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解三角形题型总结


解三角形题型总结
学习过程 一、复习回顾 1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

(1 )a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C (边化角公式) a b c (角化边公式) ,sin B ? ,sin C ? 2R

2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C (2) sin A ? (4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) ; 已知 a,b 和 A,不解三角形,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; 5、常用的三角形面积公式
1 ? 底?高 ; 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论

(2)已知三边。

(1) S?ABC ?

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) (3)在△ABC 中,A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC; A? B C A? B C tan(A+B)=-tanC。 sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2
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典型例题:
类型一:正弦、余弦定理基本应用
例 1. 【2015 高考广东, 理 11】 设 ?ABC 的内角

C 的对边分别为 a , b, c, A ,B , 若a ? 3 ,

sin B ?

1 π , C ? ,则 b ? 2 6

.

例 2.【2015 高考天津,理 13】在 ?ABC 中,内角

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
.

1 ?ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为 4

例 3.【2015 高考北京,理 12】在 △ ABC 中, a

? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则

sin 2 A ? sin C



例 4.若△

ABC

的三个内角满足 sin

A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC

( ) (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形.

(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

例 5.△

ABC

的三个内角满则 A:B:C=1:2:3 则 a:b:c=

.

例 6.设 ?ABC 的内角

且 cos A ? A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

3 5 , cos B ? , b ? 3 则 c ? 5 13

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类型二:与正弦有关的解的个数 思路一:利用表格进行

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

无解

一解

两解

一解

思路二:利用大边对大角进行筛选 例题:在△ABC 中,bsinA<a<b,则此三角形有 A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定

类型三:与 A ? B ? C ? ? 有关的问题
例 1:在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为

_____________.

例 2:在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .

(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

1 例 3: △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 3 B.

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类型四:边化角,角化边 注意点:①换完第一步观察是否可以约分,能约分先约分
②怎么区分边化角还是角化边呢?若两边都是正弦首先考虑角化边,若 sin,cos 都 存在时首先考虑边化角 例 1:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;

例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 为

2sin2B-sin2A 的值 sin2A

例 3.△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

例 4:(2011·全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C =bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c.

类型五:面积问题 面积公式:
例 1:设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b=3,c=1, △ABC 的面积为 2 求 cosA 与 a 的值;

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角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? 例 2:在 ?ABC 中, 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

? 4 cos A ? , b ? 3 。 , (Ⅰ) 求 sin C 3 5

例 3 : ???C 的 内角 ? , ? , C 所 对的 边分 别为 a , b , c . 向量 m ? a , 3b 与

?

?

?

? n ? ? cos ?,sin ? ? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ?

7 , b ? 2 求 ???C 的面积

类型五:三角形形状问题
【例】判断满足下列条件的三角形形状 (1) a 2 tan B ? b 2 tan A ;

(2) sin C ? 2 cos A sin B ;

(3) cos A ? cos B ?

a?b ; c

(4) ( a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? ( a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ;

(5) b ? a sin C , c ? a cos B

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练: 在△ABC 中,若

cosA b = ,试判断 ?ABC 三角形的形状. cosB a

题型 6:图形问题 例 1:如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角)为 140°的方向航行, 为了确定船位, 船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°, 航行半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的 距离是多少?

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