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吉林省四平市2015-2016学年高一入学考试数学试题


高中入学考试数学试卷
数学试题共六道大题,26 道小题。全卷满分 120 分。考试时间 120 分钟。


题号 得分
一、单项选择题(每小题 2 分,共 12 分) 1. 下列各数中,最小的数是 A. -2 B. -0.1 C. 0





五 六 总分









) D. |-1| )

2. 如图是几个完全相同小正方体组成的一个几何体,这个几何体的俯视图是(

A. 3. 下列运算正确的是( A.3x2+4x2=7x4 4.不等式组 ? )

B.

C.

D.

B.2x3·3x3=6x3

C.x6 ? x3==x2 )

D.(x2)4=x8

? x ? 1>0 的解集在数轴上表示为 ( ?8 ? 4 x≤0
B. C.

A.

D.

5.如图,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上, 若∠1=30°,则∠2 的度数为( ) A.60° C.40° B.50° D.30° (第 5 题图) 6.如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,连接 OA、OB, 则∠C 的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.80° ∠OBA=50°,

(第 6 题图) 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 7. 太阳的半径约为 696 000 千米,用科学记数法表示为____________千米. 8. 若 1 ? 3x 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 9.某校篮球班 21 名同学的身高如下表: 身高/cm 180 185 187 190 201 .

人数/名

4

6

5

4

2

则该校篮球班 21 名同学身高的中位数是______________cm. 10.某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器, 现在生产 600 台机器所需时间与原计划 生产 450 台机器所需时间相同,现在平均每天生产 11. 若 x= -2 是关于 x 的一元二次方程 x ?
2

台机器.

5 ax ? a 2 ? 0 的一个根, 2

则 a 的值为__________ 。 12. 如图,在正方形 ABCD 外侧,作等边三角形 ADE, AC,BE 相交于点 F,则∠BFC 为__________度. (第 12 题图) 13. 把抛物线 y=(x+1) 向下平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,所得到的抛物线解析式是
2

________________. 14. 如图, 在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ∠A=60°, M 是 AD 边的中点, N 是 AB 边上一动点, 将△ AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△ A?MN ,连接 A?C , 则 A?C 长度的最小值是 ___________.

解答题(每小题 5 分,共 20 分) 15. 先化简,再求值: 1 2 x2 x ? ,其中 x= - 2. 2 x ?1 x ?1

(第 14 题图)

16. 小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了 20 支笔和 2 盒笔芯,用了 56 元;小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯,仅用了 28 元.求每支中性笔和每盒笔芯的价格.

17. 现有 5 个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字 ? 1,?2 , 1, 2, 3.先将标有数字 ? 2 , 1, 3 的小球放在第一个不透明的盒子里, 再将其余小球放在第二个不透明的盒子里.现分别从 这两个盒子里各随机取出一个小球. (1)请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果; (2)求取出的两个小球上的数字之和等于 0 的概率.

18.已知,如图,△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90° ,D 为 AB 边上一
点.求证:BD=AE.

四、解答题(每小题 7 分,共 28 分) 19. 如图, 在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中, 有线段 AB 和直线 MN , 点A、

B 、 M 、 N 均在小正方形的顶点上. (1) 在方格纸中画四边形 ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上) , 使四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形,点 A 的对称点为点 D ,点 B 的对称点为 C ; (2)请直接写出四边形 ABCD 的周长.

20. 某校为了开阔学生的视野,积极组织学生参加课外读书活动. “放飞梦想”读书小组协 助老师随机抽取本校的部分学生,调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体

最喜爱的各类图书的人数 人数 24

最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比

类、科普类、其他等四类) ,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你结合图中 的信息解答下列问题:

(1)求被调查的学生人数; (2)补全条形统计图; (3)已知该校有 1200 名学生,估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人?

21. 如图,从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地,图中 AC=10 千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°.因城市 规划的需要,将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路. (1)求改直后的公路 AB 的长; (2)问公路改直后比原来缩短了多少千米? (sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)

22. 如图, 已知?ABCD 水平放置在平面直角坐标系 xOy 中, 若点 A, D 的坐标分别为 (﹣2, 5) , (0,1) ,点 B(3,5)在反比例函数 y ? (1)求反比例函数 y ?

k (x>0)图象上. x

k 的解析式; x k 的图象 x

(2)将?ABCD 沿 x 轴正方向平移 10 个单位后,能否使点 C 落在反比例函数 y ? 上?并说明理由.

五、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 23. 如图,已知⊙O 的半径为 4,CD 是⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,B 为 CD 延长线上的 一点,∠ABC=30° ,且 AB=AC. (1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)求弦 AC 的长; (3)求图中阴影部分的面积.

24. 某景区的三个景点 A,B,C 在同一线路上,甲、乙两名游客从景点 A 出发,甲步行到 景点 C,乙乘景区观光车先到景点 B,在 B 处停留一段时间后,再步行到景点 C. 甲、乙两 人离开景点 A 后的路程 S(米)关于时间 t(分钟)的函数图象如图所示.根据以上信息回 答下列问题: (1)乙出发后多长时间与甲第一次相遇?

(2)要使甲到达景点 C 时,乙与 C 的路程不超过 400 米,则乙从景点 B 步行到景点 C 的速 度至少为多少?(结果精确到 0.1 米/分钟) 甲
S(米) 5400 乙

3000

0

20 30

60

90

t(分钟)

第 24 题图

六、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 25.如图,已知二次函数的图象经过点 A(6,0) ,B(﹣2,0)和点 C(0,﹣8) . (1)求该二次函数的解析式; (2)设该二次函数图象的顶点为 M,若点 K 为 x 轴上的动点,当△ KCM 的周长最小时, 点 K 的坐标为 ;

(3)连接 AC,有两动点 P,Q 同时从点 O 出发,其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿 折线 OAC 按 O→A→C 的路线运动, 点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O→C→A 的路线运动, 当 P, Q 两点相遇时, 它们都停止运动, 设 P, Q 同时从点 O 出发 t 秒时, △ OPQ 的面积为 S. ①请问 P,Q 两点在运动过程中,是否存在 PQ∥OC?若存在,请求出此时 t 的值;若不存 在,请说明理由; ②请求出 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围;

26.如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C=90°, ∠B=∠E=30°. B(E) B

D

E

A( D ) ) 图1

C

A 图2

C

(1)操作发现 如图 2,固定△ABC,使△DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空: ①线段 DE 与 AC 的位置关系是_________; ②设△BDC 的面积为 S1,△AEC 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的数量关系是_____________. (2)猜想论证 当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时,小明猜想(1)中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立, 并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC、CE 边上的高 DM、AN,请你证明小明的猜想.

图3 A

D

B (3)拓展探究

E 图图 4 4

C

已知∠ABC=60°,点 D 是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB 交 BC 于点 E(如图 4). 若在射线 BA 上存在点 F,使 S△DCF=S△BDE,请直接写出 相应的 BF 的长. ....

高中入学考试数学试卷参考答案和评分标准
阅卷说明: 1.评卷采分最小单位为 1 分,每步标出的是累计分。 2.考生若用“参考答案”以外的解(证)法,可参照本“参考答案“的相应步骤给分。 一、单项选择题(每小题 2 分,共 12 分) 1. A 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)

96 ?10 7. 6.

5

8. x ≤ 12. 60

1 3

9. 187 13. y=x -2
2

10. 200 14.

11. -1 或-4

7 -1

三、解答题(每小题 5 分,共 20 分) 15. 解:原式=

2 x 2 ? x ? x ? 1? ( x ? 1)( x ? 1)
x ? 2 x ? x ? 1? ( x ? 1)( x ? 1)
x x ?1
3分 5分

=

=

1 1 2 1 当 x= - 2,原式=2×3=3 16. 解:设每支中性笔 x 元,每盒笔芯 y 元,根据题意得

?20 x ? 2 y ? 56, ? ?2 x ? 3 y ? 28.
? x ? 2, 解这个方程组,得 ? ? y ? 8.

3分

答:每支中性笔 2 元,每盒笔芯 8 元. 5分 17. 解: (1)列表或画树状图表示取出的两个小球上数字之和所有可能结果如下: 列表得

或画树状图

3分

(2)由表格或树状图可知,所有可能出现的结果共有 6 种,每种结果出现的可能性相同。 ∴P(和为 0)=

2 1 ? . 6 3

5分

18. 证明:∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACB=∠DCE=90° , ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, 在△ACE 和△BCD 中, ∴△ACE≌△BCD(SAS) , , ∴∠ACE=∠BCD, 3分

∴BD=AE. 四、解答题(每小题 7 分,共 28 分) 19. 解: ( 1 )正确画图; .

5分 4分

( 2 ) 2 5 ?5 2

7分 2分

20. .解: (1)被调查的学生人数为: 12 ? 20% ? 60 ( 人 ) ; (2)如图
24 20 16 12 8 4 O 文学 艺体 科普 其他 类别 人数

第 20 题解图

5分

(3)全校最喜爱文学类图书的学生约有 1200 ? 21. 解: (1)作 CH⊥AB 于点 H,在 RT△ACH 中, CH=AC·sin∠CAB= AC·sin25°=10×0.42=4.2, AH=AC·cos∠CAB= AC·cos25°=10×0.91=9.1, 在 RT△BCH 中, BH=CH÷tan37°=4.2÷0.75=5.6, ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米) ;

24 ? 480 ( 人 ) . 60

7分

2分 3分

5分

(2)BC=CH÷sin37°=4.2÷0.6=7.0, ∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米). 答:公路改直后比原来缩短了 2.3.千米. 22.解:解: (1)∵点 B(3,5)在反比例函数 y= (x>0)图象上, ∴k=15, ∴反比例函数的解析式为 y= (2)平移后的点 C 能落在 y= ; 的图象上;

6分 7分

3分

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵点 A,D 的坐标分别为(﹣2,5) , (0,1) ,点 B(3,5) , ∴AB=5,AB∥x 轴, ∴DC∥x 轴, ∴点 C 的坐标为(5,1) , ∴ ABCD 沿 x 轴正方向平移 10 个单位后 C 点坐标为(15,1) , ∴平移后的点 C 能落在 y= 的图象上.

5分 6分 7分

五、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 23. (1)证明:如图,连接 OA. ∵AB=AC,∠ABC=30° ,∴∠ABC=∠ACB=30° .∴∠AOB=2∠ACB=60° , ∴在△ABO 中,∠OAB=180° ﹣∠ABO﹣∠AOB=90° ,即 AB⊥OA, 又∵OA 是⊙O 的半径,∴AB 为⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 AD. ∵CD 是⊙O 的直径,∴∠DAC=90° . ∵由(1)知,∠ACB=30° ,∴AD= CD=4, 则根据勾股定理知 AC= =4 ,即弦 AC 的长是 4 ; ,则 5分 3分

(3)解:由(2)知,在△ADC 中,∠DAC=90° ,AD=4,AC=4 S△ADC= AD?AC= × 4× 4 =8 .

∵点 O 是△ADC 斜边上的中点,

∴S△AOC= S△ADC=4

. +4 = +4 , 8分

根据图示知,S 阴影=S 扇形 ADO+S△AOC= 即图中阴影部分的面积是 +4 .

24.解:当 0≤t≤90 时,设甲步行路程与时间的函数关系式为 S=at, 点(90,5400)在 S=at 的图像上,∴a=60 甲的函数关系式为 S=60t (0≤t≤90) 1分 当 20≤t≤30 时,设乙乘观光车由 A 到 B 时的路程与时间的函数关系式为 S=mt+n,

点(20,0) , (30,3000)在 S=mt+n 的图像上,
∴?

?20m ? n ? 0 ?30m ? n ? 3000

解得 ?

?m ? 300 ?n ? ?6000

2分

乙的函数关系式为:S=300t-6000 (20≤t≤30) 3分 (1) 由 60t =300t-6000 解得:t=25 (分钟) 答:乙出发后 5 分钟与甲第一次相遇. 5分 (2) 设当 60≤t≤90 时,乙从景点 B 步行到景点 C 的速度为 v 米/分钟, - 90 - 60)v ? 400 ; 根据题意得: 5400 - 3000 ( 7分 ∴v ?

200 ? 66.7 3
8分

答:乙从景点 B 步行到景点 C 的速度至少 66.7 米/分钟.

六、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 25. 解: (1)设二次函数的解析式为 y=a(x+2) (x﹣6) ∵图象过点(0,﹣8) ∴a=
2

∴二次函数的解析式为 y= x ﹣ x﹣8; (2)K( ,0) ; (3)①不存在 PQ∥OC, 若 PQ∥OC,则点 P,Q 分别在线段 OA,CA 上,此时,1<t<2 ∵PQ∥OC, ∴△APQ∽△AOC ∴ ∵AP=6﹣3t ∴ AQ=18﹣8t, ∴t=

2分 4分

∵t= >2 不满足 1<t<2; ∴不存在 PQ∥OC; ②分情况讨论如下, 情况 1:0≤t≤1 S= OP?OQ= ×3t×8t=12t ; 情况 2:1<t≤2 作 QE⊥OA,垂足为 E, S= OP?EQ= ×3t× 情况 3:2<t≤ 作 OF⊥AC,垂足为 F,则 OF= S= QP?OF= ×(24﹣11t)× =﹣ + ; 10 分 =﹣ + 9分
2

7分

8分

26.解: (1)①DE∥AC ②S1= S2 (2)证明:∵∠DCE=∠ACB=90° 又∵∠ACN+∠ACE=180° 又∵∠CNA=∠CMD=90° AC=CD ∴△ANC≌△DMC ∴AN=DM 又∵CE=CB ∴S1= S2 (3)

1分 2分 ∴∠DCM+∠ACE=180° ∴∠ACN=∠DCM 4分 ∴∠NAC=∠MDC 6分 8分 10 分

4 8 3或 3 3 3

(此问写出一种答案即给 1 分) 提示:如图所示, 作 DF1∥BC 交 BA 于点 F1 ; 作 DF2⊥BD 交 BA 于点 F2 。 BF1 、BF2 即为所求。


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