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2014年职高数学第一轮复习:双曲线及其标准方程


双曲线及其标准方程

一、双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2| ——焦距.
M

MF1 ? MF2 ? ?2a

F

1

F

2

双曲线的标准方程
x y 方程形式: ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b
y
F1 o F2x
2 2

y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y F2

2

2

o F1
焦点在y轴上
2

x

位置特征:焦点在x轴上 焦点坐标
数量特征: 2
2

c ? a ? b(a, b, c ? 0)

两种标准方程的特点
y
M
M o

y
F2

F1

F2

x
F1

x

y x x y ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“-”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2

2

2

? a ? b 。 如何确定焦点位置?? 2 ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 x 轴上; 2 如果 y 的系数是正的,则焦点在 y 轴上。
③c
2 2 2

2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0, b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0, b>0)





范 围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

实虚轴 a,b,c 的关系

a或 x≤____ -a , x≥__ y x∈R,y≤-a 或 y≥a ∈R 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y= ± y= ± ax bx c (1,+∞) ,其中 c= a2+b2 e=a,e∈___________ 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2| =2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线 的半虚轴长 a2+b2 (c>a>0,c>b>0) c2=________

双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的 两条渐近线互相垂直(位置关系).

两种方法

求双曲线方程的两种方法:
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲 线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方 程; 2.特殊方法:

(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确 x2 y2 定时,其标准方程可设为 m- n =1(mn>0),这样可避免 讨论和复杂的计算;也可设为 Ax2+By2=1(AB<0),这种 形式在解题时更简便. (2)当已知双曲线的渐近线方程 bx± ay=0,求双曲线方程 时,可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ(λ≠0),据其他条件 确定 λ 的值.

1.判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 a,b,c 及其焦点坐标,顶点坐标,及实轴长、虚轴长,焦 距

答案: A (?2, 0), A (2, 0), 实轴长为4
1 2

x2 y2 (1) ? ?1 (2) x 2 ? y 2 ? 2 4 2 x2 y 2 x2 y 2 (3) ? ? ?1 (4) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 3 4 m n (1)a ? 2, b ? 2, c ? 6, F1 (? 6, 0), F2 ( 6, 0)

虚轴长为2 2, 焦距为2 6,

(4)a ? m, b ? n , c ? m ? n , F1(? m ? n ,0), F2 ( m ? n ,0)

(2)a ? 2, b ? 2, c ? 2 , F1(?2,0), F2 (2,0) (3)a ? 2, b ? 3, c ? 7 , F1 (0,? 7 ), F2 (0, 7 )

例1:已知双曲线

上一点

P到

双曲线的一个焦点的距离为9,则它到另 一个焦点的距离为 3或15 思考: 若把距离9改为3, 则现在有几解? .

例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a ? 4, c ? 5焦点在

y 轴上

思考:

要求双曲线的标准 方程需要几个条件 (2)a ? 4 经过点 A(1, 17)

x y (3)已知椭圆的方程为 9 ? 16 ? 1 , 求以
此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双 曲线的标准方程.

2

2

例3:如果方程

表示焦点在y轴

的双曲线,求m的取值范围.
变式一: 方程 表示双曲线时,则m的

取值范围
变式二: 表示焦点在y轴的双曲线时, 求m的范围。

例4、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、 F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线焦点在x轴上,所以设它的 标准方程为 x 2 y 2

a
∵ ∴

2

?

b

2

?1 ( a ? 0 , b ? 0 )
∴ c=5 ,a=3

2c=10 ,2a=6 b2= 52- 32= 16

∴ 所求双曲线的标准方程为

x y ? ?1 9 16

2

2

1.求适合下列条件的双曲 线的标准方程:

?1?焦点在x轴上, a ? 4, b ? 3;
若去掉焦点在X 轴上的条件呢?

?2?焦点为?0,?6?, (0,6),且经过点(2,?5)
(3)经过点(5,2)与点(10,8)

1 【例 2】?已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且经过点 2 A(2,-3),则双曲线的标准方程为________.

[审题视点] 分别讨论双曲线的焦点在x轴上和y轴上,
设出相应的标准方程可解;也可根据渐近线方程的 形式设出双曲线的方程,再进行求解.
解析 法一 1 ∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2

若焦点在 x 轴上,设所求双曲线的标准方程为 x2 y2 b 1 - =1(a>0,b>0),则a= . a2 b2 2 ①

4 9 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. a b 由①②联立,无解. 若焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准方程为 y2 x2 a 1 - =1(a>0,b>0),则b= . a2 b2 2 9 4 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. a b 由③④联立,解得 a2=8,b2=32. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32



③ ④

1 方法二:解:因为渐近线方程为y= ? x, 2 故设双曲线的方程为(x-2y)(x+2y)=k 将A(2,-3)代入方程中得k=-32 y 2 x2 ? 所求的方程为 ? ?1 8 32

练习:

根据下列条件,求双曲线的标准方程:
15 16 1、过点 P ( 3 , )、Q ( ? , 5 ) 且焦点在坐标 4 3

轴上; 2、 c = 6 ,经过点 (-5 , 2 ),焦点在 x 轴上;
x y 3、与双曲线 ? ? 1 有相同焦点,且经过 16 4 点 ( 3 2, 2 )
y x (1) ? ?1 9 16
2 2

2

2

2 2 x2 x y ( 2) ? y 2 ? 1 ( 3) ? ?1 5 12 8

考点自测
1.(2011· 安徽)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 A.2 B.2 2 C.4 ( ). D.4 2

解析

2 2 x y 将双曲线 2x2-y2=8 化成标准方程 - =1, 4 8

则 a2=4,所以实轴长 2a=4.

答案

C

x2 y2 2.(2013· 新余模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 16 20 分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|= ( A.1 C.1 或 17 B.17 D.以上答案均不对 ).

解析

由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,

∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离 最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.

答案

B

3. (2012· 全国)已知 F1、 F2 为双曲线 C:x2- y2=2 的左、 右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|= 2|PF2|,则 cos∠ F1PF2 = 1 A. 4 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5 ( ).

解析

因为 c2=2+2=4,所以 c=2,2c=|F1F2|=4,由

题可知|PF1|-|PF2|=2a=2 2, |PF1|=2|PF2|, 所以|PF2| =2 2,|PF1|=4 2,由余弦定理可知,cos∠F1PF2= ? 4 2?2+? 2 2?2-42 3 = ,故选 C. 4 2×4 2×2 2

答案

C

x2 y2 4.(2011· 山东)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 a b 线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点 为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 x2 y2 A. - =1 5 4 x2 y2 C. - =1 3 6
解析

(

).

x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 6 3

圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近

3b 3b 线方程是 bx± ay=0,根据已知得 2 2= 2,即 3 = 2, a +b
2 2 x y 解得 b=2,则 a2=5,故所求的双曲线方程是 - =1. 5 4 答案 A

x2 y2 5. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 - 2 m m +4 =1 的离心率为 5,则 m 的值为________.

解析

由题意,双曲线的焦点在 x 轴上,所以 e=

m2+m+4 = 5,所以 m=2. m

答案

2

例6:一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声的时 间比在B处晚2s.已知A,B两地相距800m,并且 此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲 线上?并求出轨迹方程。 ? 解:设点P为爆炸点,则 ? |PA|- |PB|=340×2=680<800 ? ∴因此爆炸点P应位于以A,B为焦点且靠近 B点的双曲线的一支上。
y
M

以AB所在直线为 x轴,AB的中点 为原点建立如图的直角坐标系
x

A

O

B

2c ? 800, 2a ? 680 2 2 2 ? b ? c ? a ? 44400

例7:直线y=x+m与双曲线2x2 -y2 =2相交于A,B两点, 若以AB为直径的圆过原点,求m的值.

例8:已知双曲线的中心在原点O,实轴为x轴, OM =(0,5)一条渐近线的斜率为2 P为双曲线上一动点且| OP-OM|的最小值为3 (1)写出双曲线的渐近线的方程 (2)求双曲线的标准方程
(2)解:据题意 b ? 2 ? b 2 ? 4a 2 a 设P ( x, y ),因为点P为双曲线上的一动点 x2 y2 y2 2 2 所以有 2 ? ? 1? x ? a ? 2 a 4a 4 M (0, 5) ? OP ? ( x, y ), OM ? (0, 5) ? OP -OM ? ( x, y ? 5) ? | OP -OM| ? x 2 ? ( y ? 5) 2 ? a2 ? 5 ? 5 ( y ? 4) 2 4

?当y ? 4时有最小值3 ? a 2 ? 4, b 2 ? 16 x2 y2 ? 所求的方程为 ? ?1 4 16

高考题 x2 y2 已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b 2 的一条渐近线方程为y= x且焦距为2 3 2 (1)求双曲线C的方程 (2)设点A的坐标为(3,0),点P是双曲线C上的动点 当|PA|取最小值时,求点P的坐标


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