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1.3.1函数的单调性和导数(导学案)


培才高级中学高二年级数学(理)导学案

1.3.1 函数的单调性和导数(导学案) (两课时)
学习目标: 1.理解函数单调性和导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性. 学习重点和难点: 1.重点:函数单调性和导数的关系; 2.难点:函数单调性和导数的关系.
二、 新课学习(认真阅读教材 P22~26) 1.问题:图 3.3-1(1)

,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的
函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) (2) 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单 调性与其导数正负的关系.

如图 3.3-3,导数 f ?( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处,

f ?( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,
这时,函数 f ( x ) 在 x0 附近单调 ;

在 x ? x1 处, f ?( x1 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的, 这时,函数 f ( x ) 在 x1 附近单调 .

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结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 (a , b) 内,如果 如果 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增;

,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减.

说明: (1)特别的,在某个区间 (a , b) 内,如果 f ?( x ) ? 0 恒成立,那么函数 y ? f ( x ) 在 这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x ) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x ) 的 ; (2)求导数 y? ? f ?( x ) ; ; .

(3)解不等式 f ?( x ) ? 0 ,解集在定义域内的部分为 (4)解不等式 f ?( x ) ? 0 ,解集在定义域内的部分为 三.典例分析

例 1. 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 1 ? x ? 4 时, f ?( x ) ? 0 ; x ? 4 , x ? 1 时, 当 当 或

f ?( x ) ? 0 ;当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ,试画出函数 y ? f ( x ) 图像的大致形状.

例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1) f ( x ) ? x 3 ? 3 x ; (2)f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 (3)f ( x ) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; 4)f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1 (

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例 3. 如图, 水以常速 (即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

思考: 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化 的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图 3.3-7 所示, 函数 y ? f ( x ) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭”, ? b , ? ? ? 或 ? ?? , a ? 在 内的图像“平缓”. 例 4.求证:函数 y ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2

例 5. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, 求实数 a 的 3

取值范围.

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例 6.已知函数 f(x)=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

四、课堂练习: 1.确定下列函数的单调区间 (1) y=x3-9x2+24x

(2) y=3x-x3

2、设 y ? f ?( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?( x ) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )

课后练习: 《学习评价》P16Ex1~10. 【思考题】 对于函数 f(x)=2x3-6x2+7 思考 1:能不能画出该函数的草图? 思考 2:2 x ? 7 ? 6 x 在区间(0,2)内有几个解?
3

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