﹣3)x﹣1]在其定义域上为增函数,命题 q:函数 y=ln[(3a ﹣4)x2﹣2ax+2]的定义域为 R. (1)若命题“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:函数 y=loga﹣1[(a﹣3)x﹣1]在其定义域上为增函数,可得 ,



,解得 a 范围.

命题 q:函数 y=ln[(3a﹣4)x2﹣2ax+2]的定义域为 R,可得 解得 a 范围. (1)命题“p∨q”为真命题,p 与 q 中至少有一个为真命题. (2)由命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则命题 p 与 q 一个为真一个为假. 【解答】解:命题 p:函数 y=loga﹣1[(a﹣3)x﹣1]在其定义域上为增函数,∴







,解得 a>3 或 1<a<2.

命题 q:函数 y=ln[(3a﹣4)x2﹣2ax+2]的定义域为 R,可得 解得 2<a<4. (1)命题“p∨q”为真命题,∴a>3 或 1<a<2 或 2<a<4. ∴实数 a 的取值范围是(1,2)∪(2,+∞) . (2)由命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则命题 p 与 q 一个为真一个为假.





,或



解得 1<a<2,或 a≥4;或 2<a≤3. ∴实数 a 的取值范围是(1,2)∪(2,3]∪[4,+∞) . 18.已知向量 =(sinx,﹣cosx) , =( cosx,cosx) ,设函数 f(x)= ? . (1)求函数 f(x)在(0,π)上的单调增区间; (2)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)=0,sin (A+C)= sinC,C= ,求边 a 的长. 【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【分析】 (1)由已知利用平面向量数量积的运算、倍角公式、和差公式可得 f(x) ,再利用 正弦函数的单调性即可得出. (2)由(1)及 f(A)=0,可得 sin(2A﹣ )= ,结合范围 A∈(0, ) ,可求 A,

利用正弦定理可得 b= c,进而可求 b,利用余弦定理即可得解 a 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵向量 =(sinx,﹣cosx) , =( cosx,cosx) ,函数 f(x)= ? . ∴f(x)=a?b= sinxcosx﹣cos2x= ∈(﹣ sin2x﹣ cos2x﹣ =sin(2x﹣ , ) , ∈( , ) ,解得:x∈(0, ) ,或 x∈ )﹣ ,…2 分

∵x∈(0,π) ,∴2x﹣ 由 2x﹣ ( ∈(﹣ ,

) ,或 2x﹣

,π) , ) ,或( ,π)…6 分

∴函数 f(x)在(0,π)上的单调增区间为(0, (2)∵f(A)=sin(2A﹣ ∴sin(2A﹣ 又∵A∈(0, ∴2A﹣ ∴2A﹣ )= , ) , , ) , ,…8 分 )﹣ =0,

∈(﹣ =

,可得:A=

∵sin(A+C)= sinC, ∴sinB= sinC,由正弦定理可得 b= 又∵c= ,可得:b=3, ∴a2=b2+c2﹣2bccosA=32+3﹣2× ∴解得:a= …12 分

c, 6 5 8 7 6 4
6558764

=3,

19. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视, 某企业现有设备下每日生产总成本 y (单 2 位:万元)与日产量 x(单位:吨)之间的函数关系式为 y=2x +(15﹣4k)x+120k+8,现为 了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为 k 万元,除尘后当 日产量 x=1 时,总成本 y=142. (1)求 k 的值; (2)若每吨产品出厂价为 48 万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最 大利润为多少? 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;不等式的实际应用. 【分析】 (1)求出除尘后的函数解析式,利用当日产量 x=1 时,总成本 y=142,代入计算得 k=1; (2)求出每吨产品的利润,利用基本不等式求解即可. 【解答】解: (1)由题意,除尘后 y=2x2+(15﹣4k)x+120k+8+kx=2x2+(15﹣3k)x+120k+8, ∵当日产量 x=1 时,总成本 y=142,代入计算得 k=1; (2)由(1)y=2x2+12x+128, 总利润 L=48x﹣(2x2+12x+128)=36x﹣2x2﹣128, (x>0) 每吨产品的利润= =36﹣2(x+ 当且仅当 x= )≤36﹣4 =4,

,即 x=8 时取等号,

∴除尘后日产量为 8 吨时,每吨产品的利润最大,最大利润为 4 万元.

20.函数 f(x)=

,g(x)=f(x﹣1)+1,an=g( )+g( )+g( )+…+g(

) ,

n∈N* (1)求函数{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 f(﹣x)+f(x)=0 可得 g(x)+g(2﹣x)=2,使用倒序相加法求出 an; (2)求出 bn,利用裂项法求和. 【解答】解: (1)∵f(﹣x)+f(x)= + = + =0,

∴g(x)+g(2﹣x)=f(x﹣1)+1+f(1﹣x)+1=2, ∵an=g( )+g( )+g( )+…+g( ∴an=g( )+g( )+g( ) , )+…+g( ) ,

两式相加得 2an=2(2n﹣1) , ∴an=2n﹣1. (2)bn= = ( ﹣ ) ,

∴Sn= (1﹣ +

+…+



)= (1﹣

)=



21.若函数 f(x)是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 h(x)=

在 I 上是减函

数,则称 y=f(x)是 I 上的“单反减函数”,已知 f(x)=ex+x,g(x)=x+lnx+ . (1)判断 f(x)在(0,+∞)上是否是“单反减函数”,并说明理由; (2)若 g(x)是[ ,+∞)上的“单反减函数”,求实数 a 取值范围. 【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)求函数 f(x)的导数 f′(x) ,判断 f(x)在区间(0,+∞)的单调性,再令 h (x)= ,利用导数判断 h(x)在区间(0,+∞)的单调性,即可得出结论; ,利用导数判断 h(x)

(2)利用导数判断 g(x)在[0,+∞)的单调性,再 h(x)=

<0 在(0,+∞)上的单调性,得出 g(x)是[1,+∞)上的“单反函数”,从而求出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=ex+x,∴f′(x)=ex+1>0, ∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数, 设 h(x)= = +1,

∴h′(x)=

(x≥0)在区间(0,+∞)上不恒成立,

∴h(x)在区间(0,+∞)上不一定是增函数, ∴函数 f(x)不是区间(0,+∞)上的“单反减函数”; (2)∵g(x)=x+lnx+ ,x>0,

∴g′(x)=1+ ﹣

=

=



当 x≥1 时,g′(x)≥0, g(x)在[0,+∞)单调递增, 又 h(x)= =1+ + ,

h′(x)=



=



令 m(x)=x﹣xlnx﹣4, m′(x)=1﹣1﹣lnx﹣lnx=﹣lnx, 当 x∈(0,1)时,m′(x)>0,m(x)是单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减, ∴m(x)≤m(1)=﹣3,即 m(x)<0,
65874

∴h′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴g(x)是[1,+∞)上的“单反函数”, 又∵g(x)是[ ,+∞)上的“单反函数”, ∴ ≥1,即 a≥4, 所以实数 a 的取值范围是[4,+∞) . 22.设函数 f(x)=lnx﹣ax2(a∈R) . (1)若函数 f(x)有极大值为﹣ ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若有 f(m)=f(n) ,m<n,证明:m+n>4a. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,得到函数的最大 值,从而求出 a 的值即可; (2)构造函数 g(x)=f(x)﹣f(2﹣x) ,0<x≤1,根据函数的单调性得到 f(m)<f(2 ﹣m) ,又 f(m)=f(n) ,得到 f(n)<f(2﹣m) ,从而证出结论即可. 2 【解答】解: (1)∵f(x)=lnx﹣ax ,x>0,
65 8764

∴f′(x)=



a≤0 时,f′(x)>0 恒成立, 函数 f(x)在(0,+∞)递增,无极大值, a>0 时,f′(x)>0,0<x< 由 f′(x)<0,得:x> ∴f(x)在(0, , ,

,由 f′(x)>0,得:0<x< ,+∞)递减,

)递增,在(

∴f(x)的极大值是 f(

)=﹣ ln2a﹣ =﹣ ,解得:a= ;

(2)由(1)得:f(x)=lnx﹣ x2 在(0,1]递增,在(1,+∞)递减, 构造函数 g(x)=f(x)﹣f(2﹣x) ,0<x≤1, g(x)=lnx﹣ x2﹣[ln(2﹣x)﹣ (2﹣x)2],

则 g′(x)=

≥0,

故函数 g(x)在(0,1]递增, 又 f(m)=f(n) ,m<n, ∴0<m<1,n>1, ∵g(1)=f(1)﹣f(2﹣1)=0, ∴g(m)<g(1)=0,

即 f(m)﹣f(2﹣m)<0, ∴f(m)<f(2﹣m) , 又 f(m)=f(n) ,∴f(n)<f(2﹣m) , ∵n>1,2﹣m>1,函数 f(x)在(1,+∞)递减, ∴n>2﹣m,即 m+n>2=4a.


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