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(高二)函数的奇偶性与周期性


教育个性化教学辅导教案
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函数的奇偶性与周期性
1.理解函数奇偶性,会判断函数的奇偶性. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性.

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数

>奇函数

定义 如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个 x,都有________, 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函 数 f(x)的定义域内 任意一个 x,都有________, 那么函数 f(x)是奇函数

图象特点 关于____对称

关于______对称

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课 堂 教 学 过 程

2.周 期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都 有 f(x+T)=______,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中____________的正数,那么这个____正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线__________对称.
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1 1.函数 f(x)= -x 的图象关于( ). x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 x 2.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ). ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 3.(2013 届浙江湖州中学考试)设函数 f(x)为偶函数,且当 x∈[0,2)时 f(x)=2sin x,当 x∈[2,+∞) π? 时 f(x)=log2x,则 f? ). ?-3?+f(4)=( A.- 3+2 B.-3 C.3 D. 3+2 4.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( ). A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则 f(x)在[0,2]上的单调性 是__________.

一、函数奇偶性的判定 【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3-x2+ x2-3; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 . |x+3|-3 方法提炼 判定函数奇偶性的常用方法及思路: 1.定义法 (3)f(x)=

2.图象法

3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段 讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应地化简解析式,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 请做演练巩固提升 1 二、函数奇偶性的应用 【例 2-1】设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ). A.{x|x<-2,或 x>0} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} 1+ax 【例 2-2】设 a,b∈R,且 a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 是奇函数,则 a 1+2x +b 的取值范围为__________. 【例 2-3】设函数 f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值; (2)求 g(x)的单调区间与极值. 方法提炼 函数奇偶性的应用: 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或 充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)= 0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. 3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原 点对称的区间上的单调性相反. 4.若 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.这一结论在解决问题中十分便捷,但若 f(x)

是偶函数且在 x=0 处有定义,就不一定有 f(0)=0,如 f(x)=x2+1 是偶函数,而 f(0)=1. 请做演练巩固提升 3,4 三、函数的周期性及其应用 3? 【例 3-1】已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(1)=3,则 f(2 014)=______ ____. 1+f?x? 【例 3-2】已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,若 f(1)=2 014,则 f(103)=__________. 1-f?x? 【例 3-3】已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f( x)+f(x-1)=1,当 x∈[0,1]时,有 f(x)=x2, 现有三个命题: ①f(x)是以 2 为周期的函数; ②当 x∈[1,2]时,f(x)=-x2+2x; ③f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是__________. 方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期; (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数的一个周期; 1 1 (3)若满足 f(x+a)= ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是函数的一个周期; f?x? f?x+a? 1 (4)若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期; f?x? (5)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)=f(x);②若 已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z 且 k≠0)上的图象. 请做演练巩固提升 5 没 有等价变形而致误 【典例】函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 错解:(1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3, 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 得 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 7 ∴(3x+1)(2x-6)≤64.∴- ≤x≤5. 3 分析: (1)从 f(1)联想自变量的值为 1, 进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶性, 就是研究 f(x), f(-x)的关系,从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+f(x).(3)就是要出现 f(M)<f(N)的形式, 再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 正解:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下:令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),
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∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且( 3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 ∴x 的取值范围是 1 1 ? ? 7 ? ?x - ≤x<- ,或- <x<3,或3<x≤5? . 3 3 ? ? 3 ?

答题指导:
等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)?|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x -6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

1.下 列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ). |x| 2 A.y=2 B.y=lg(x+ x +1) 1 -x x C.y=2 +2 D.y=lg x+1 2.已知函数 f(x)对一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则 f(x)为( ). A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3. 函数 f(x)的定义域为 R, 且满足: f(x)是偶函数, f(x-1)是奇函数, 若 f(0.5)=9, 则 f(8.5)等于( ). A.-9 B.9 C.-3 D.0 4.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( ). A.{x|x<-2,或 x>4} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(-1)=1,则 f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=__________.

参考答案
基础梳理自测 知 识梳理 1.f(-x)=f(x) y 轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.(1)f(x) (2)存在一个最小 最小 3.x=a 基础自测 1.C 解析:判断 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故选 C. 2.A 解析:∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x), x x 1 即: = 恒成立,整理得:a= .故选 A. 2 (2x+1)(x-a) (-2x+1)(-x-a) 3.D

4.A 解析:∵f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1,∴f(3)- f(4)=-1,故选 A. 5.单调递增 解析:∵T=4,且在[-6,-4]上单调递减, ∴函数在[-2,0]上也单调递减.又 f(x)为偶函数,故 f(x)的图象关于 y 轴对称, 由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增. 考点探究突破 ?3-x2≥0, ? 【例 1】解:(1)由? 2 ? ?x -3≥0,
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得 x=- 3或 x= 3. ∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. ∵对任意的 x∈{- 3, 3},-x∈{- 3, 3},且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x (2)要使 f(x)有意义,则 ≥0, 1+x 解得-1<x≤1,显然 f(x)的定义域不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. ?4-x2≥0, ? (3)∵? ? ?|x+3|≠3, ∴-2≤x≤2 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 又 f(x)= = , x x+3-3 4-(-x)2 4-x2 =- , x -x ∴f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇函数. 【例 2-1】B 解析:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8. 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8. 3 ? ?x -8,x≥0, ∴f(x)=? 3 ?-x -8,x<0. ? f(-x)=
?(x-2)3-8,x≥2, ? ∴f(x-2)=? 3 ? ?-(x-2) -8,x<2. ? ?x≥2, 由 f(x-2)>0 得:? 3 ?(x-2) -8>0 ? ? ?x<2, 或? 3 ?-(x-2) -8>0. ? 解 得 x>4 或 x<0,故选 B. 3 -2,- ? 解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数, 【例 2-2】? 2? ? 1-ax 1+ax 1+2x ∴f(-x )=lg =-f(x)=-lg =lg , 1-2x 1+2x 1+ax 1+2x 1-ax ∴ = 对 x∈(-b,b)成立,可得 a=-2(a=2 舍去). 1+ax 1-2x 1-2x ∴f(x)=lg . 1+2x

1-2x 1 1 >0,得- <x< . 2 2 1+2x 又 f(x)定义区间为(-b,b), 1 3 ∴0<b≤ ,-2<a+b≤- . 2 2 【例 2-3】解:(1)∵f(x)=x3 +bx2+cx, ∴f′(x)=3x2+2bx+c, ∴g(x)=f(x)-f′(x) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c. ∵g(x)是一个奇函数, ∴g(0)=0,得 c=0, 由奇函数定义 g(-x)=-g(x)得 b=3. (2)由(1)知 g(x)=x3-6x, 从而 g′(x)=3x2-6, 由此可知,(-∞,- 2)和( 2,+∞)是函数 g(x)的单调递增区间;(- 2, 2)是函数 g(x)的单调 递减区间. g(x)在 x=- 2时,取得极大值,极大值为 4 2; g(x)在 x= 2时,取得极小值,极小值为-4 2. 3? 【例 3-1】3 解析:∵f(x)=-f? ?x+2?, 3 3 x+ ? ? ∴f(x+3)=f?? ?? 2?+2? 3 x+ ?=f(x). =-f? ? 2? ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=3. 1+f(x) 1 【例 3-2】- 解析:∵f(x+1)= , 2 014 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1+f(x+1) ∴f(x+2)= = 1-f(x+1) 1+f(x) 1- 1-f(x) 1 =- . f(x) ∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1 )=2 014, 1 1 ∴f(103)=f(25×4+3)=f(3)=- =- . f(1) 2 014 【例 3-3】①② 解析:①正确. ∵f(x)+f(x-1)=1,(*) ∴f(x+1)+f(x)=1,(**) (**)-(*)得 f(x+1)-f(x-1)=0, ∴f(x+1)=f(x-1), 则 f(x +2)=f(x), ∴f(x)是以 2 为周期的函数. ②正确.当 x∈[1,2]时,x-1∈[0,1], ∵x∈[0,1]时,f(x)=x2, ∴f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2. ③错误.当 x∈[-1,0]时,x+1∈[0,1]. ∴f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2, ∴f(x)=-x2-2x. 由

又∵-x∈[0,1], ∴f(-x)=(-x)2=x2. ∴f(x)≠f(-x),f(x)不是偶函数. 演练巩固提升 1 1.D 解析:对于 D,y=lg 的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称,是非奇非偶函数. x+1 2.B 解析:显然 f(x)的定义域是 R,它关于原点对称. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又可知 f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数,故选 B. 3.B 解析:由题可知,f(x)是偶函数,所以 f(x)=f(-x). 又 f(x-1)是奇函数, 所以 f(-x-1)=-f(x-1). 令 t=x+1,可得 f(t)=-f(t-2), 所以 f(t-2)=-f(t-4). 所以可得 f(x)=f(x-4), 所以 f(8.5)=f(4.5)=f(0.5)=9,故选 B. 4.B 解析:当 x≥0 时,令 f(x)=2x-4>0,所以 x>2.又因为函数 f(x)为偶函数,所以函数 f(x) >0 的解集为{x|x<-2,或 x>2}.将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位即得函数 y=f(x-2)的图象, 故 f(x-2)>0 的解集为{x|x<0,或 x>4}. 5.-1 解析:由已知得 f(0)=0,f(1)=-1. 又 f(x)关于 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x)且 T=4, ∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1, f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1, f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1, f(2 012)=f(0)=0, f(2 013)=f(1)=-1. ∴f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=-1.

课时作业
一、选择题 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,满足 f(x+2)=f(x),当 x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则 f (log 1 6) 的值
2

等于(

). 4 7 1 1 A.- B.- C. D.- 3 2 2 2 2. 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=-x+1, 则当 x<0 时, f(x)的表达式为( ). A.-x+1 B.-x-1 C.x+1 D.x-1 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值 范围是( ). A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) ?1,x为有理数, ? 4.设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ( ? ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数
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).

5.定义两种运算:a ? b=log2(a2-b2),a ? b= ?a-b?2,则函数 f(x)=

2⊕x 为( ?x ? 2?-2

).

A.奇函数 B.偶函数 C .奇函数且为偶函数 D.非奇且非偶函数 6.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),则 f(2 013)+f(-2 014)的值为( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( ). A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 1+ax 8.(2012 浙江杭州二检)设定义在区间(-b,b)上的函数 f(x)=lg 是奇函数(a,b∈R,且 a≠- 1-2x 2),则 ab 的取值范围是( ). A.(1, 2] B.(0, 2] C.(1, 2) D.(0, 2) 二、填空题 9. 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x(x+1), 若 f(a)=-2, 则实数 a=__________. 10.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x∈R,都有 f(x+8)=f(x)+f(4),且 x∈[0,4]时,f(x)=4 -x,则 f(2 011)的值为__________. 11. 定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x∈(0, +∞)时, f(x)=log2x, 则不等式 f(x)<-1 的解集是________. 12.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=-f(x), 且在[-1,0]上是增函数, 下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是__________. 三、解答题 13.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b).且当 x>0 时, f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函 数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈N*)上的值域. 14.已知 f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当 x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z) 时,f(x)的解析式. 15.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x).若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x) 1 1 = x,求使 f(x)=- 在[0,2 014 ]上的所有 x 的个数. 2 2
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1 1 16.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x - 是奇函数. 2 +a 2 (1)求实数 a 的值,并判断 f(x)的增减性(不需证明); (2)若对任意的 x>0,不等式 f(mx2-x)+f(1-x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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参考答案
一、选择题 1.C 解析: f (log 1 6)
2

= ? f ( ? log 1 6) =-f(log26)
2

=-f(log26-2) = ?(2
log2 6-2

6 ? -2) =-? ?4-2?

1 = ,故选 C. 2 2.B 解析:x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)+1]=-x-1.选 B. 3.C 解析:∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x, 作出 f(x)的大致图象 如图中实线所示, 结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数,由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a,即-2<a<1,选 C.

4.C 5.A 解析:f(x)=

log2(4-x2) (x-2)2-2



?4-x2>0, ? 由? ? ?|x-2|-2≠0, 得-2<x<2 且 x≠0, log2(4-x2) ∴f(x)= 为奇函数. -x 6.C 解析:依题意得,x≥0 时,有 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 x≥0 时,f(x)是以 4 为周期的函 数. 因此,f(2 013)+f(-2 014)=f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(2). 而 f(2)=-f(0)=-log2(0+1)=0,f(1)=log2(1+1)=1, 故 f(2 013)+f(-2 014)=1. 7.D 解析:由 y=f(x+1)为奇函数知 f(x+1)=-f(-x+1).① 由 y=f(x-1)为奇函数知 f(x-1)=-f(-x-1).② 由①得 f(-x)=-f(2+x); 由②得 f(-x)=-f(x-2), ∴f(2+x)=f(x-2), 即 f(x+4)=f(x). ∴函数 y=f(x)是以 4 为周期的函数. ∴由②知,f(x-1+4)=-f(-x-1+4). ∴f(x+3)=-f(-x+3), ∴函数 f(x+3)是奇函数.

1+ax 1-ax 8.A 解析:由于 f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即 lg +lg =0,∴a2=4,而 a≠-2, 1-2x 1+2x 1+2x 1 1 1 - , ?,∴b∈ ?0, ?,因此 ab∈(1, 2],故选 A. ∴a=2,此时,函数 f(x)=lg ,x∈? 2 2 ? ? ? 2? 1-2x 二、填空题 9.-1 10.1 解析:f(4)=0, ∴f(x+8)=f(x),∴T=8, ∴f(2 011)=f(3)=4-3=1. ? ? 1 0<x< ,或x<-2 ? 解析:当 x<0 时,-x>0, 11.?x? 2 ? ? ? ∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x), log2x,x>0, ? ? ∴f(x)=?0,x=0, ? ?-log2(-x),x<0.
?x>0, ? ∴f(x)<-1?? ?log2x<-1 ? ? ? ?x=0, ?x<0, 1 或? 或? ?0<x< 或 x<-2. 2 ?0<-1 ?-log2(-x)<-1 ? ? 12.①②⑤ 解析:f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=f(x), 故 f(x)是周期函数. 又 f(x)=f(-x), 所以 f(x+2)=f(-x), 故 f(x)关于直线 x=1 对称. 同理,f(x+4)=f(x)=f(-x), ∴f(x)关于直线 x=2 对称. 由此可得①②⑤正确. 三、解答题 13.(1)证明:设任意 x1,x2∈R,且 x1<x2, f(x2)=f[x1+(x2-x1)] =f(x1)+f(x2-x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1), 故 f(x)是 R 上的减函数. (2)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, ∴可令 a=-b=x, 则有 f(x)+f( -x)=f(0). 又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 从而任意的 x∈R,f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x). 故 y=f(x)是奇函数. (3)解:由于 y=f(x)是 R 上的单调递减函数,∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数, 故 f(x)在[m,n]上的最大值 f(x)max=f(m),最小值 f(x)min=f(n). 由于 f(n)=f[1+(n-1)] =f(1)+f(n-1)=?=nf(1), 同理 f(m)=mf(1). 又 f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1. ∴f(m)=-m,f(n)=-n.

因此函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m]. 14. 解: 由 f(x+2)=f(x), 可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数. 当 x∈[2k-1,2k+1]时, 2k-1≤x≤2k +1,-1≤x-2k≤1. ∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又 f(x)=f(x-2)=f(x-4) =?=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2 k-1,2k+1],k∈Z. 1 15.解:当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x. 2 2 1 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 又设 1<x≤3,则-1<x-2≤1. 1 ∴f(x-2)= (x-2). 2 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x), 1 ∴-f(x)= (x-2). 2 1 ∴f(x)=- (x -2)(1<x≤3). 2 1 x,-1≤x≤1, 2 ∴f(x)= 1 - (x-2),1<x≤3. 2 1 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2 又∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 ∴f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 2 1 2 015 令 0≤4n-1≤2 014,则 ≤n≤ , 4 4 又∵n∈Z ,∴1≤n≤503(n∈Z), 1 ∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=- . 2 16.解:(1)依题意有 f(-x)=-f(x)对于 x∈R 恒成立, 1 1 1 1 得 -x - =- x + , 2 +a 2 2 +a 2 2x 1 即 =1, x+ x 1+a· 2 2 +a 即 22x+2a· 2x+1=a· 22x+(a2+1)· 2x+a 对于 x∈R 恒成立,

? ? ?

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

1=a, ? ? 2 故有?2a=a +1, ? ?1=a,

得 a=1.

函数 f(x)在 R 上是减函数.

(2)因为函数 f(x)是奇函数,则不等式 f(mx2-x)+f(1-x)<0 转化为不等式 f(mx2-x)<f(x-1)对任意 的 x>0 恒成立,又函数 f(x)在 R 上是减函数, 则问题转化为不等式 mx2-x>x-1 对任意的 x>0 恒成立, 1?2 1 即 m>-? 对任意的 x>0 恒成立, ? x? +2· x 1 令 t= ,则 m>-t2+2t 对任意的 t>0 恒成立, x 当 t>0 时,函数 g(t)=-t2+2t 的最大值为 1,故实数 m 的取值范围是 m>1.

加强巩固
一、选择题 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)等于( A.3 B.1 C.-1 D.-3
x

).

解析 由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1,

f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3.
答案 D 2.已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ).

解析 (构造法)构造函数 f(x)=sin 以 f(x)=sin 答案 B

π π π x,则有 f(x+2)=sin? 2 x+2 ?=-sin x=-f(x),所 ? ? 2 2

π x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π=0,故选 B. 2

3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式一定成立的 是 2π? ? 2π? A.f? ?cos 3 ?>f?sin 3 ? π? ? π? C.f? ?sin 6?<f?cos 6? ( B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ).

解析 当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|,

2π 1 2π 3 1 显然当 x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当 x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos =- ,sin = > ,又 3 2 3 2 2 1? ?1? ? 3? 2π? ? 2π? ? f? ?-2?=f?2?>f? 2 ?,所以 f?cos 3 ?>f?sin 3 ?. 答案 A
?1-2 x,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0, ?


(

).

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增
-x

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
-(-x)

解析 当 x>0 时,f(-x)=2 -1=-f(x);当 x<0 时,f(-x)=1-2 f(0)=0,故 f(x)为奇函数,且 f(x)=1-2
- -x

=1-2x=-f(x).当 x=0 时,

在[0,+∞)上为增函数,f(x)=2x-1 在(-∞,0)上为增

函数,又 x≥0 时 1-2 x≥0,x<0 时 2x-1<0,故 f(x)为 R 上的增函数. 答案 C 5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=4 -1,则 f(-5.5)的值为 ( A.2 ) B.-1
0.5

x

1 C.- 2

D.1

解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=4 -1=1. 答案 D
?1,x为有理数, ? 6.设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, ?

(

).

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

解析 显然 D(x)不单调,且 D(x)的值域为{0,1},因此选项 A、D 正确.若 x 是无理数,-x,x+1 是无理数;若 x 是有理数,-x,x+1 也是有理数.∴D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).则 D(x)是偶 函数,D(x)为周期函数,B 正确,C 错误. 答案 C 二、填空题 7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 =0. 答案 0 8.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 解析 因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,所以当 x=-1 时,y=-2,即 f(-1)+(-1)2 由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a

=-2,得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1 9.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使函数值 y <0 的 x 的取值集合为________.

解析 由原函数是奇函数, 所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称, 由 y=f(x)在[0,5] 上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(- 2,0)∪(2,5).

答案 (-2,0)∪(2,5) 10. 设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? 解析 ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ∴f(|2x|)=f??

?x+1?的所有 x 之和为________. ? ?x+4?

?x+1?, ? ?x+4?

??x+1??, ?? ??x+4??

又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ∴|2x|=? 即 2x=

?x+1?, ? ?x+4?

x+1 x+1 或 2x=- , x+4 x+4
2 2

整理得 2x +7x-1=0 或 2x +9x+1=0, 设方程 2x +7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x +9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 ? 9? 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +?- ?=-8. 2 ? 2? 答案 -8 三、解答题 11.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性.
2 2



(1)因为对定义域内任意 x,y,f(x)满足 f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令 x=y=1,得 f(1)=0,令 x=

y=-1,得 f(-1)=0. (2)令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入 f(-1)=0 得 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是(-∞,+∞) 上的奇函数. 12.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数. (2)解 任取 x1<x2,则 x2-x1>0,所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1) <0,所以 f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. 所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 13.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)= 2 -1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 解析 (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2 +x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周 期的周期函数. (2) 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=2 (3) ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,
2-x

x

-1,x∈[1,2].

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 014]上的所有 x 的个数. 2 2

(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)解 当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x. 2 2 1 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)= (x-2). 2 又∵f(x)是以 4 为周期的周期函数 1 ∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),∴-f(x)= (x-2), 2 1 ∴f(x)=- (x-2)(1<x<3). 2

?2x,-1≤x≤1, ∴f(x)=? 1 ?-2?x-2?,1<x<3.
1 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2 ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 ∴f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 2 1 2 015 令 0≤4n-1≤2 014,则 ≤n≤ . 4 4 又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z), 1 ∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=- . 2

1

课堂练习 课后作业 本节课教学计划完成情况: 照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________ ________________________________ ________________________________

课 后 评 价

学生的接受程度: 完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

评 价

教务主任 审批

学管审批


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