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专题二 高考三角函数与平面向量命题动向


专题二 高考三角函数与平面向量命题动向 高考命题分析 纵观近年各省的高考数学试题, 出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量 考题,它们形式独特、背景鲜明、结构新颖,主要考查学生分析问题、解决问题 的能力和处理交汇性问题的能力.在新课标高考试卷中一般有 2~4 题,分值约 占全卷的 14%~20%,因此,加强这些试题的命题动向研究,对指导高考复习无 疑有十分重要的意义. 现聚焦高考三角函数与平面向量试题,揭秘三角函数与平 面向量高考命题动向, 挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略,希望 能给考生带来帮助和启示. 高考命题特点 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈,奇花斗艳,其特 点如下: (1)考小题,重基础:有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识:解析式; 图象与图象变换; 两域(定义域、值域);四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性); 简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关向量的考查主要是向量的线性运 算以及向量的数量积等知识. (2)考大题,难度明显降低:有关三角函数的大题即解答题,通过公式变形转换 来考查思维能力的题目已经很少, 而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目 却在增加.大题中的向量,主要是作为工具来考查的,多与三角、圆锥曲线相结 合. (3)考应用,融入三角形与解析几何之中:既能考查解三角形、圆锥曲线的知识 与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,深受命题者的青睐.主要 解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、 向量平行与垂直的充要条件,向量的数量积等. (4)考综合,体现三角的工具作用:由于近几年高考试题突出能力立意,加强对 知识性和应用性的考查, 故常常在知识交汇点处命题,而三角知识是基础中的基 础,故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具 性作用. 高考动向透视 考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系 高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现,即利用三角函数的定义、诱导 公式及同角三角函数的关系进行求值、变形,或是利用三角函数的图象及其性质 进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等,而大题常常在综合 性问题中涉及三角函数的定义、 图象、 诱导公式及同角三角函数的关系的应用等, 在这类问题的求解中,常常使用的方法技巧是“平方法”,“齐次化切”等. π? 1 ? 【示例 1】?(2011· 福建)若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α=4,则 tan α 的值等于 ? ? ( 2 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 3 ). 1 3 3 解析 由二倍角公式可得 sin2α+1-2sin2α=4,即-sin2α=-4,sin2α=4,又因 π? 3 π π ? 为 α∈?0,2?,所以 sin α= 2 ,即 α=3,所以 tan α=tan 3= 3,故选 D. ? ? 答案 D 本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用. 考查三角函数的图象及其性质 三角函数的图象与性质主要包括:正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的 单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容,在近年全国各地的 高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题, 而且对三角函数的图象与性 质的考查不但有客观题,还有主观题,客观题常以选择题的形式出现,往往结合 集合、函数与导数考查图象的相关性质;解答题主要在与三角恒等变换、不等式 等知识点的交汇处命题,难度中等偏下. 【示例 2】?(2011·

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