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解析几何直线部分


直线
内容梳理一: 1.直线的倾斜角:范围 [0 ,180 ) 。直线的斜率:应用:证明三点共线: k AB ? k BC 。
0 0

2.直线方程:⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ⑶截距式:

⑵斜截式: y ? kx ? b ;

y ? y1 x ? x1 x y ?

? ? 1 ; ⑷两点式: y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,(A,B 不全为 0)。 PS:注意直线斜率不存在的情况。 3.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2

k1 ? k 2, b1 ? b2
A1 B2 ? A 2 B1 , 且

k1 ? k 2 ? ?1
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 , l 2 有斜率
不可写成 分式

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 A1C2 ? A2C1
练习 1:(斜率方面)

1.设 a<c<b,如果把函数 y=f(x)的图象被两条平行的直线 x=a,x=b 所截的一段近似地看作一 条线段,则下列关系式中,f(c)的最佳近似表示式是( )

A.f(c)=

[f(a)+f(b)]

B.f(c)=

C.f(c)=f(a)+

[f(b)-f(a)]

D.f(c)=f(a)-

[f(b)-f(a)]

2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

).

3.若三点 A(3,1),B(-2, b),C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于( A.2 B.3 C.9 D.-9 1

)

练习 2:(求直线的方程) 1、 已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A
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) D
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4x ? 2 y ? 5

B

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4x ? 2 y ? 5

C

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x ? 2y ? 5

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x ? 2y ? 5
)

2.直线 l 过点 P(1,3),且与 x、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是( A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0

3.与直线 y=-2x+3 平行,且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是( A.y=-2x+4 1 B.y= x+4 2 8 C.y=-2x- 3 1 8 D.y= x- 2 3

)

4.求经过点 A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式,斜截式和截距式、 一般式。

5.已知△ABC 的三个顶点 A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求 (1)AC 边上的高 BD 所在直线方程; (2)BC 边的垂直平分线 EF 所在直线方程; (3)AB 边的中线的所在直线方程.

6.当 m 为何值时,直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1. (1)倾斜角为 45°;(2)在 x 轴上的截距为 1.

2

2

2

练习 3:(直线的位置关系) 1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y=1 平行,则 m 的值为( A.0 B.-8 C.2 D.10 2.直线 3x-2y+5=0 与直线 x+3y+10=0 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.重合 D.异面 ) )

3.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶 点 D 的坐标为 内容梳理二: 4.几个公式: ⑴设 A (x1,y1) 、 B(x2,y2)、 C (x3,y3) , 则⊿ABC 的重心 G: ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 ) ; 3 3 ⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?
Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2





⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ? 5.直线系: 直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系



y ? kx ? b y ? kx ? m

Ax ? By ? C ? 0 Ax ? By ? m ? 0 Bx ? Ay ? m ? 0

y??

1 x?m k

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

6.对称(针对直线与点方面) (1).点的中心对称 (求点关于点的对称点)

若点M(x1,y1)关于P(a,b)的对称点为N(x,y), ? x ? 2a ? x1 则由中点坐标公式可得 ? ? y ? 2b ? y1
(2).直线的中心对称 (求直线关于点的对称直线) 主要方法:1、在已知直线上取两点,根据点的中心对称的方法求出对称点,再由两对 称点确定对称直线;2、在已知直线上取一点,根据点的中心对称的方法求出一个对称点, 再利用对称直线与原直线平行求出对称直线。

3

(3)点的轴对称 (求点关于直线的对称点)

点A(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A.B ? 0)对称, y ? y0 A ? .( ? ) ? ?1 ? x ? x0 B ? 点B(x,y)可由方程组 ? 求得。 ? A. x ? x0 ? B. y ? y0 ? C ? 0 ? ? 2 2
(4).直线的轴对称 (求直线关于直线的对称直线) 主要方法:1、若给出的两条直线平行,则所求直线也与它们平行,此时在已知直线上取一 点,根据点的轴对称,求出对称点就可确定所求直线;2、若给出的两条直线相交,先求出 它们的交点,再在已知直线上取一点,根据点的轴对称的方法求出对称点,就可由两点确定 所求的对称直线。 练习 4:(距离方面) 1.已知点 A(-1,2),B(-4,6),则|AB|等于________. 2.平行直线 l1:x-y+1=0 与 l2:3x-3y+1=0 的距离等于________. 3.△ ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P(4, 2) ,则边 BC 的长为 练习 5:(直线系) 1.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该定点的坐标为( A.(-2,1) 练习 6:(对称) 1.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) B.(-8,-6) ). D.(-6,-8) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2) )

C.(6,8)

2.已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0

3.若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反射线所在直线的 方程是 .

4

内容梳理三: 7.动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”: ① PA ? PB 的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ② PA ? PB 的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边”; ③ PA ? PB 的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。
2 2

y

o
练习 6:(最值问题 1) 1.(函数)函数 f ( x) ? A. 3 2

x


x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值是(
C. 10 D. 2 ?

B. 5 ? 1

2

2.已知点 A?? 1,1?,B?1,2?,C ?3,2? ,点 P 是直线 l:y ? x 上的动点,求 PA ? PB 的最小 值及 PA ? PC 的最大值。

5

练习一: 1、C 思路解析:依题意,我们考虑若 f(x)在区间[a,b]上图形为一线段的情况时,f(c)的函数值.此时

此线段斜率可由两端点坐标利用斜率公式得到 , 即为

. 于是此直线方程即为

f(x)-f(a)=

(x-a),将 x=c 代入方程得到 f(c)=f(a)+

(c-a).

2.D 解析:直线 l1 的倾斜角??1 是钝角,故 k1<0;直线 l2 与 l3 的倾斜角??2,?3 均为锐角且 ?2>?3,所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D b-11 11-1 3、[答案] D[解析] 由条件知 kBC=kAC,∴ = ,∴b=-9. -2-8 8-3 练习二: 1
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B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k ? 2 , y ?

3 2

3 ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2
ab=6,且 .

2、A

解析:设所求直线 l 的方程为

(a>0,b>0), 则有



∴直线 l 的方程为

,即为 3x+y-6=0.

3、[答案] C [解析] 直线 y=-2x+3 的斜率为-2,则所求直线斜率 k=-2,直线方程 y 4 4 =3x+4 中,令 y=0,则 x=- ,即所求直线与 x 轴交点坐标为(- ,0).故所求直线方程 3 3 4 8 为 y=-2(x+ ),即 y=-2x- . 3 3 y+1 x-4 2 4、 [解析] 过 AB 两点的直线方程是 = .点斜式为: y+1=- (x-4)斜截式为: y 3 3+1 -2-4 2 5 x y =- x+ 截距式为: + =1. 3 3 5 5 2 3 5、(1)直线 AC 的斜率 kAC= -6-4 =-2 4-? -1?

1 1 ∴直线 BD 的斜率 kBD= ,∴直线 BD 的方程为 y= (x+4),即 x-2y+4=0 2 2

6

4-0 4 (2)直线 BC 的斜率 kBC= = -1-? -4? 3 5 线段 BC 的中点坐标为(- ,2) 2

∴EF 的斜率 kEF=-

3 4

3 5 ∴EF 的方程为 y-2=- (x+ )即6x+8y-1=0. 4 2

y+3 x (3)AB 的中点 M(0,-3),∴直线 CM 的方程为: = ,即:7x+y+3=0. 4+3 -1 2m2+m-3 6、[解析] (1)倾斜角为 45° ,则斜率为 1.∴- =1,解得 m=-1,m=1(舍去) m2-m 4m-1 直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意,∴m=-1(2)当 y=0 时,x= 2 =1, 2m +m-3 1 1 1 解得 m=- ,或 m=2 当 m=- ,m=2 时都符合题意,∴m=- 或 2. 2 2 2

练习三:1、B 解析:由两直线平行,得斜率关系式

, 得 m=-8.

2、[答案] A[解析] ∵A1B2-A2B1=3×3-1×(-2)=11≠0,∴这两条直线相交. 3.(2,3).解析:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y),∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD· kCD=-1, 且 kAD=kBC. ∴
? x=0 ? x=2 y-1 y-2 y-1 · =-1, = 1. 解得 ? (舍去) ? y = 1 x-0 x-3 x-0 ? ? y=3

所以,第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 练习 4:1、[答案] 5 [解析] |AB|= ?-1+4?2+?2-6?2=5. 1 |1- | 3

2、[答案]

2 1 2 [解析] 直线 l2 的方程可化为 x-y+ =0,则 d= 2 2= 3 . 3 3 1 +?-1?

3、 因为 A(4,-1) M(3,2) M 为 AB 中点 所以 B(2,5) 因为 P 是△ABC 重心 则 C 在直线 MP 上 所以 C 点纵坐标为 2 因为 CP:PM=2:1 PM=1 所以 CP=2 所以 C(6,2) 所以 BC=5

练习 5:1、[答案] A [解析] 直线变形为 m(x+2)-(y-1)=0,故无论 m 取何值,点(-2,1) 都在此直线上,∴选 A. 练习 6: 1.D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线 5x+4y+21=0 是点 A(4,0)与所 求点 A'(x,y)连线的中垂线,列出关于 x,y 的两个方程求解. 2. B 3.x+2y+5=0. 解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称,故将直线方程中的 y 换成 7

-y. 练习 7: 1、解答:C 在平面直角坐标系中,点 A(1,1), B(2,?2), P( x,0), 则 f ( x) ? PA ? PB ? AB

? A, B, P三点共线时,f min ( x) ? AB ? 10
2、已知点 A?? 1,1?,B?1,2?,C ?3,2? ,点 P 是直线 l:y ? x 上的动点,求 PA ? PB 的最小 值及 PA ? PC 的最大值。

【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给的直线图象与相应的点,如上右图所示: ①如右图可知 A?? 1,1?,B?1,2? 在直线 l 同侧,要取 PA ? PB 的最小值,根据法则一可 知,必须使动点 P 在线段 AB 之间,显然这是不可能的。所以必须把两定点 A、B 中的一 个对称到直线另一侧(本题解法采用作 B 的对称点得 B' ),连结 AB' ,这样就很好的满足 了法则一:只要动点 P 在线段 AB' 之间就有最小值。因此,如左图所示,直线上的点 P 就 是使 PA ? PB 有最小值的点,计算得 PA ? PB

?

?

min

? PA ? PB' ? AB' ? 3 。

②如右图可知 A?? 1,1?,C ?3,2? 在直线 l 两侧,要取 PA ? PC 的最大值,根据法则二 可知, 必须使动点 P 在线段 AC 的延长线上, 显然这是不可能的。 所以必须把两定点 A、C 中的一个对称到直线另一侧(本题解法采用作 C 的对称点得 C ' ),连结 AC ' ,这样就很好 的满足了法则二:只要动点 P 在线段 AC ' 的延长线上就有最大值。即如左图所示直线上的 点 P' 就是使 PA ? PC 有最大值的点, 计算得 PA ? PC

?

?

max

? PA ? PC ' ? AC ' ? 13 。

8


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