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1.3.1推出与充分与必要条件


1.3.1 推出与充分条件与必要 条件

判断下列命题是真命题还是假命题:

? (1)若 x ? 1 ,则 x ? 1 ; 真 ? (2)若 x 2 ? y 2 ,则 x ? y ; 假 ? (3)全等三角形的面积相等; 真 假 ? (4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
2

若p则q为真 ,记作 p ?

q 若p则q为假,记作 p ? q
(1)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ;真 x≥1 ? x2≥1 真 (3)全等三角形的面积相等; 两三角形全等
2 2

(2)若x ? y,则x ?

?

两三角形面积相等 x2 ? y2 ? x ? y 假 y;

(4)对角线互相垂直的四边形是菱形;假 四边形对角线互相垂直 ? 四边形是菱形;

新授课
1、充分条件与必要条件:一般地,如果已 知 p ? q那么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的 必要条件.

x ?1? x ?1 2 x ? 1是x ? 1的充分条件 2 x ? 1是x ? 1的必要条件
2

两三角形全等 ?两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件.
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

2. 充分必要条件
p ? q ,且 q ? p ,则 一般的,如果

称 p是q的充分必要条件,简称p是q充 要条件记作 p ? q .

3.判断充分、必要条件的基本步骤: (1)认清条件和结论; (2)考察 p?q 和 q ? p 的真假。

例1:判断p是q的什么条件: (1)p:两三角形全等,q:两三角形面积相等 (2)p:a ? 4, q : a ? 2 (3)p:A ? B,q:A ? B=A
2

例2 .指出下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p 的什么条件: p : x ? y;   q : x 2 ? y 2 (1)
(2)p:三角形的三条边相等; q:三角形的三个角相等.

? 解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2是 x=y的必要不充分条件. ? (2) p是q的充分条件且是必要条件. ? q是p充分条件且是必要条件.

典型例题
例3.填表
p q p是q的什么条件 q是p的什么条件 必要不充分 充分不必要 充分不必要 充分不必要 必要不充分 充分 必要 充分不必要 必要不充分 必要不充分 必要不充分 充分不必要 必要 充分 必要不充分 充分不必要

y是有理数
x?5 a?b

y是实数
x?3 a?b x? A? B a?0

m,n全是奇数 m+n是偶数
x ? A且x ? B ab ? 0

( x ? 1)( y ? 2) ? 0 x ? ?1且y ? 2

典型例题

? 例4、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空: 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条 件. 充要 充分不必要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___ 条件. (3)“x=3”是“x2=9”的______条件. 既不充分也不必要 (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行

4.从集合角度理解充分必要条件:

p ? q ,相当于 P ? Q ,即 q ? p ,相当于 P ? Q ,即





p ? q,相当于 P ? Q ,即

练习:
1.课后练习 1、2 p : 2 x ? 3 ? x 2 , q : x 2 x ? 3 ? x 2 ,则p是q 2.已知: 的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分又必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设p是q的充分不必要条件,则 ?p 是?q 的 必要不充分 条件.

4、方程 x 2 ? x ? m ? 0无实根是 m ? 0 的什么条件?

6、设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分非必要条件,那么丙是甲的
(A)充分非必要条件,(B)必要非充分条件, (C)充分且必要条件,(D)既不充分也不必要条件

课堂小结
(1)充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. (2)判断充分、必要条件的基本步骤: ①认清条件和结论; ②考察 p? q 和 q ? p 的真假。 (3)判别技巧: ① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判 断。


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