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高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结


任意一条 直线都垂直, 1.如果直线l与平面α内的 ⊥α l 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作 .l直线 平面α的垂线 直线l的垂面 叫做 ,平面α叫做 .直线与 平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做 . 垂足 2.一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直, 则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂 判定定理 直的 ,用符号表示为: a? ?α b? ?α a∩b=O ? l⊥α. l⊥ a l⊥b?

?

3.一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平 面 垂直 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和 平面的交点A叫做 斜足 .过斜线上斜足以外的一点 向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线 在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的 锐角 ,叫做这条直线和这个平面所 射影所成的 成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 直角;一条直线和平面平行,或 在平面内 ,我们说 它们所成的角是0°的角.

4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做 二面角 .这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平 面叫做 二面角的面 .棱为l,面分别为α,β的二面角 记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一 点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直 于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的 二面角的平面角.二面角的大小可 ∠AOB叫做 平面角 以用它的 来度量,二面角的平面角是多 少度,就说这个二面角是多少度.平面角是 直角 的二面角叫做直二面角.一般地,两个平面相

交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两 个平面 互相垂直 .

垂线 5.一个平面过另一个平面的 ,则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的 判定定理 ,用符号表示为: l⊥ α

?β? l?

??

α⊥β.

学点一 线面垂直的判定 如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB, SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H, 求证:SH⊥平面ABC. 【分析】考查线面垂直的判定定理. 【证明】取SA的中点E, 连接EC,EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA⊥BE,SA⊥CE.

又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC? ?平面BCE,

图2-4-2

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∴SA⊥BC.

又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,
∴BC⊥平面SAD. ∵SH? ?平面SAD,∴SH⊥BC. 又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC. 【评析】证明线面垂直,需先有线线垂直,抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边,抓住公共边的中点,通过 作辅助平面,找到所需要的另一条直线.

在空间四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD. 求证:BD⊥AC. 如图,取BD的中点K,连接AK, CK. ∵AB=AD,K为BD中点, ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.

?平面AKC,∴BD⊥AC. ∵AC?

学点二 直线与平面所成的角 在正四面体A—BCD中,E为AD的中点,求CE与 底面BCD所成角的正弦值. 【分析】如图2-4-3所示,要求CE 与底面BCD所成角的正弦值,首 先要作出该角,其次应将其放在 直角三角形内求解,所以应过E作 底面的垂线.此时垂足所在位置特 别关键.由A—BCD为正四面体, 那么E在底面BCD的垂足必在 ∠BDC的角平分线上,连接CF, 根据条件找出边长即可.

图2-4-3

【解析】如图2-4-4所示,作 AO⊥面BCD,O为垂足,连接 DO并延长和BC交于G,则G为 BC的中点. ∴DG⊥BC. 又AO⊥BC,∴BC⊥面ADG.

作EF⊥DG,F为垂足,则BC⊥EF,
∴EF⊥面BCD. 连接FC,则∠ECF是斜线CE与 平面BCD所成的角.
图2-4-4

设正四面体的棱长为a,
则AO=
a2 ? (

1 故EF= 2AO= 又CE= 3 a , 2

3 2 6 a) ? a 3 3 6 a . 6

.

∴sin∠ECF=

2 3

.
2 3

即CE与底面BCD所成角的正弦值为

.

【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是: 在斜线上找一具有特殊性的点,过该点向平面作垂线, 连接垂足和斜足,即为斜线在平面上的射影,进而作出 斜线与平面所成的角,再解直角三角形求出线面角的大 小,同时要注意其取值范围.

在三棱锥O—ABC中,三条棱OA,OB,OC两两 互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB边的中点,则 OM与平面ABC所成角的正切值是 .

(如图,连接MC,则 ∠OMC为所求.在Rt△OMC

中,OM=

OC 则tan∠OMC= = 2 .) OM

2 2

OA,

学点三

面面垂直的判定

如图1-10-3所示,过点S引三条不 共面的直线,使∠BSC=90°, ∠ASB=∠ASC=60°,若截取

SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面BSC.

【分析】欲证面面垂直,需证线面垂直.故找出垂线是关键.

【证明】证法一:如图1-10-4所示,取BC的中点D,连 接AD,SD. 由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC, ∴AD⊥BC,SD⊥BC.

令SA=a,在△SBC中,SD=
又AD=
AC2 - CD2

=

2 2

2 2

a,

a,

∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.

又∵AD⊥BC,∴AD⊥平面SBC.
∵AD? ?平面ABC, ∴平面ABC⊥平面SBC.

证法二:∵SA=SB=SC=a,又∠ASB=∠ASC=60°,

∴△ASB,△ASC都是等边三角形.
∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D,

∵AB=AC=AS,
∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点, 故AD? ?平面ABC.

∴平面ABC⊥平面SBC.

【评析】证明面面垂直有两个途径:一是定义,二是
证明线面垂直.两者都是通过线线垂直来完成.如果题 目中给出了线段长度、角度等条件,可考虑用勾股定 理证线线垂直,所以空间问题平面化是解决立体几何 问题的重要思想.

如图1-10-5所示,在四面体ABCD中,BD= 2 a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD. 证明:取BD的中点E,连接AE,CE.则

AE⊥BD,BD⊥CE.
在△ABD中,AB=a,BE= ∴AE=
2 2 a ,同理,CE= a. 2 2 在△AEC中,AE=EC= 2 a,AC=a, 2 2 2 2 ∴AC =AE +EC ,即AE⊥EC.

1 BD= 2 a 2 2

,

∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD. 又∵AE? 平面ABD, ? ∴平面ABD⊥平面BCD.

学点四

二面角大小的求法

如图2-4-8所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中, AB=2,BC=BB1=1,E为D1C1的中点,求二面角 E—BD—C的正切值. 【分析】求二面角大小,关键作 出二面角的平面角.由于E在平面

DCC1D1内且平面DCC1D1⊥平面
BCD,因此易作出平面角.
图2-4-8

【解析】如图2-4-9所示,
∵ABCD—A1B1C1D1是长方体,

图2-4-9∴过E作EF⊥CD于F,则EF⊥面BCD,且F为CD中点, 过F作FG⊥BD于G,连接EG,则EG⊥BD.于是∠EGF为二 面角E—BD—C的平面角. ∵BC=1,CD=2,
1 BC ? CD 1 ? 2 1 ? ? ∴GF= , 2 BD 2 5 5

而EF=1,在△EFG中, tan∠EGF=
EF 1 ? ? 5 1 GF 5

.

∴所求二面角的正切值为5.

【评析】二面角的“作、证、求”是解决二面角的 必由之路,二面角的平面角的作法是解决问题的关 键,二面角的平面角的作法通常有: (1)定义法:在棱上任取一适宜点,分别在二面角 两半平面内作棱的垂线. (2)垂面法:过一点作棱的垂面,交线所成角即为 平面角.

(3)投影法:利用S投影面=S被投影面·cosθ.
(4)对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直 线,作出棱.

已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,则
侧面与底面所成的二面角等于
π 3

.

(设O为底面ABCD的中心,E为BC边 的中点,则∠PEO即为侧面与底面所成 二面角的平面角, ∵底面对角线的长为2 6, ∴底面边长为2 3 . 1 又∵V= Sh=12. 3 ∴OE= 3 ,高OP=3, OP ∴tan∠PEO= OE =3. π ∴∠PEO= . 3 π 即侧面与底面所成的二面角为 )
3

1.怎样理解线面垂直的判定定理?

直线和平面垂直的判定定理,应抓住“两条”和“相 交”这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面 是否垂直,取决于在这平面内能否找出两条相交直线 和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直 线有公共点,是无关紧要的.
2.怎样理解直线和平面所成的角?

直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角 问题.斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平 面所成角的步骤: ①确定斜线和平面的交点(即斜足);

②经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线, 从而确定斜线的射影; ③由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形, 通过解此三角形,得到斜线和平面所成的角,同 时要注意直线和平面所成角的范围. 在求解斜线和平面所成角的过程中,确定点在直线 上或平面上的射影是关键,确定点在平面上射影位 置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面 上的射影上; ②利用垂直关系得出线面垂直,确定射影.

3.如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直? 两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定 义的,利用这个定义可直接证明两平面垂直,其步骤为: (1)找到两个相交平面α,β的交线a及这两个平面与第 三个平面γ相交所得到的两条交线b,c; (2)证明a⊥γ,b⊥c; (3)根据定义,得到α⊥β. 4.在二面角的学习中应注意什么问题? (1)二面角的平面角的概念应注意强调:顶点在二面角 的棱上,两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都 垂直于二面角的棱,这样选取的角的大小与角的位置的 选取无关.
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(2)画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于 表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂 直于二面角的棱,平面角∠AOB的大小与D点的位置 无关. (3)二面角的计算方法: ①定义.作二面角的平面角——在棱上取一点,分别在两 个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角.利 用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点. 学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用. ②用垂面法.作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱 或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个 半平面交线所成的角就是二面角的平面角.

1.直线与直线垂直

两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角,两条 直线不一定相交.
在平面几何中,两直线垂直时,它们一定相交.

2.直线和平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直,即 当直线和平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何 直线,可以把它作为线线垂直的判定定理. (2)要判定一条直线是否和一个平面垂直,取决于在这 个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这 两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要.

(3)教材中例1可以作为结论使用: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. (4)如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直 线平行,可作为两直线平行的一种判定方法. 3.(1)线面垂直的定义中的“任何一条直线”这一 词语,它与“所有直线”是同义词,即直线和平面内 的所有直线垂直. (2)线面垂直的判定定理的条件中,“平面内的两 条相交直线”是关键性词语,证明时一定要明确指出, 弄清定理的条件是掌握好定理的关键. (3)转化思想在本学案中的应用: 线线垂直 线面垂直. 在转化时要弄清相互转化的条件,根据具体问题灵活 选取恰当的证明方法.

4.证面面垂直的方法: (1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°. (2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将 证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题. (3)证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线,将 证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的 问题. 5.空间中角的概念及计算是立体几何的重要内容,求 角的步骤是: (1)找出或作出有关的图形; (2)证明它符合定义; (3)计算. 即“一作、二证、三计算”.


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