几何体表面积、体积的教案

三、几何体的表面积、体积
15.4 几何体的表面积 教学重点：
1. 2. 3. 会计算柱体和锥体的表面积； 经历柱体和锥体表面积公式的推导过程； 知道球的表面积公式。

教学内容： 柱体（棱柱和圆柱） 、锥体（棱锥和圆锥）的表面由底面和侧面组成，底面多边形或圆 形的面积已经会计算了，而侧面积的计算,常用方法是将该几何体的侧面展开成平面图形， 转化为计算平面图形的面积。 1. 棱柱的表面积 ①直棱柱的表面积 直棱柱的侧面展开图是矩形，若 h 和 c 分别是直棱柱的高和底面周长，则 直棱柱的侧面积： S侧 ? ch 直棱柱的表面积: S全 ? S侧 ? 2S底 ? ch ? 2S底 ②斜棱柱的表面积 斜棱柱的侧面展开图不是矩形,所以其侧面积的计算是将每一个侧面的面积求出后相加 所得。 2. 圆柱的表面积 圆柱的侧面展开图是矩形，若 h 和 r 分别是圆柱的高和底面的半径，则 圆柱的侧面积： S侧＝2? rh （与直棱柱的侧面积计算公式相同）
2

圆柱的表面积： S全 ? S侧 ? 2S底 ? 2? rh ? 2? r 3. 锥体的表面积

① 棱锥的表面积 棱锥的侧面都是三角形，其侧面积为各个三角形面积之和。 特别地，正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成，那么 正棱锥的侧面积： S侧 ?

1 ' ch 2 1 ' ch ? S正多边形 2

正棱锥的表面积: S全 ? S侧 ? S底 ?
'

其中 h 是正棱锥侧面等腰三角形的高，也称斜高， c 是正棱锥底面的周长。 ② 圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形， 该扇形的半径是圆锥的母线长 h ， 弧长为圆锥底面圆的
1
'

周长 2? r 。 圆锥的侧面积： S侧＝ ch' ? ? rh'

1 2

1 ' ch 为基础,其中 c 为底面正多边形周长, h ' 2 为斜高。设正棱锥的底面是半径为 r 圆内接正 n 边形，当 n ?? 时，正 n 边形趋向于半径
也可以解释为以正棱锥的侧面积公式 S侧 ? 为 r 的圆，此时正 n 边形的周长 c 趋向于圆的周长 2? r ，即 c ? 2? r ，同时斜高 h 趋向于
'

圆锥的母线 h ，所以正棱锥的侧面积公式趋向于圆锥的侧面积公式，即

'

1 ' 1 ch ? ?2? r ?h' ? ? rh' 2 2
例1. 已知正三棱锥的底面边长为 2cm， 高为 1cm， 求该三棱锥的表面积。 （结果精确到 0.1cm2）

1 2 3 S侧＝ ? 6 ? ＝2 3(cm 2 ) 2 3 S全＝ 3+2 3＝3 3 ? 5.2(cm 2 )
例 2.已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形， 侧棱长为 b ， 一条侧棱 AA1 与底面相邻两边 AB 、 AC 都成 45 角。求此斜三棱柱的表面积。
o

S全 ? ( 2 ? 1)ab ?

3 2 a 2

例 3.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为 45 ， 容器的高为 10cm。 制作该容需要多少面积的铁皮？ （衔接部分忽略不计， 结果精确到 0.1cm2）

o

S侧 ? ? rh' ? ? ?10 ?10 2 ? 100 2? ? 444.3(cm 2 )
例 4.从 1999 年开始，上海市实施民用多层住宅“平改坡”工程，计划将平顶房屋改为尖顶， 并铺上彩色瓦片。现对某幢房屋有如下两种改造方案： 方案 1：坡顶如图(1)所示，为顶面是等腰三角形的直三棱柱，顶尖屋脊 AA1 与房屋长度

BB1 等长，有两个坡面需铺上瓦片。
方案 2：坡顶如图(2)所示，为图(1)削去两端相同的两个三棱锥而得，顶尖屋脊 DD1 比 房屋长度 BB1 短，有四个面需铺上瓦片。 若房屋长度 BB1 ? 2a ，宽 BC ? 2b ，屋脊高为 h ，问哪一种尖顶铺设的瓦片比较省？
2

说明理由。

(1)

S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD

? h h ? ? x h 2 ? b 2 ? b h 2 ? x 2 ? bx ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? b x ? ?

(2)

（1）若 AD 的长小于房屋宽度的一半时，方案 1 尖顶铺设的瓦片比较省； （2）若 AD 的长等于房屋宽度的一半时，方案 1 和 2 尖顶铺设的瓦片一样多； （3）若 AD 的长大于房屋宽度的一半时，方案 2 尖顶铺设的瓦片比较省。 例 5. 如图，在三棱锥 A ? BCD 中， ?ABC 和 ?BCD 都是边长为 a 的正三角形，二面角 A ? BC ? D 的大小为 ? ，求当 ? 为多少时，三棱锥的全面积最大？ A

1 当? ? ? ? arccos 时, 三棱锥的全面积最大 3
B D

C

例 6.圆柱的底面积为 S ，轴截面的面积为 Q ，则它的表面积为

。 ? Q ? 2S

例 7.一个圆锥的高为 SO ,它的轴截面为等腰直角三角形 SAB ， Q 为底面圆周上的一点。

?AOQ ? 60o ， QB ? 2 3 .求此圆锥的全面积。 S全 ? (4 ? 4 2)?
4.球的表面积 球的表面积计算公式为： S ? 4? r *球的表面积是其大圆面积的 4 倍。 例 8.球的表面积扩大为原来的 n 倍，则它的半径比原来增加 倍。 n ? 1
2

其中 r 是球的半径。

3

15.5 几何体的体积 教学重点:
1. 知道祖暅原理，并在推导柱体和锥体体积公式的过程中领会该原理的意义和作用； 2. 经历柱体和锥体体积公式的推导过程; 3. 会计算柱体、锥体和球的体积。

教学内容： 1. 柱体的体积 ①祖暅原理:体积可看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间图形,若在任意等高 处的截面面积都对应相等,则两空间图形的体积必然相等。 其正确性可以验证的。 如将同样厚的一叠书按三种不同的形状堆放在桌子上， 由于书的 大小、顺序和厚度都没有发生变化，因此三种堆法不会改变整叠书的体积。 ②棱柱的体积 长方体的体积： V ? Sh ( S 是底面积， h 是高) 如果一个棱柱与一个长方体的高相同都为 h ， 且底面面积相等都为 S ， 那么当我们用一 个与底面平行的平面去截它们时， 可以证明截面的面积都等于各自底面的面积 S ， 由祖暅原 理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等，即

V棱柱 ? Sh ( S 是棱柱的底面面积， h 是棱柱的高)
例 1.已知三棱柱 ABC ? A B C 的底面为直角三角形，两直角边 AC 和 BC 的长分别为 4cm
' ' '

和 3cm。侧棱 AA' 的长为 10cm。求满足下列条件的三棱柱的体积。 (1) 侧棱 AA 垂直与底面;
A'
'

C' B'

(2) 侧棱 AA 与底面所成的角为 60 。

'

o

(1)V ? Sh ? 6 ?10 ? 60(cm3 )
(2)V ? S ?A' H ? 6 ? 5 3 ? 30 3(cm3 )
A C H B

③圆柱体的体积 由祖暅原理可知，圆柱体的体积也满足 V圆柱＝Sh或V圆柱＝? r h
2

例 2.圆柱的侧面展开图是边长为 6? 和 4? 的矩形,求圆柱的全面积和体积。

当高为4? 时, V ? 36? 2，S全＝18? +24? 2 当高为6? 时, VS ? 24? 2，S全＝8? +24? 2
2.锥体的体积 ①平面上 n 边形（n﹥3,n∈Z）从一个顶点出发联结 n-3 条对角线后，可以将它分割成 n-2 个三角形，而这 n-2 个三角形的面积之和等于原 n 边形的面积。同样，对于一个 n 棱锥也可 以将其分割成 n-2 个三棱锥，这 n-2 个三棱锥的体积之和等于原 n 棱锥的体积。因此，只要 解决了三棱锥的体积问题，就解决了 n 棱锥的体积问题。
4

②定理：等底等高的三棱锥的体积相等。 证明见书本 ③推导三棱锥的体积公式 三棱锥 A ? BCD 的体积等于它等底等高的三棱柱的体积的三分之一，即

1 V三棱锥 ? Sh 3
A E

其中 S 和 h 分别是三棱锥的底面面积和高.
A E A A A

F

F

F

B

D

B C

D

B

B

B C C

D

C

1 n 棱锥的体积公式: V棱锥 ? Sh 其中 S 和 h 分别是 n 棱锥的底面面积和高. 3 例 3.求棱长都为 a 的正四棱锥的体积和表面积。
V? 2 3 a 6

S ? (1 ? 3) a 2
例 4.设三棱锥的一条棱长为 1，其余各棱长为 2，求其体积。 V ?

11 6

例 5.立方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ， E 、 F 分别为 BB1 与 DD1 的中点，求四棱锥

D ? A1 ECF 的体积和点 D 到平面 CEF 的距离。

1 V ? a3 6

点D到平面CEF的距离为

6 a 6

例 6.三棱锥 P ? ABC 的体积是 54，且 PC ? 底面ABC ， PC ? 6 3 ， AB ? 3 3 ，求侧 面 PAB 与底面 ABC 所成二面角的大小。 60
o

例 7. 已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， A1 A ? 平面ABCD ， AB ? 4 , AD ? 2 . 若

BD ? BC ，直线 B1 D 与平面 ABCD 所成的角等于 30O ，求平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1
的体积。 8 3

5

例 8.如图，一个底面 ABC 是直角三角形（ ?B＝90 ）的直三棱柱被一个平面斜截成的一
o

个几何体，截面是 DEF ，已知 AB ? 3 ， BC ? 4 ， BE ? CF ? 5 ， AD ? 2 ，求这个几何 体的体积。24 F
E

D C A B

同样， 圆锥的体积公式推导可构造一个与圆锥底面面积和高都相同的三棱锥， 所以圆锥 的体积公式也是： V圆锥 ?

1 1 Sh ? ? r 2 h 3 3

r 为圆锥底面的半径.

例 9.一个倒置的封闭圆锥形的容器，容器内盛了一些水，水面将高 2 等分，求水的体积是 圆锥体积的几分之几？

1 8

3.球的体积公式

4 V球 ? ? r 3 3

r 为球的半径

例 10.如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边 长为 6 ，求半球的表面积和体积。

S表＝27?

V＝18?
20cm

例 11. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的 球， 球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满， 然后取出该球 （假 设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计） ，则球取出后，容器中 水面的高度为 cm. （精确到 0.1cm）8.3
第 11 题

10cm

例 12．如图， ?ABC 中， ?C ? 90 ， ?A ? 30 ， BC ? 1 。在三角形内
? ?

题

挖去半圆（圆心 O 在边 AC 上，半圆与 BC、AB 相切于点 C、M，与 AC 交于 N） ，则图中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体的体积为 ．

5 3 ? 27

6

ABCD 是正方形， PA ? 平面AC ，且 PA ? AB ，
（ 1 ）求二面角 B ? PA ? D 的大小； （ 2 ）求二面角 B ? PA ? C 的大小； （ 3 ）求二面角 （4）求二面角 A ? PD ? B 的大小； （5）求二面角 B ? PC ? D 的大小； A ? BD ? P 的大小； （6）求平面 PAB 和平面 PCD 所成锐二面角的大小。 (追踪 133 页)

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