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高考专项训练21.数列大题专项训练


一.解答题(共 30 小题) 1.已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 (1)设 cn=3n+6,{an}是公差为 3 的等差数列.当 b1=1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 , .求正整数 k,使得对一切 n∈N ,均有 bn≥bk;
*



(3)设



.当 b1=

1 时,求数列{bn}的通项公式.

2.设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 3.设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N ) . (Ⅰ)若 a1,S2,﹣2a2 成等比数列,求 S2 和 a3. (Ⅱ)求证:对 k≥3 有 0≤ak≤ .
*

4.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R)设数列的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式及 Sn; (Ⅱ)记 An= + + + …+ ,Bn= + +…+





成等比数列.

,当 a≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.

5.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为 an=3n+6,bn=2n+7(n∈N ) .将集合{x|x=an,n∈N }∪{x|x=bn,n∈N } 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1,c2,c3,…,cn,… (1)写出 c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为 a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{cn}的通项公式. 6.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{ }的前 n 项和.

*

*

*

7. (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0) ,b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4 成公差不 为 0 的等差数列?若存在, 求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (I) 求数列{bn}的通项公式; (II) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列.

9.设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (4)证明:对于一切正整数 n,2an≤b +1.

(n≥2)

10.在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积计作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 11.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (Ⅰ)若 S5=5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围. 12.已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n﹣1 * (Ⅱ)设 bn=(4﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 13.已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n) (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; n﹣1 * (3)设 cn=(an+1﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 14.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; an (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
* 2

15.设数列

满足 a1=2,an+1﹣an=3?2

2n﹣1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列的前 n 项和 Sn. 16.正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an }成等差数列. (1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时,an 为整数,并求出使 an<200 的所有整数项的和.
× 2

17.已知数列{an}满足, (1)令 bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

,n∈N .

18.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0)且 b≠1,b,r 均 为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= n∈N 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

*

x

19.数列{an}的通项 (1)求 Sn; (2) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

,其前 n 项和为 Sn,

20.等比数列{an}的前 n 项和为 sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 sn. 21.已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a2a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

22.等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 23.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2﹣bn (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; 2 (Ⅱ)设 cn=an ?bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. 24.设数列{an}的通项公式为 an=pn+q(n∈N ,P>0) .数列{bn}定义如下:对于正整数 m,bm 是使得不等式 an≥m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 ,求 b3;
* 2

(Ⅱ)若 p=2,q=﹣1,求数列{bm}的前 2m 项和公式; * (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm=3m+2(m∈N )?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明理由. 25.已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+np(n∈N*,p,q 为常数) ,且成等差数列.求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 26.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2 , (Ⅰ)求 a1,a4 n (Ⅱ)证明:{an+1﹣2a }是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式. 27.在数列{an}中,a1=1, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; .
n n

(Ⅲ)求数列{an}的前 n 项和 Tn.

28.已知数列{an}的首项 (Ⅰ)证明:数列 (Ⅱ)求数列



,n=1,2,3,….

是等比数列; 的前 n 项和 Sn.

29.在数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设 (Ⅰ)数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列{lnan},{lnbn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a1=2,



,求数列{cn}的前 n 项和.

30.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列. (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (2)证明: .

答案与评分标准 一.解答题(共 30 小题) 1. (2012?上海)已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 (1)设 cn=3n+6,{an}是公差为 3 的等差数列.当 b1=1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 , .求正整数 k,使得对一切 n∈N ,均有 bn≥bk;
*



(3)设



.当 b1=1 时,求数列{bn}的通项公式.

考点:数列递推式;数列的函数特性。 专题:计算题;分类讨论。 分析: (1)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式,即可求出结论; (2)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出结论; (3)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式;再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式,最后综 合即可. 解答:解: (1)∵an+1﹣an=3, ∴bn+1﹣bn=n+2, ∵b1=1, ∴b2=4,b3=8. (2)∵ ∴an+1﹣an=2n﹣7, ∴bn+1﹣bn= , .

由 bn+1﹣bn>0,解得 n≥4,即 b4<b5<b6…; 由 bn+1﹣bn<0,解得 n≤3,即 b1>b2>b3>b4. ∴k=4. (3)∵an+1﹣an=(﹣1) , n+1 n ∴bn+1﹣bn=(﹣1) (2 +n) . n n﹣1 ∴bn﹣bn﹣1=(﹣1) (2 +n﹣1) (n≥2) . 1 故 b2﹣b1=2 +1; 2 b3﹣b2=(﹣1) (2 +2) , … bn﹣1﹣bn﹣2=(﹣1) (2 +n﹣2) . n n﹣1 bn﹣bn﹣1=(﹣1) (2 +n﹣1) . 当 n=2k 时,以上各式相加得 bn﹣b1=(2﹣2 +…﹣2 =
2 n﹣2 n﹣1 n﹣2 n+1

+2

n﹣1

)+[1﹣2+…﹣(n﹣2)+(n﹣1)] + .

+ =

∴bn= 当 n=2k﹣1 时,

=

+ + .

= =﹣

+ ﹣ +

+ ﹣(2 +n)

n

∴bn=



点评:本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察,属于难度较高的题目. 2. (2011?重庆)设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 考点:等比数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。 分析: (Ⅰ)由{an}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用 a1=2,a3=a2+4 可求得 q,即可求得{an}的通项 公式 (Ⅱ)由{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比数列与等差数列 的前 n 项和公式即可求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解答:解: (Ⅰ)∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为 q,q>0 ∵a3=a2+4,a1=2 2 ∴2×q =2×q+4 解得 q=2 或 q=﹣1 ∵q>0 ∴q=2 ∴{an}的通项公式为 an=2×2 =2 (Ⅱ)∵{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前 n 项和 Sn= + =2
n+1 n﹣1 n

﹣2+n =2

2

n+1

+n ﹣2

2

点评:本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列的前 n 项和公式时注意 辨析 q 是否为 1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础题. 3. (2011?重庆)设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N ) . (Ⅰ)若 a1,S2,﹣2a2 成等比数列,求 S2 和 a3. (Ⅱ)求证:对 k≥3 有 0≤ak≤ . 考点:数列与不等式的综合;数列递推式。 专题:综合题。 分析: (Ⅰ)由题意 ,得 S2 =﹣2S2,由 S2 是等比中项知 S2=﹣2,由此能求出 S2 和 a3.
2 *

(Ⅱ)由题设条件知 Sn+an+1=an+1Sn,Sn≠1,an+1≠1,且



,由此能够证明对 k≥3 有 0≤an

﹣1

≤ .

解答:解: (Ⅰ)由题意 得 S2 =﹣2S2, 由 S2 是等比中项知 S2≠0, ∴S2=﹣2. 由 S2+a3=a3S2,解得
2





(Ⅱ)证明:因为 Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn, 由题设条件知 Sn+an+1=an+1Sn, ∴Sn≠1,an+1≠1,且 ,



从而对 k≥3,有

0≤ak≤ . 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. 4. (2011?浙江)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R)设数列的前 n 项和为 Sn,且 等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式及 Sn; , , 成

(Ⅱ)记 An=

+

+

+ …+

,Bn=

+

+…+

,当 a≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.

考点:数列与不等式的综合;数列的求和;等差数列的性质。 专题:计算题;证明题。 分析: (Ⅰ)设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得 d,则数列的通项公式和前 n 项的和可得. (Ⅱ)利用(Ⅰ)的 an 和 Sn,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An 与 Bn,最后对 a>0 和 a<0 两种情况分情况进行比较. 解答:解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由( 得(a1+d) =a1(a1+3d) ,因为 d≠0,所以 d=a1=a 所以 an=na,Sn= (Ⅱ)解:∵ ∴An= + +
n﹣1 2

)=

2

?



= ( ﹣ +…+

) )

= (1﹣



=2

a,所以

=

=



Bn=

+

+ …+

= ?

= ?(1﹣



当 n≥2 时,2 =Cn +Cn +…+Cn >n+1,即 1﹣

n

0

1

n

<1﹣

所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn. 点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查 了基础知识的运用. 5. (2011?上海) 已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为 an=3n+6, bn=2n+7 (n∈N ) . 将集合{x|x=an, n∈N }∪{x|x=bn, * n∈N }中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1,c2,c3,…,cn,… (1)写出 c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为 a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{cn}的通项公式. 考点:等差数列的通项公式;数列的概念及简单表示法。 专题:综合题;分类讨论;转化思想。 分析: (1)利用两个数列的通项公式求出前 3 项,按从小到大挑出 4 项. (2)对于数列{an},对 n 从奇数与偶数进行分类讨论,判断是否能写成 2n+7 的形式. (3)对{an}中的 n 从从奇数与偶数进行分类讨论,对{bn}中的 n 从被 3 除的情况分类讨论,判断项的大小,求出数 列的通项. 解答:解: (1)a1=3×1+6=9; a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15 b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 ∴c1=9;c2=11;c3=12;c4=13 (2)解对于 an=3n+6, 当 n 为奇数时,设为 n=2k+1 则 3n+6=2(3k+1)+7∈{bn} 当 n 为偶数时,设 n=2k 则 3n+6=6k﹣1+7 不属于{bn} ∴在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为 a2,a4,…,a2n,…;
* *

(3)b3k﹣2=2(3k﹣2)+7=a2k﹣1 b3k﹣1=6k+5 a2k=6k+6 b3k=6k+7 ∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7 ∴当 k=1 时,依次有 b1=a1=c1,b2=c2,a2=c3,b3=c4…



点评:本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考 查分类讨论的数学数学方法. 6. (2011?辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{ }的前 n 项和.

考点:等差数列的通项公式;数列的求和。 专题:综合题。 分析: (I) 根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6+a8=﹣10,得到关于首项和公差的方程组,求出方程组的解即可得到数列 的首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (II) 把(I)求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作②,①﹣② 后,利用 an 的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到数列{ }的前 n 项和的通项公式.

解答:解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得



解得:



故数列{an}的通项公式为 an=2﹣n; (II)设数列{ }的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +…+ ①,故 S1=1,

=

+

+…+

②,

当 n>1 时,①﹣②得: =a1+ +…+ ﹣

=1﹣( + +…+

)﹣

=1﹣(1﹣

)﹣

=



所以 Sn=



综上,数列{

}的前 n 项和 Sn=



点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,会利用错位相减法求数列的和,是一道中档题. 7. (2011?江西) (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0) ,b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{an} 唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4 成公差不 为 0 的等差数列?若存在, 求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式。 专题:综合题。 分析: (1)设等比数列{an}的公比为 q,根据等比数列的通项公式,由 b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3 表示出 b1, b2,b3,根据 b1,b2,b3 成等比数列,再根据等比数列的通项公式得到等比数列{an}的首项与公比的关系式,把 q 看作未知数,根据 a 大于 0 得出根的判别式大于 0,进而得到方程有两个不同的实根,又数列{an}唯一,得到方程 必有一根为 0,把 q=0 代入方程即可得到关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值; (2)利用反证法进行证明,假设存在,分别设出两等比数列的公比,根据等差数列的通项公式,b1﹣a1,b2﹣a2, b3﹣a3,b4﹣a4 成公差不为 0 的等差数列,列出关系式,化简后分别求出两等比数列的首项及公比,分别求出 b1﹣ a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4 的公差为 0,与已知的公差不为 0 矛盾,假设错误,进而得到不存在两个等比数列{an}, {bn},使得 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4 成公差不 为 0 的等差数列. 解答:解: (1)设{an}的公比为 q, ∵a1=a(a>0) ,b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3, 2 ∴b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq , ∵b1,b2,b3 成等比数列, 2 2 2 ∴(2+aq) =(1+a) (3+aq )即 aq ﹣4aq+3a﹣1=0, ∵a>0, ∴△=4a +4a>0, ∴方程有两个不同的实根, 又∵数列{an}唯一, ∴方程必有一根为 0,将 q=0 代入方程得 a= , ∴a= ; (2)假设存在两个等比数列{an},{bn},使 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4 成公差不为 0 的等差数列, 设{an}的公比为 q1,{bn}的公比为 q2, 2 2 3 3 则 b2﹣a2=b1q2﹣a1q1,b3﹣a3=b1q2 ﹣a1q1 ,b4﹣a4=b1q2 ﹣a1q1 , 由 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4 成的等差数列得:
2

即 ①×q2﹣②得:a1(q1﹣q2) (q1﹣1) =0, 由 a1≠0 得:q1=q2 或 q1=1,
2



(i)当 q1=q2 时,由①,②得 b1=a1 或 q1=q2=1,这时(b2﹣a2)﹣(b1﹣a1)=0 与公差不为 0 矛盾; (ii)q1=1 时,由①,②得 b1=0 或 q2=1,这时(b2﹣a2)﹣(b1﹣a1)=0 与公差不为 0 矛盾, 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4 成公差不为 0 的等差列. 点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值,会利用反证法说明命题的真假,是 一道中档题. 8. (2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、 b4、b5. (I) 求数列{bn}的通项公式; (II) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 考点:等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和。 专题:证明题;综合题。 分析: (I)利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5﹣d,5+d,代入等比数列中可求 d,进一步 可求数列{bn}的通项公式 (II)根据(I)及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn,要证数列{Sn+ }是等比数列? 解答:解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5 所以{bn}中的依次为 7﹣d,10,18+d 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2 由 b3=b1?2 ,即 5=4b1,解得 所以{bn}是以 首项,2 为公比的等比数列,通项公式为
2

即可.

(II)数列{bn}的前和



,所以



因此{

}是以 为首项,公比为 2 的等比数列

点评:本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识,同时考查基本运算能力

9. (2011?广东)设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an=

(n≥2)

(1)求数列{an}的通项公式; n+1 (4)证明:对于一切正整数 n,2an≤b +1. 考点:数列递推式;数列与不等式的综合。 专题:综合题;分类讨论;转化思想。 分析: (1)由题设形式可以看出,题设中给出了关于数列 an 的面的一个方程,即一个递推关系,所以应该对此递推 关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律,观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式, 对其中参数进行讨论,分类求其通项即可.

(2)由于本题中条件较少,解题思路不宜用综合法直接分析出,故求解本题可以采取分析法的思路,由结论探究 其成立的条件,再证明此条件成立,即可达到证明不等式的目的. 解答:解: (1)∵ (n≥2) ,



(n≥2) ,

当 b=1 时,

(n≥2) ,

∴数列{ ∴

}是以

为首项,以 1 为公差的等差数列,

=1+(n﹣1)×1=n,即 an=1,

当 b>0,且 b≠1 时,

(n≥2) ,

即数列{

}是以

=

为首项,公比为 的等比数列,



=

×

=

,即 an=



∴数列{an}的通项公式是

(2)证明:当 b=1 时,不等式显然成立 当 b>0,且 b≠1 时,an= ,要证对于一切正整数 n,2an≤b
n+1

+1,只需证 2×

≤b

n+1

+1,

即证



= =(b +1)×(b +b +…+b+1) 2n 2n﹣1 n+2 n+1 n﹣1 n﹣2 =(b +b +…+b +b )+(b +b +…+b+1) =b [(b +b
n n n n﹣1 n+1 n﹣1 n﹣2

+…+b +b)+( +
n

2

+…+

)]

≥b (2+2+…+2)=2nb 所以不等式成立, n+1 综上所述,对于一切正整数 n,有 2an≤b +1, 点评:本题考点是数列的递推式,考查根据数列的递推公式求数列的通项,研究数列的性质的能力,本题中递推关 系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式,两边取倒数,条件许可的情况下,使用此技巧可

以使得解题思路呈现出来.数列中有请多成熟的规律,做题时要注意积累这些小技巧,在合适的情况下利用相关的 技巧,可以简化做题.在(2)的证明中,采取了分析法的来探究解题的思路,通过本题希望能进一步熟悉分析法 证明问题的技巧. 10. (2011?安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积 计作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点:等比数列的通项公式;数列与三角函数的综合。 专题:计算题。 分析: (I)根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,我们易得这 n+2 项的几何 平均数为 10,故 Tn=10
n+2

,进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an}的通项公式;

(II)根据(I)的结论,利用两角差的正切公式,我们易将数列{bn}的每一项拆成 的形式,进而得到结论. 解答:解: (I)∵在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列, 又∵这 n+2 个数的乘积计作 Tn, n+2 ∴Tn=10 又∵an=lgTn, n+2 ∴an=lg10 =n+2,n≥1. (II)∵bn=tanan?tanan+1=tan(n+2)?tan(n+3)= ∴Sn=b1+b2+…+bn=[ ] = 点评:本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合,其中根据已知求出这 n+2 项的几何平均 数为 10,是解答本题的关键. 11. (2010?浙江)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (Ⅰ)若 S5=5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围. 考点:等差数列的前 n 项和。 分析: (I)根据附加条件,先求得 s6 再求得 a6 分别用 a1 和 d 表示,再解关于 a1 和 d 的方程组. (II)所求问题是 d 的范围,所以用“a1,d”法. 解答:解: (Ⅰ)由题意知 S6= a6=S6﹣S5=﹣8 所以 解得 a1=7 所以 S6=﹣3,a1=7; 解: (Ⅱ)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d) (6a1+15d)+15=0, 2 2 即 2a1 +9da1+10d +1=0. =﹣3, ]+[ , ]+…+[

故(4a1+9d) =d ﹣8. 2 所以 d ≥8. 故 d 的取值范围为 d≤﹣2 或 d≥2 . 点评:本题主要考查等差数列概念、求和公式通项公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的 能力. 12. (2010?四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n﹣1 * (Ⅱ)设 bn=(4﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点:等差数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。 分析: (1)设{an}的公差为 d,根据等差数列的求和公式表示出前 3 项和前 8 项的和,求的 a1 和 d,进而根据等差 数列的通项公式求得 an. (2)根据(1)中的 an,求得 bn,进而根据错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答:解: (1)设{an}的公差为 d, 由已知得 解得 a1=3,d=﹣1 故 an=3+(n﹣1) (﹣1)=4﹣n; n﹣1 (2)由(1)的解答得,bn=n?q ,于是 0 1 2 n﹣1 n Sn=1?q +2?q +3?q +…+(n﹣1)?q +n?q . 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 1 2 3 n n+1 qSn=1?q +2?q +3?q +…+(n﹣1)?q +n?q . 将上面两式相减得到 (q﹣1)Sn=nq ﹣(1+q+q +…+q =nq ﹣
n n 2 n﹣1

2

2



于是 Sn=

若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

所以,Sn=



点评:本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 13. (2010?四川)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n) (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; n﹣1 * (3)设 cn=(an+1﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;数列的求和。 专题:综合题;转化思想。 分析: (1)欲求 a3,a5 只需令 m=2,n=1 赋值即可. (2)以 n+2 代替 m,然后利用配凑得到 bn+1﹣bn,和等差数列的定义即可证明.
* 2

(3)由(1) (2)两问的结果可以求得 cn,利用乘公比错位相减求{cn}的前 n 项和 Sn. 解答:解: (1)由题意,令 m=2,n=1,可得 a3=2a2﹣a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3﹣a1+8=20 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1﹣a2(n+1)﹣1]﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8 即 bn+1﹣bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (3)由(1) (2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3﹣a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n﹣2,即 a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知(令 m=1)可得 an= 那么 an+1﹣an= = ﹣2n+1=2n
n﹣1

﹣(n﹣1) . ﹣2n+1

2

于是 cn=2nq . 当 q=1 时,Sn=2+4+6++2n=n(n+1) 0 1 2 n﹣1 当 q≠1 时,Sn=2?q +4?q +6?q ++2n?q . 两边同乘以 q,可得 1 2 3 n qSn=2?q +4?q +6?q ++2n?q . 上述两式相减得 (1﹣q)Sn=2(1+q+q ++q =2? ﹣2nq
n 2 n﹣1

)﹣2nq

n

=2?

所以 Sn=2?

综上所述,Sn= 点评:本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题 的能力.同时考查了等差,等比数列的定义,通项公式,和数列求和的方法. 14. (2010?陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; an (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 考点:等差数列与等比数列的综合。 专题:计算题。 2 分析: (I)由题意可得 a3 =a1?a9=a9,从而建立关于公差 d 的方程,解方程可求 d,进而求出通项 an (II)由(I)可得 ,代入等比数列的前 n 项和公式可求 Sn

解答:解(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得

=



解得 d=1,d=0(舍去) ,故{an}的通项 an=1+(n﹣1)×1=n; {2}^{{a}_{n}}={2}^{n} (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+2 +2 +…+2 =
2 3 n

=2

n+1

﹣2.

点评:本题考查了等差数列及等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式,属于基本公式的简单运用.

15. (2010?宁夏)设数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;数列的求和。 专题:计算题。

满足 a1=2,an+1﹣an=3?2

2n﹣1

分析: (Ⅰ)由题意得 an+1=[(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)]+a1=3(2 +2 +…+2)+2=2 .由 2n﹣1 此可知数列{an}的通项公式为 an=2 . 2n﹣1 3 5 2n﹣1 (Ⅱ)由 bn=nan=n?2 知 Sn=1?2+2?2 +3?2 ++n?2 , ,由此入手可知答案. 2n﹣1 2n﹣3 2 解答:解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)++(a2﹣a1)]+a1=3(2 +2 +…+2)+2=2 (n+1)﹣1 . 而 a1=2, 2n﹣1 所以数列{an}的通项公式为 an=2 . 2n﹣1 3 5 2n﹣1 (Ⅱ)由 bn=nan=n?2 知 Sn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ① 2 3 5 2n+1 从而 2 Sn=1?2 +2?2 +…+n?2 ② 2 3 5 2n﹣1 2n+1 ①﹣②得(1﹣2 )?Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 . 即 .

2n﹣1

2n﹣3

2(n+1)﹣1

点评:本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力. 16. (2010?江西)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an }成等差数列. (1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时,an 为整数,并求出使 an<200 的所有整数项的和. 考点:数列的求和;等差数列的性质。 专题:创新题型。 2 2 分析: (1)由 a1=1,a2=5 且{an }成等差数列,求出 an 的通项公式,由通项公式分析出无理数; (2)由 an 的表达式讨论使 an<200 的整数项,从而求出所有整数项的和. 解答: (1)证明:由已知有:an =1+24(n﹣1) ,从而 方法一:取 n﹣1=24
2k﹣1 2 2



,则

用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设
k

为有理数,则 an 必为正整数,且 an<24 ,
k k k

k

故 an﹣24 ≥1.an﹣24 >1,与(an﹣24 ) (an+24 )=1 矛盾, 所以 都是无理数,即数列 an 中有无穷多项为无理数;

(2)要使 an 为整数,由(an﹣1) (an+1)=24(n﹣1)可知: an﹣1,an+1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an﹣1=6m 或 an+1=6m

当 an=6m+1 时,有 an =36m +12m+1=1+12m(3m+1) (m∈N) 2 又 m(3m+1)必为偶数,所以 an=6m+1(m∈N)满足 an =1+24(n﹣1) 即 (m∈N)时,an 为整数;
+ 2 2 +

2

2

同理 an=6m﹣1(m∈N )有 an =36m ﹣12m+1=1+12(3m﹣1) (m∈N ) 也满足 an =1+24(n﹣1) ,即
+ 2

(m∈N )时,an 为整数;

+

显然 an=6m﹣1(m∈N )和 an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项; 所以当 (m∈N)和 (m∈N )时,an 为整数;
+

由 an=6m+1<200(m∈N)有 0≤m≤33, + 由 an=6m﹣1<200(m∈N )有 1≤m≤33. 设 an 中满足 an<200 的所有整数项的和为 S,则 S=(5+11+…+197)+(1+7+…+199)= 点评:对一个正整数数能否写成另一个整数的平方的形式,是难点;对整数的奇偶性分析也是难点;故此题是中档 题.
×

17. (2009?陕西)已知数列{an}满足, (1)令 bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 考点:等比关系的确定;数列递推式。 专题:证明题。

,n∈N .

分析: (1)先令 n=1 求出 b1,然后当 n≥2 时,求出 an+1 的通项代入到 bn 中化简可得{bn}是以 1 为首项, 比的等比数列得证;

为公

(2)由(1)找出 bn 的通项公式,当 n≥2 时,利用 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)++(an﹣an﹣1)代入并利用等比数 列的前 n 项和的公式求出即可得到 an 的通项,然后 n=1 检验也符合,所以 n∈N,an 都成立. 解答:解: (1)证 b1=a2﹣a1=1, 当 n≥2 时, 所以{bn}是以 1 为首项, (2)解由(1)知 为公比的等比数列. ,

当 n≥2 时,an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)++(an﹣an﹣1)=1+1+(﹣ )+…+

=

=

=



当 n=1 时, 所以

. .

点评:考查学生会确定一个数列为等比数列,会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式.以及会利用等比数列 的前 n 项和的公式化简求值.

18. (2009?山东)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0)且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= n∈N 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

*

x

考点:数列与函数的综合;数列的求和。 专题:计算题;分类讨论。 分析: (1)由“对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0,且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上”可得到 n Sn=b +r, 再由通项与前 n 项和之间的关系可求得结果. (2)结合(1)可知 an=(b﹣1)b
n﹣1 + x

=2

n﹣1

,从而 bn=

,符合一个等差数列与等比数列相应

项之积的形式,用错位相减法求解即可. + x 解答:解:因为对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0,且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. n 所以得 Sn=b +r, 当 n=1 时,a1=S1=b+r, n n﹣1 n n﹣1 n﹣1 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=b +r﹣(b +r)=b ﹣b =(b﹣1)b , n﹣1 又因为{an}为等比数列,所以 r=﹣1,公比为 b,所以 an=(b﹣1)b (2)当 b=2 时,an=(b﹣1)b 则 Tn= Tn= 相减,得 Tn=
n﹣1

=2

n﹣1

,bn=

+

=

所以 Tn= 点评: 本题主要考查数列与函数的综合运用, 主要涉及了数列的通项与前 n 项和间的关系, 错位相减法求和等问题, 属中档题,是常考类型.

19. (2009?江西)数列{an}的通项 (1)求 Sn; (2) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

,其前 n 项和为 Sn,

考点:数列的求和;二倍角的余弦。 专题:计算题。

分析: (1)利用二倍角公式可得

,由于

,所以求和时需要对 n 分类讨

论分类讨论,求出和

(2)由(1)可得 解答:解: (1)由于

,利用错位相减求出数列的和 ,

故 S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3k﹣2+a3k﹣1+a3k) = = ,





(k∈N )

*

(2)



, ,

两式相减得







点评: (1)本题三角公式中的二倍角公式及三角的周期性为切入点考查数列的求和,由于三角的周期性,在求 的值时需要对 n 分类讨论 (2)主要考查数列求和的错位相减,此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点. 20. (2009?辽宁)等比数列{an}的前 n 项和为 sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 sn. 考点:等差数列的性质;等比数列的前 n 项和。 专题:计算题。 分析: (Ⅰ)由题意知 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) ,由此可知 2q +q=0,从而
2 2



(Ⅱ)由已知可得

,故 a1=4,从而
2



解答:解: (Ⅰ)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) 2 由于 a1≠0,故 2q +q=0 又 q≠0,从而 (Ⅱ)由已知可得 故 a1=4

从而

点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 21. (2009?湖北)已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a2a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

考点:等差数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,分别表示出 a2a6=55,a2+a7=16 联立方程求得 d 和 a1 进而根据等差数列通项 公式求得 an. (2) 令 cn= , 则有 an=c1+c2+…+cn, an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 cn+1 等于常数 2, 进而可得 bn, 进而根据 b1=2a1

求得 b1 则数列{bn}通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b1. 解答:解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则依题意可知 d>0 由 a2+a7=16, 得 2a1+7d=16① 由 a2a6=55,得(a1+2d) (a1+5d)=55② 由①②联立方程求得 得 d=2,a1=1 或 d=﹣2,a1= ∴an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn (排除)

an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 an+1﹣an=cn+1,由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴cn+1=2,即 cn=2(n≥2) , 即当 n≥2 时, n+1 bn=2 ,又当 n=1 时,b1=2a1=2

∴bn= 于是 Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+2 +2 +…2 =2 ﹣6 点评:本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握. 22. (2009?福建)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 考点:等差数列与等比数列的综合。 专题:计算题;转化思想。 分析: (I)由 a1=2,a4=16 直接求出公比 q 再代入等比数列的通项公式即可. (Ⅱ)利用题中条件求出 b3=8,b5=32,又由数列{bn}是等差数列求出 和 Sn. 解答:解: (I)设{an}的公比为 q 3 由已知得 16=2q ,解得 q=2 (Ⅱ)由(I)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32 设{bn}的公差为 d,则有 .再代入求出通项公式及前 n 项
3 4 n+1 n+2

解得



从而 bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28 所以数列{bn}的前 n 项和 .

点评:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查归化与转化思想. 23. (2009?安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2﹣bn (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; 2 (Ⅱ)设 cn=an ?bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. 考点:数列的应用。 分析: (1)由题意知 a1=S1=4,an=Sn﹣Sn﹣1 化简可得,an=4n,n∈N ,再由 bn=Tn﹣Tn﹣1=(2﹣bn)﹣(2﹣bn﹣1) , 可得 2bn=bn﹣1 知数列 bn 是等比数列,其首项为 1,公比为 的等比数列,由此可知数列{an}与{bn}的通项公式.
* 2

(2) 由题意知



=

.由



,解得 n≥3.由此能够导出当且仅当 n≥3 时 cn+1<cn.

解答:解: (1)由于 a1=S1=4 2 2 * 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n +2n)﹣[2(n﹣1) +2(n﹣1)]=4n,∴an=4n,n∈N , 又当 x≥n 时 bn=Tn﹣Tn﹣1=(2﹣bn)﹣(2﹣bn﹣1) ,∴2bn=bn﹣1

∴数列 bn 是等比数列,其首项为 1,公比为 ,∴



(2)由(1)知



=







,解得 n≥3.

又 n≥3 时,

成立,即

,由于 cn>0 恒成立.

因此,当且仅当 n≥3 时 cn+1<cn. 点评:由 可求出 bn 和 an,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出 bn 和 an 后,进而得到 cn,

接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法. 24. (2009?北京)设数列{an}的通项公式为 an=pn+q(n∈N ,P>0) .数列{bn}定义如下:对于正整数 m,bm 是使 得不等式 an≥m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 ,求 b3;
*

(Ⅱ)若 p=2,q=﹣1,求数列{bm}的前 2m 项和公式; * (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm=3m+2(m∈N )?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明理由. 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式。 分析: (I)先得出 an,再解关于 n 的不等式,利用正整数的条件得出具体结果; (II)先得出 an,再解关于 n 的不等式,根据{bn}的定义求得 bn 再求得 S2m; (III)根据 bm 的定义转化关于 m 的不等式恒成立问题. 解答:解: (Ⅰ)由题意,得 解 ∴ ,得 . ,

成立的所有 n 中的最小正整数为 7,即 b3=7.

(Ⅱ)由题意,得 an=2n﹣1, 对于正整数 m,由 an≥m,得 根据 bm 的定义可知 * 当 m=2k﹣1 时,bm=k(k∈N ) ; * 当 m=2k 时,bm=k+1(k∈N ) . ∴b1+b2++b2m= (b1+b3++b2m﹣1) + (b2+b4++b2m) = (1+2+3++m) +[2+3+4++ (m+1) ]= . .

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn+q≥m 及 p>0 得 ∵bm=3m+2(m∈N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有
*

. ,

即﹣2p﹣q≤(3p﹣1)m<﹣p﹣q 对任意的正整数 m 都成立. 当 3p﹣1>0(或 3p﹣1<0)时,得 当 3p﹣1=0,即 解得 时,得 . (经检验符合题意)
*

(或 ,

) ,这与上述结论矛盾!

∴存在 p 和 q,使得 bm=3m+2(m∈N ) ;p 和 q 的取值范围分别是





点评:本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本 题是数列与不等式综合的较难层次题. 25. (2008?浙江)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+np(n∈N*,p,q 为常数) ,且成等差数列.求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 考点:数列递推式;等差数列的前 n 项和;等比数列的前 n 项和;等差数列的性质。 专题:计算题;综合题。 n 分析: (Ⅰ)根据 x1=3,求得 p,q 的关系,进而根据通项 xn=2 p+np(n∈N*,p,q 为常数) ,且成等差数列.建立 关于 p 的方求得 p,进而求得 q. (Ⅱ)进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等差数列的求和公式求得答案. 解答:解: (Ⅰ)∵x1=3, ∴2p+q=3,① 又 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x3=2x4, 5 5 ∴3+2 p+5q=2 p+8q,② 联立①②求得 p=1,q=1 (Ⅱ)由(1)可知 xn=2 +n 2 n ∴Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n) = 点评:本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力. 26. (2008?四川)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2 , (Ⅰ)求 a1,a4 n (Ⅱ)证明:{an+1﹣2a }是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式. 考点:等比关系的确定;等比数列的通项公式;数列递推式。 专题:计算题;证明题。 分析: (Ⅰ)令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an,令 n=2 求出 a2,s2 得到 a3 推出 a4 即可; n+1 n n+1 n n (Ⅱ)由已知得 an+1﹣2an=(Sn+2 )﹣(Sn+2 )=2 ﹣2 =2 即为等比数列; n﹣2 n﹣1 n﹣1 (Ⅲ)an=(an﹣2an﹣1)+2(an﹣1﹣2an﹣2)++2 (a2﹣2a1)+2 a1=(n+1)?2 即可. 解答:解: (Ⅰ)因为 a1=S1,2a1=S1+2,所以 a1=2,S1=2 n n+1 n+1 由 2an=Sn+2 知 2an+1=Sn+1+2 =an+1+Sn+2 n+1 得 an+1=sn+2 ① 2 2 3 3 4 所以 a2=S1+2 =2+2 =6,S2=8a3=S2+2 =8+2 =16,S2=24a4=S3+2 =40 n+1 n n+1 n n (Ⅱ)由题设和①式知 an+1﹣2an=(Sn+2 )﹣(Sn+2 )=2 ﹣2 =2 n 所以{an+1﹣2a }是首项为 2,公比为 2 的等比数列. n﹣2 n﹣1 n﹣1 (Ⅲ)an=(an﹣2an﹣1)+2(an﹣1﹣2an﹣2)++2 (a2﹣2a1)+2 a1=(n+1)?2 点评:此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等,同时考查学生掌握数列的递推 式以及等比数列的通项公式的能力.
n n 4 5 n

27. (2008?四川)在数列{an}中,a1=1, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;



(Ⅲ)求数列{an}的前 n 项和 Tn. 考点:数列递推式;数列的求和。 专题:计算题。 分析: (Ⅰ)由题设条件得 ,由此可知 .

(Ⅱ)由题设条件知



,再由错位相减得

,由此可知 (Ⅲ)由 得

. .由此可知 Tn=2Sn+2a1

﹣2an+1=



解答:解: (Ⅰ)由条件得

,又 n=1 时,



故数列

构成首项为 1,公式为 的等比数列.从而

,即



(Ⅱ)由 两式相减得: (Ⅲ)由



, ,所以 得 .





所以 Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=



点评:本题考查数列的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.

28. (2008?陕西)已知数列{an}的首项 (Ⅰ)证明:数列 (Ⅱ)求数列 是等比数列; 的前 n 项和 Sn.



,n=1,2,3,….

考点:数列递推式;等比关系的确定;数列的求和。 专题:计算题。

分析: (1)化简 (2)根据(1)求出数列 求出前 n 项和 Sn. 解答:解: (Ⅰ)由已知:

构造新的数列

,进而证明数列

是等比数列.

的递推公式,得出 an,进而构造数列

,求出数列

的通项公式,进而





, (2 分) , ,∴ , (4 分) 是以 为首项, 为公比的等比数列. (6 分) , . (8 分) ,①

∴ 又 ∴数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 即 设 ,∴



,②

由①﹣②得:

, (10 分)



.又 1+2+3+

. (12 分)

∴数列

的前 n 项和:

. (14 分)

点评:此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法.

29. (2008?辽宁)在数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设 (Ⅰ)数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列{lnan},{lnbn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a1=2, 考点:等比关系的确定;数列的求和。 专题:综合题。



,求数列{cn}的前 n 项和.

分析: (Ⅰ)设|an|的公比为 q1,|bn|的公比为 q2,根据

进而可得

化简得

进而可证明|cn|为等比数列.

(Ⅱ)根据数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,可推断数列{lnan},{lnbn}为等差数列.进而可求得 Sn 和 Tn 代入 ,可求得 q1,q2=16 和 b1=8.代入 即可得到数列{cn}的通项公式,结果发现数列{cn}是以

4 为首项,4 为公比的等比数列,进而根据等比数列的求和公式可得到答案. 解答:解: (Ⅰ)|cn|是等比数列. 证明:设|an|的公比为 q1(q1>0) ,|bn|的公比为 q2(q2>0) , 则 ,故|cn|为等比数列.

(Ⅱ)数列|lnan|和|lnbn|分别是公差为 lnq1 和 lnq2 的等差数列.

由条件得
2

,即



故对 n=1,2, , (2lnq1﹣lnq2)n +(4lna1﹣lnq1﹣2lnb1+lnq2)n+(2lna1﹣lnq1)=0.

于是

将 a1=2 代入得 q1=4,q2=16,b1=8. 从而有 .所以数列|cn|的前 n 项和为 .

点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 30. (2008?辽宁)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列. (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (2)证明: .

考点:等差数列与等比数列的综合;数列递推式;数学归纳法。 专题:综合题。 分析: (1)根据等差中项和等比中项的性质求得 an 和 bn 的关系式,分别求得 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,推测出它 们的通项公式.先看当 n=1 时,等式明显成立;进而假设当 n=k 时,结论成立,推断出 ak 和 bk 的表达式,进而看 当 n=k+1 时看结论是否成立即可. (2)先 n=1 时,不等式成立,进而看 n≥2 时利用(1)中的{an},{bn}的通项公式,以及裂项法进行求和,证明题 设. 2 解答:解: (1)由条件得 2bn=an+an+1,an+1 =bnbn+1 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 2 猜测 an=n(n+1) ,bn=(n+1) . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. 2 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak=k(k+1) ,bk=(k+1) , 那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk﹣ak=2(k+1) ﹣k(k+1)=(k+1) (k+2) ,bk+1=
2

=(k+2) .

2

所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1) ,bn(n+1) 对一切正整数都成立. (2)证明: .
2

n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1) (2n+1)>2(n+1)n. 故 = = 综上,原不等式成立. 点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、 总结、推理、论证等能力.


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