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22-第二章圆锥曲线与方程(复习2)


复习课: 圆锥曲线的综合应用
教学目标
重 点:理解椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系. 难 点:圆锥曲线标准方程的推导,直线与圆锥曲线的位置关系以及曲线中的定点、定值、范围问题. 能力点:理解椭圆、双曲线、抛物线的概念,准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质,特别注重函数与 方程、不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本

单元解题中的应用. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点: 求轨迹方程时忽视不满足条件的点;求直线与圆锥曲线的位置关系“机械的”应用判别式法; 求直线方程时斜率不存在的情况易被忽略.

学法与教具
1.学法:归类讲授、分组讨论法. 2.教具:多媒体. 一、 【知识结构】 求曲线的方程 曲线与方程 求两曲线的公共点

定义 椭圆 圆 锥 曲 线 与 方 程 标准方程 几何性质 定义 双曲线 标准方程 应用 几何性质 定义 抛物线 标准方程 几何性质 图形 相交 直线与圆锥曲线的位置关系 相切 相离 圆锥曲线的弦 图形 图形

二、 【知识梳理】
1. 椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质(以焦点在 x 轴上的为例). 曲线 椭 圆 双曲线 抛物线

M
· 图像 ·M

d

定义

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)

| MF |? d

标准方程

x2 y 2 + =1(a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y 2 ? =1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 ? 2 px( p ? 0)

a, b, c 关


a 2 =b2 +c 2

c 2 =a 2 +b2

A1 (?a, 0) , A2 (a, 0)
顶点坐标

B1 (0, ?b), B2 (0, b)
焦点坐标 离心率 准线方程 渐近线

A1 (?a, 0) , A2 (a, 0)

(0, 0)
p F ( , 0) 2
e=1

F1 (?c, 0), F2 (c, 0)

F1 (?c, 0), F2 (c, 0)

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

x?? y?? b x a
1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k

p 2

弦长公式

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?

2.圆锥曲线中的常见题型及解决方法
1. 求曲线方程的常用方法有: (1) 直接法:建立适当的坐标系,设动点为 ( x, y ) ,根据几何条件直接寻求 x, y 之间的关系式. (2) 代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点. 代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x, y 之间的关系式. (3) 定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接写出 动点的轨迹方程.

2. 利用圆锥曲线方程研究圆锥曲线几何性质时,常把圆锥曲线方程化为标准方程,再讨论曲线的顶点、 焦点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质. 3. 直线与圆锥曲线的位置关系主要有: (1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意数形结合; (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系; (3)有关垂直问题,应注意运用斜率关系及根与系数的关系,尽量设而不求,简化运算. 4. 圆锥曲线中的最值问题主要是利用平面几何中的最值结论或是利用函数、不等式的知识求最值.

三、 【范例导航】 (一)求曲线方程
例 1 已知 A(0,7) , B(0, ?7) , C (12, 2) 以 C 为一个焦点作过 A , B 的椭圆,求椭圆另一个焦点 F 的轨 迹方程. 【分析】依据椭圆的定义,列出关系式,再将其坐标化. 【解答】由题意知: AC =13,

BC =15, AB =14

又 AF ? AC ? BF ? BC 即 AF ? BF ? BC ? AC ? 2 故 F 点的轨迹是以 A, B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的一支(下支) , 又因为 c ? 7, a ? 1, b ? 48
2

x2 ? 1 ( y ? ?1) . 故 F 点的轨迹方程为: y ? 48
2

【点评】利用圆锥曲线的定义直接求相关点的轨迹,是常考的题型.常用的求曲线方程的基本方法:直接 法,定义法,代入法,参数法及求弦中点轨迹时常用“设而不求”法.仍需强调的是不管用什 么 方 法 求 轨迹方程,都需检验所求方程与曲线是否等价,多余的点要舍去,缺少的点要补上.

变式训练:
(2011 年高考天津卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P(a, b)(a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? =1(a ? b ? 0) 的左,右焦点.已知 ?F1 PF2 为等腰三角形. a 2 b2 (1)求椭圆的离心率 e ;

(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ?BM ? ?2 ,求点 M 的轨 迹方程. 答案: (1) e ?

???? ???? ? ?

1 2

(2) 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0)
2

(二)圆锥曲线的几何性质 例2 已知 P( x? , y? ) ( x? ? ? a) 是双曲线 E :

x2 y 2 ? =1(a ? 0, b ? 0) 上一点, M , N 分别是双曲线 E 的 a 2 b2

左右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 (1)求双曲线的离心率;

1 . 5

(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满 足 OC = ? OA ? OB ,求 ? 的值. 【分析】利用圆锥曲线的性质解题;将解析几何中的向量问题坐标化.

????

??? ??? ? ?

x2 y 2 【解答】(1)由点 P( x? , y? ) ( x? ? ? a) 在双曲线 2 ? 2 =1(a ? 0, b ? 0) 上, a b 2 2 x y 有 ?2 ? ? =1 . a b2 y? y c 30 1 由题意有 . ? ? ? ,可得 a 2 ? 5b2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 6b 2 , e ? ? a 5 x? ? a x? ? a 5
? x 2 ? 5 y 2 ? 5b2 , 得 4 x2 ? 10cx ? 35b2 ? 0 . (2)联立 ? ?y ? x ?c 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

5c ? ? x1 ? x2 ? 2 ? . ················ 则? ················① 2 ? x x ? 35b ? 1 2 ? 4 ???? ???? ??? ??? ? ? ? x3 ? ? x1 ? x2 , 设 OC = ( x3 , y3 ) , OC = ? OA ? OB ,即 ? ? y3 ? ? y1 ? y2 又 C 为双曲线上一点, 2 2 2 即 x3 ? 5 y3 ? 5b ,有
(? x1 ? x2 )2 ? 5(? y1 ? y2 ) 2 ? 5b 2 .
化简得 ? ( x1 ? 5 y1 ) ? ( x2 ? 5 y2 ) ? 2? ( x1 x2 ? 5 y1 y2 ) ? 5b ······② ·····
2 2 2 2 2 2

又 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在双曲线上, 所以 x1 ? 5 y1 ? 5b , x2 ? 5 y2 ? 5b .
2 2 2 2 2 2

由①式又有 x1 x2 ? 5 y1 y2 ? x1 x2 ? 5( x1 ? c)( x2 ? c) ? ?4 x1 x2 ? 5c( x1 ? x2 ) ? 5c ? 10b ,
2 2

②式可化为 ? ? 4? ? 0 ,解得 ? ? 0 或 ? ? 4 . 【点评】圆锥曲线随着定义的不同,那么它们的几何性质也不尽相同,这就需要结合相关圆锥曲线的定义 和方程,准确刻画它们的几何性质.通常由圆锥曲线方程研究圆锥曲线几何性质时,常把圆锥曲线方程化 为标准方程,再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质.
2

变式训练:
x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 ,且短轴长为 2. 2 a b
(1)求椭圆的方程; (2)若过点 P(0, 2) 与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标原点,且

??? ??? 2 ? ? OA? ? ,求直线 l 的方程. OB 3 x2 2 答案: (1) + y =1 .(2) y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 2
(三)直线与圆锥曲线 例 3 已知双曲线 C : 2 x ? y ? 2 与点 P(1, 2) ,求过点 P(1, 2) 的直线 l 的斜率的取值范围,使 l 与 C 分别 有一个交点,两个交点,没有交点. 【分析】考查直线与圆锥曲线的位置关系时转化成方程组的解的个数问题. 【解答】 (1) 当 l 垂直于 x 轴时,此直线与双曲线相切,有一个交点.
2 2

(2) 当 l 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 直 线 l 为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 代 入 双 曲 线 方 程 中 , 有

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2(k 2 ? 2k ) x ? k 2 ? 4k ? 6 ? 0 .
当 k ? 2 时,即 k ? ? 2 时,有一个解.
2

k 2 ? 2 时, ? ? 48 ? 32k
令 ? ? 0 ,即 48 ? 32k ? 0 可得 k ?

3 2 3 ? ? 0 , 即 48 ? 32k ? 0 ,此时 k ? 2 3 ? ? 0 , 即 48 ? 32k ? 0 ,此时 k ? 2

综上所述:

3 或 k 不存在时,直线与双曲线只有一个公共点; 2 3 当 k ? ? 2 或 ? 2 ? k ? 2 或 2 ? k ? 时,直线与双曲线有两个交点; 2 3 当 k ? 时,直线与双曲线没有交点. 2
当k ? ? 2 或k ? 【点评】处理直线与圆锥曲线的位置关系时,常用联立消元法得到一元二次方程,讨论其解得个数并应注 意斜率不存在的情况.一般地,方程组解的个数利用根的判别式进行判断,这也是高考的热点所在.在实 际处理过程中,对直线与双曲线,直线与抛物线的问题处理要小心谨慎,因为双曲线与抛物线都是不封 闭曲线.

变式训练:
1. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴, C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 A, B 为直径的圆过椭圆

C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求定点坐标.
x2 y2 2 ? ? 1 .(2)定点坐标为 ( , 0) 答案: (1) 4 3 7
(四)圆锥曲线的最值问题

x2 ? y 2 ? 1.过点 (m, 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. 例 4 已知椭圆 G : 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.
【分析】利用圆锥曲线的性质解题. 【解答】(1) 由已知得 a ? 2, b ? 1 ,所以 c ?

a 2 ? b2 ? 3 .

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3, 0), ( 3, 0) .

c 3 ? . a 2 (2) 由题意知, m ? 1 .
离心率为 e ?

当 m ? 1时,切线 l 的方程为 x=1 ,点 A, B 的坐标分别为 (1, 此时 AB = 3 . 当 m ? ?1 时,同理可得 AB = 3 . 当 m ? 1 时, 设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) .

3 3 ) , (1, ? ) 2 2

? y ? k ( x ? m) ? 2 2 2 2 2 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k ) x ? 8k mx ? 4k m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4 设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 4k 2 m 2 . , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切,得
2

km k ?1
2

? 1 ,即 m2 k 2 ? k 2 ? 1 .

2 所以 AB = ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

= (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]
2 2

m2 ? 3 由于当 m ? ?1 时, AB = 3 ,
所以 AB = 因为 AB =



4 3m

.

4 3m m2 ? 3 4 3m

, m? (??, ?1] ? [1, ??) . =

m ?3
2

4 3 ? 2 ,且当 m ? ? 3 时, AB =2, 3 m? m

所以 AB 的最大值为 2.

变式训练:
设圆 C 与两圆 C1 : ( x ? 5) ? y ? 4, C2 : ( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,与另一个外切.
2 2 2 2

(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M (

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) , 且 P 为 L 上动点求 MP ? FP 的最大值. 5 5

答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1 (2)2 4

【点评】圆锥曲线中的最值问题主要有:与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等.研究的常见途径有两个: (1)利用平面几何中的最值结论; (2)把几何量用函数表示出来,再用函数或不等式知识求最值,要注意的是借助代数方法求最值时要 特别注意自变量的取值范围.

四、 【解法小结】
1. 求曲线方程的常用方法有: (1) 直接法(2) 代入法 (3) 定义法 2.利用圆锥曲线方程研究圆锥曲线几何性质时,常把圆锥曲线方程化为标准方程,再讨论曲线的顶点、焦

点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质. 3.直线与圆锥曲线的位置关系主要有: (1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,不要“机械的”联立方程组,利用判别式判断,应注意数 形结合; (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系; (3)有关垂直问题,应注意运用斜率关系及根与系数的关系,尽量设而不求,简化运算. 4.圆锥曲线中的最值问题主要是利用平面几何中的最值结论或是利用函数、不等式的知识求最值.

五、 【布置作业】
必做题: 1. (2011 年 高 考 北 京 卷 ) 已 知 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 ( b ? 0 ) 的 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y ? 2x , 则 b2

b=

.

2. (2012 年全国卷理 2)抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 线的标准方程是 .

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点重合,则该抛物 5 4

x2 y2 a2 的切 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F (?c, 0) ,作圆 x 2 ? y 2 ? 4 a2 b 线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 E 是 FP 的中点,则双曲线的离心率为 . 2 2 x y 2 4. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双 a b
3.(2012 年新课标理 1)过双曲线 曲线的方程为 必做题答案:1. 选做题: 1.设圆锥曲线 C 的两个焦点为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 ? 4 : 3 : 2 则曲线 C 的 离心率等于 . .

2

2. x ? 4 y
2

3.

10 2

4. 5 x 2 ?

4 2 y ?1 5

2.(2011 年高考重庆卷)已知椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (1)求该椭圆的标准方程;

a2 2 , =2 2 . 2 c

(2) 设动点 P 满足:OP ? OM ? 2ON , 其中 M , N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 , 2

问:是否存在两个定点 F1 , F2 ,使得 PF1 ? PF2 为定值?若存在,求 F1 , F2 的坐标;若不存在,说明理由. 选做题答案:1.

3 1 或 2 2 六、 【教后反思】

2. (1)

x2 y2 ? ? 1 . (2) F1 (? 10, 0), 4 2

F2 ( 10, 0) .

1.本教案的优点是: (1)通过知识树使圆锥曲线的知识结构直观简明; (2)用表格的形式呈现椭圆、双 曲线、抛物线三种曲线之间的关系; (3)例题典型,而且充分利用高考常考题型来讲解高考经常考查的思路 与方法, 教师的讲与学生的学习讨论相结合, 提高了课堂效果.最后, 在作业的布置上, 选择难度适中的题目, 以更好的巩固本章知识,进一步提高课堂效果. 2.本教案的不足是:课堂容量较大,不能给学生留下足够的计算时间,要让学生课下认真计算,以加以 弥补不足.


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