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两点式


直线的 两点式方程

一、复习 1). 直线的点斜式方程:

y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率, P0(x0 ,y0)为直线上的一定点

2). 直线的斜截式方程:

y=kx+b
k为斜率,b为截距

举例
例1.已知直线经过P1(1,

3)和P2(2,4)两点,求直 线的方程.
一般做法:

解:设直线方程为:y=kx+b
?3 ? k ? b 由已知得: ? ? 4 ? 2k ? b

解方程组得:

?

方程思想

k ?1 b?2

所以:直线方程为: y=x+2

还有其他做法吗?
4?3 由斜率公式得到斜率 ? k 2?1 4?3 再由直线的点斜式方程 ? 3 ? y ( x ? 1) 2?1 化简可得x ? y ? 2 ? 0

为什么可以这样做,这样做的 根据是什么?

二、直线的 两点式方程 设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,

与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相
等可得:

k pp1 ? k p1 p2
y?3 4?3 ? 即: x ?1 2?1

得: y=x+2

推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 两点的直线方程. 解:设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点.


kPP = kP P
1 1

2

y ? y1 x ? x1 ? ∴ y2 ? y1 x2 ? x1
y ? y1 x ? x1 ? 可得直线的两点式方程: y2 ? y1 x2 ? x1

记忆特点: 1.左边全为y,右边全为x
2.两边的分母全为常数
3.分子,分母中的减数相同

三、直线的两点 式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两 y ? y1 y2 ? y1 点式 x ? x ? x ? x 写出直线方程呢?
1 2 1

不是!
当x1 =x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 =x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)

那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?

注意:两点式不能表示平行于坐标轴或与坐
标轴重合的直线.

若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 =x2,或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?

当x1 =x2 时方程为: x =x1
当 y1= y2时方程为: y = y1

四、直线的截距式 方程

例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程. 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:

y?0 x?a ? , b?0 0?a

x y ? ? 1. a b

x y 所以直线l 的方程为: ? ? 1. a b

截距式直线方程:

x y ? ? 1. a b

直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距 直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?

注意:
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零

举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?

解: ⑴ 两条
x y 设:直线的方程为: ? ? 1 a a
1 2 把(1,2)代入得: ? ? 1 a a

a=3

所以直线方程为:x+y-3=0 那还有一条呢?y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)

(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条?
解:三条



? ? ?

x y ? ?1 a b a ? b

解得:a=b=3或a=-b=-1 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 截距可是正数,负数和零

举例
例4:已知角形的三个顶点是A(-5,0), B(3,-3),C(0,2),求BC边所在的直线 方程,以及该边上中线的直线方程.
解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:
y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0

整理得:5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程.

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为:
x?
M

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 2 2



?3 1? M ? ,? ? ? 2 2?

过A(-5,0),M 的直线方程 整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程.

?3 1? ? 2 ,? 2 ? ? ?

y?0 x?5 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2

中点坐标公式:
若P1 ,P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2) 且中点M的坐标为(x, y).


? ? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2

∵B(3,-3),C(0,2)

∴ M ( 3 ? 0 , ?3 ? 2 )
2 2

即M

3 1 ( ,? ) 2 2

思考题
已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对 称的直线l 1的方程. 解:当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(4,3). 那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为:
y?7 x?2 ? 3?7 4?2

化简得: 2x + y -11=0

还有其它的方法吗?
∵ l ∥l 1,所以l 与l 1的斜率相同 ∴ kl1=-2 经计算,l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4) 化简得: 2x + y -11=0

归纳
直线方程的四种具体形式
名 称

几 何 条 件
点P ( x0,y0 )和斜率k 1
斜率k , y轴上的纵截距 b

方程

局限性

点斜式 斜截式 两点式 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 不垂直于x轴的直线

y ? kx ? b

不垂直于x轴的直线

y ? y1 x ? x1 ? 不垂直于x、y轴的直线 点P ( x1,y1 )和点P2 ( x2,y2 ) 1 y1 ? y2 x1 ? x2

在x轴上的截距 a 在y轴上的截距 b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线

思考
(1) 平面直角坐标系中的每一条直线 都可以用一个关于x , y的二元一次 方程表示吗? (2) 每一个关于x , y的二元一次方程 都表示直线吗?

分析:直线方程

二元一次方程

(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程. (2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可 看作y的系数为0的二元一次方程. (x-x0+0y=0) 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示.

直线方程

二元一次方程

即:对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0),判断它是否表示一条直线?
A C x? (1)当B 0时,方程可变形为 y ? ? B B C A 它表示过点(0,? ),斜率为 ? 的直线. B B

?

(2)当B=0时,因为A,B不同时为零,所以A一定不 C ,它表示一条与 y 轴平 为零,于是方程可化为 x ? ? A 行或重合的直线.

结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示 一条直线.

定义
由1,2可知: 直线方程 二元一次方程

定义:我们把关于 x , y 的二元一次方程
Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 叫做直线的一般式方程,简称一般式.

探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值 时,方程表示的直线 (1)平行于x轴:(2)平行于y轴: (3)与x轴重合:(4)与y轴重合: 分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在, 在x轴上的截距不为0.即 A=0 , B ? 0,C ? 0. (2) B=0 , A ? 0 , C ? 0.

(3) A=0 , C=0 , B
(4) B=0 , C=0 ,

? 0. A ? 0.

举例
例 1 已知直线过点A(6,4),斜率



4 ? 3

,求直线的点斜式和一般式方程.
4 ? 3

解:代入点斜式方程有 y+4= 化成一般式,得 4x+3y-12=0.

(x-6).

举例
例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜 截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形. 解:化成斜截式方程
1 y= x+3 2

因此,斜率为k=

1 2

,它在y轴上的截距是3.

令y=0 得x=-6.即L在x轴上的截距是-6. 由以上可知L与x 轴,y轴的交点

分别为A(-6,0)B(0,3),过
A,B做直线,为L的图形.

练习
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直? 解:(1)若两条直线的斜率都存在,则m不等于0, m 2 ? 且两条直线的斜率分别为 ? 8 、 m . 但由于 m 2 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ? ?1 所以两条直线不垂直.
8 m 4

(2)若m=0,则两条直线中一条直线的斜率为0, 另一条斜率不存在,这时两条直线垂直,方程分别 n 1 为 y? ? ,x ? . 8 2

综上知:m=0,n为全体实数时,两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.

小结

1)直线的两点式方程
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y 直线的截距式方程: ? ? 1. a b

2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0 3)中点坐标: ?

? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2


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